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# Exercice 1 On considère le système différentiel suivant : $\qquad \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $ 1. Déterminer la solution générale de ce système. *Correction :* On pose $A= \begin{pmatri...

# Exercice 1 On considère le système différentiel suivant : $\qquad \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $ 1. Déterminer la solution générale de ce système. *Correction :* On pose $A= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$. On cherche les valeurs propres de A en résolvant l'équation caractéristique : $\qquad det(A - \lambda I) = (1-\lambda)^2 - 4 = 0$ $\qquad \Leftrightarrow \lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0$ $\qquad \Leftrightarrow (\lambda - 3)(\lambda + 1) = 0$ Les valeurs propres de A sont donc $\lambda_1 = 3$ et $\lambda_2 = -1$. On cherche maintenant les vecteurs propres associés à ces valeurs propres. Pour $\lambda_1 = 3$, on cherche un vecteur $v_1 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ tel que : $\qquad (A - 3I)v_1 = 0$ $\qquad \Leftrightarrow \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0$ $\qquad \Leftrightarrow -2x + y = 0$ On peut donc choisir $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Pour $\lambda_2 = -1$, on cherche un vecteur $v_2 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ tel que : $\qquad (A + I)v_2 = 0$ $\qquad \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0$ $\qquad \Leftrightarrow 2x + y = 0$ On peut donc choisir $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$. La solution générale du système est donc : $\qquad \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = c_1 e^{3t} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + c_2 e^{-t} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ où $c_1$ et $c_2$ sont des constantes réelles. 2. Déterminer la solution particulière vérifiant $x(0) = 3$ et $y(0) = -5$. *Correction :* On cherche $c_1$ et $c_2$ tels que : $\qquad \begin{pmatrix} x(0) \\ y(0) \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}$ $\qquad \Leftrightarrow \begin{cases} c_1 + c_2 = 3 \\ 2c_1 - 2c_2 = -5 \end{cases}$ $\qquad \Leftrightarrow \begin{cases} c_1 = \frac{1}{4} \\ c_2 = \frac{11}{4} \end{cases}$ La solution particulière est donc : $\qquad \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \frac{1}{4} e^{3t} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \frac{11}{4} e^{-t} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$