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# Chapitre 3 Dérivation ## 3.1 Le nombre dérivé ### 3.1.1 Introduction La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[a; a + h]$. Les points $A$ et $M$ ont pour coordonnées respectives $(a; f(a))$ et $(a + h; f(a + h))$. La pente de la droite $(AM)$ est donc : $\qquad \dfrac{f(a + h) - f(a)}{a...

# Chapitre 3 Dérivation ## 3.1 Le nombre dérivé ### 3.1.1 Introduction La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[a; a + h]$. Les points $A$ et $M$ ont pour coordonnées respectives $(a; f(a))$ et $(a + h; f(a + h))$. La pente de la droite $(AM)$ est donc : $\qquad \dfrac{f(a + h) - f(a)}{a + h - a} = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ Cette expression s'appelle le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a + h$. **Définition :** Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel appartenant à $I$. On dit que $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si la limite suivante existe et est finie : $\qquad \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ Ce nombre est appelé le nombre dérivé de $f$ en $a$, on le note $f'(a)$. $\qquad f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ ### 3.1.2 Interprétation graphique Lorsque $h$ tend vers $0$, le point $M$ se rapproche du point $A$, la corde $[AM]$ se rapproche de la tangente à la courbe au point $A$. Le coefficient directeur de cette tangente est donc $f'(a)$. La tangente $T$ au point $A(a; f(a))$ a pour équation réduite : $\qquad y = f'(a)(x - a) + f(a)$ **Exemple :** $f(x) = x^2$. Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $a = 3$. $f(3) = 3^2 = 9$ $f'(3) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(3 + h) - f(3)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{(3 + h)^2 - 9}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{6h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} 6 + h = 6$ $T : y = f'(3)(x - 3) + f(3) \Leftrightarrow y = 6(x - 3) + 9 \Leftrightarrow y = 6x - 18 + 9 \Leftrightarrow y = 6x - 9$ ### 3.1.3 Dérivées à gauche et à droite **Définitions :** * On dit que $f$ est dérivable à gauche en $a$ si et seulement si la limite suivante existe et est finie : $\qquad \lim_{h \to 0 \\ h < 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ Ce nombre est appelé le nombre dérivé à gauche de $f$ en $a$. * On dit que $f$ est dérivable à droite en $a$ si et seulement si la limite suivante existe et est finie : $\qquad \lim_{h \to 0 \\ h > 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ Ce nombre est appelé le nombre dérivé à droite de $f$ en $a$. **Théorème :** $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si $f$ est dérivable à gauche et à droite en $a$ et si les nombres dérivés à gauche et à droite sont égaux. **Exemple :** $f(x) = |x|$ en $a = 0$. $\lim_{h \to 0 \\ h < 0} \dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0 \\ h < 0} \dfrac{|0 + h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0 \\ h < 0} \dfrac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0 \\ h < 0} \dfrac{-h}{h} = -1$ $\lim_{h \to 0 \\ h > 0} \dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0 \\ h > 0} \dfrac{|0 + h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0 \\ h > 0} \dfrac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0 \\ h > 0} \dfrac{h}{h} = 1$ Comme les limites à gauche et à droite sont différentes, $f$ n'est pas dérivable en $0$. Graphiquement, on observe une demi-tangente à gauche et une demi-tangente à droite. ## 3.2 Fonction dérivée ### 3.2.1 Définition Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Si $f$ est dérivable en tout réel $x$ de $I$, on peut définir une nouvelle fonction, notée $f'$, qui à tout réel $x$ de $I$ associe le nombre dérivé de $f$ en $x$. $f'$ est appelée fonction dérivée de $f$ sur $I$. ### 3.2.2 Dérivées des fonctions usuelles | $f(x)$ | $f'(x)$ | Ensemble de dérivabilité | | :----------- | :---------------- | :----------------------- | | $k$ (constante) | $0$ | $\mathbb{R}$ | | $x$ | $1$ | $\mathbb{R}$ | | $x^n, n \in \mathbb{N}^*$ | $nx^{n-1}$ | $\mathbb{R}$ | | $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ | $\mathbb{R}^{+*}$ | | $\dfrac{1}{x}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ | $\mathbb{R}^*$ | | $\sin x$ | $\cos x$ | $\mathbb{R}$ | | $\cos x$ | $-\sin x$ | $\mathbb{R}$ | ### 3.2.3 Opérations sur les dérivées Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$. * $(u + v)' = u' + v'$ * $(ku)' = ku'$ où $k$ est un réel * $(uv)' = u'v + uv'$ * $\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$ * $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ **Exemples :** * $f(x) = 5x^3 + 6x^2 - 3x + 2 \Rightarrow f'(x) = 5 \times 3x^2 + 6 \times 2x - 3 + 0 = 15x^2 + 12x - 3$ * $f(x) = x \sin x \Rightarrow f'(x) = 1 \times \sin x + x \cos x = \sin x + x \cos x$ * $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 2} \Rightarrow f'(x) = \dfrac{2(x + 2) - 1(2x - 1)}{(x + 2)^2} = \dfrac{2x + 4 - 2x + 1}{(x + 2)^2} = \dfrac{5}{(x + 2)^2}$ ### 3.2.4 Dérivée d'une fonction composée **Théorème :** Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $g$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$ tel que $f(I) \subset J$. Alors la fonction $g \circ f$ est dérivable sur $I$ et on a : $\qquad (g \circ f)' = f' \times g' \circ f$ **Cas particuliers :** * $[f(ax + b)]' = a f'(ax + b)$ * $[\sqrt{f(x)}]' = \dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ * $[f(x)^n]' = nf'(x)f(x)^{n-1}$ avec $n \in \mathbb{N}^*$ * $\left[\dfrac{1}{f(x)}\right]' = -\dfrac{f'(x)}{f(x)^2}$ **Exemples :** * $f(x) = \cos(3x + 2) \Rightarrow f'(x) = -3\sin(3x + 2)$ * $f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \Rightarrow f'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ * $f(x) = (x^2 + 3)^5 \Rightarrow f'(x) = 5 \times 2x \times (x^2 + 3)^4 = 10x(x^2 + 3)^4$ ## 3.3 Applications ### 3.3.1 Sens de variation **Théorème :** Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. * Si pour tout $x \in I, f'(x) \geq 0$, alors $f$ est croissante sur $I$. * Si pour tout $x \in I, f'(x) \leq 0$, alors $f$ est décroissante sur $I$. * Si pour tout $x \in I, f'(x) = 0$, alors $f$ est constante sur $I$. ### 3.3.2 Extremums **Définition :** Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $c \in I$. * $f(c)$ est un maximum local de $f$ sur $I$ s'il existe un intervalle ouvert $J$ contenant $c$ tel que pour tout $x \in J$, $f(x) \leq f(c)$. * $f(c)$ est un minimum local de $f$ sur $I$ s'il existe un intervalle ouvert $J$ contenant $c$ tel que pour tout $x \in J$, $f(x) \geq f(c)$. **Théorème :** Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $c \in I$. Si $f(c)$ est un extremum local de $f$ sur $I$, alors $f'(c) = 0$. **Attention :** La réciproque est fausse. Par exemple, $f(x) = x^3$, $f'(x) = 3x^2$, $f'(0) = 0$ mais $f(0)$ n'est pas un extremum local de $f$ sur $\mathbb{R}$. **Théorème :** Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $c \in I$ tel que $f'(c) = 0$. Si $f'$ change de signe en $c$, alors $f(c)$ est un extremum local de $f$ sur $I$. * Si $f'$ est positive avant $c$ et négative après $c$, alors $f(c)$ est un maximum local de $f$ sur $I$. * Si $f'$ est négative avant $c$ et positive après $c$, alors $f(c)$ est un minimum local de $f$ sur $I$. ### 3.3.3 Optimisation **Exemple :** On veut construire un rectangle d'aire maximale avec un périmètre de $20 \text{ cm}$. Quelles doivent être les dimensions de ce rectangle ? Soient $L$ et $l$ les dimensions du rectangle. $\text{Périmètre} = 2L + 2l = 20 \Rightarrow L + l = 10 \Rightarrow L = 10 - l$ $\text{Aire} = L \times l = (10 - l) \times l = 10l - l^2$ On cherche donc le maximum de la fonction $A(l) = 10l - l^2$ sur l'intervalle $[0; 10]$. $A'(l) = 10 - 2l$ $A'(l) = 0 \Leftrightarrow 10 - 2l = 0 \Leftrightarrow 2l = 10 \Leftrightarrow l = 5$ $A'(l) > 0 \Leftrightarrow 10 - 2l > 0 \Leftrightarrow 10 > 2l \Leftrightarrow 5 > l$ | $l$ | 0 | 5 | 10 | | :------ | :--- | :---- | :--- | | $A'(l)$ | + | 0 | - | | $A(l)$ | 0 | $\nearrow 25 \searrow$ | 0 | L'aire est maximale lorsque $l = 5$ et $L = 10 - 5 = 5$. Le rectangle est donc un carré de côté $5 \text{ cm}$.