Chapitre 7 - Mouvement dans un champ de gravité - Livre Hachette - PDF

CHAPITRE 07 : MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE PESANTEUR Livre Hachette page 261 I) Cas des mouvements circulaires dans un champ de gravitation 1) Force et champ de gravitation Soit deux MASSES mA et mB distantes de r Elles s’ATTIRENT toujours....

CHAPITRE 07 : MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE PESANTEUR Livre Hachette page 261 I) Cas des mouvements circulaires dans un champ de gravitation 1) Force et champ de gravitation Soit deux MASSES mA et mB distantes de r Elles s’ATTIRENT toujours. C’est l’INTERACTION OU FORCE GRAVITATIONNELLE. 𝑚 𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝐴/𝐵 = −𝐺 𝐴 2 𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝐴𝐵 = mB.𝐺 𝑟 mA et mB en kg r=AB en m G = 6,67 x 10 -11 N.m2.kg-2 constante universelle de gravitation 𝑚𝐴 avec 𝐺 =−𝐺 𝑢 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟 2 𝐴𝐵 le champ de gravitation créé par A à la distance r 2) Mouvement circulaire dans un champ de gravitation Les satellites et les planètes qui tournent autour d’un astre attracteur décrivent dans un référentiel lié au centre de l’astre (RÉFÉRENTIEL ASTROCENTRIQUE) une trajectoire appelée ORBITE. La PÉRIODE DE RÉVOLUTION notée T est la durée nécessaire pour parcourir toute l’orbite. Exemple : Dans un référentiel héliocentrique, la Terre décrit une orbite autour du Soleil de période T=365,25 jours. Soit P une planète de masse m en mouvement circulaire autour d’un astre A de masse M. On utilise le repère de Frenet (P ; ⃗⃗⃗ 𝑢𝑡 , 𝑢 ⃗⃗⃗⃗𝑛 ) centré sur P. P est soumis à : A On écrit la deuxième loi de Newton appliquée à P :  𝑀 En simplifiant par m, il vient 𝑎 = G x 𝑟2 𝑢 ⃗⃗⃗⃗𝑛 𝑣2 𝑑𝑣 Or, dans le repère de Frenet 𝑎= 𝑟 𝑢𝑛 + 𝑑𝑡 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑡 𝑑𝑣 𝑣2 𝑀 On en déduit =0 et =Gx 𝑑𝑡 𝑟 𝑟2 𝐺𝑀 Soit v = constante et v=√ 𝑟 𝐺𝑀 Ainsi le mouvement de P est UNIFORME et 𝑣 = √ 𝑟 𝑢𝑡 ⃗⃗⃗ Un mouvement circulaire dans un champ de gravitation est nécessairement UNIFORME. Application 1 : on considère que l’orbite de la Terre autour du Soleil est circulaire de rayon r=150 millions de km. La masse du Soleil est MS=1,99.1030 kg. Calculer la vitesse de la Terre dans le référentiel héliocentrique. Solution : II) Les lois de Kepler Au XVIIe siècle, l’astronome allemand Kepler s’appuie sur les observations de Tycho Brahé pour énoncer trois lois dérivant le mouvement des planètes. Ces lois se généralisent à tout corps en orbite autour d’un astre de masse M. Première loi de Kepler : loi des orbites Dans le référentiel héliocentrique, le centre d’une planète décrit une orbite qui est une ELLIPSE dont le soleil est un des foyers. Remarques : - A chaque instant, PF+PF’=2a - Si F et F’ sont confondus, alors la trajectoire est un cercle de rayon a. a - Périapside : position la plus proche de l’astre attracteur - Apoapside : position la plus lointaine de l’astre attracteur F F’ Pour la Terre, on utilise périgée et apogée et pour le Soleil périhélie et aphélie.  Deuxième loi de Kepler : loi des aires Le segment de droite reliant les centres du soleil et de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales. Application 2 : Troisième loi de Kepler : loi des périodes Le rapport entre le carré de la période de la révolution et le cube du demi grand axe est le même. 𝑇2 42 = cste cste = avec M=masse du Soleil 𝑎3 𝐺𝑀 Démonstration pour un mouvement circulaire de rayon r d’une planète autour du Soleil : La période de révolution T de la planète (ou du satellite autour) autour de l’astre de masse M est la durée qu’il lui faut pour accomplir un tour complet sur son orbite. Pour une orbite de rayon r, la distance parcourue pendant la durée T est 2πr. La vitesse de la planète (ou du satellite) est donc : 𝑟3 v= 2𝜋𝑟 or v = √ 𝐺.𝑀 donc 2𝜋𝑟 =√ 𝐺.𝑀 soit T = 2π √ T 𝑟 T 𝑟 𝐺.𝑀 r3 T2 4π2 Cela donne : T2 = 4π2GM soit r3 = GM Application 3 : Solution : Application 4 : Dans le référentiel géocentrique, l’orbite de la Lune est quasi-circulaire de rayon 3,8.105 km et sa période de révolution est T=27 jours. Calculer la masse de la Terre. Solution : III) Satellite géostationnaire Un satellite géostationnaire est un satellite ARTIFICIEL de la Terre, fixe dans le référentiel terrestre. Sa période est égale à la durée d’un tour de la Terre sur elle-même dans le référentiel géocentrique, nommée jour sidéral de la Terre soit Tsid=86164 s. Son mouvement est circulaire uniforme au-dessus de l’équateur centré sur le centre de la Terre. Application 5 : appliquer la troisième loi de Kepler pour trouver le rayon de l’orbite géostationnaire rgs et en déduire l’altitude d’un satellite géostationnaire sachant que le rayon de la Terre est RT=6378 km Solution : En première approximation, l’altitude d’un satellite géostationnaire est 36 000 km au-dessus de l’équateur.