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# Chapitre 1. Calculs dans $\mathbb{C}$ ## I. Définitions ### 1. L'ensemble $\mathbb{C}$ On définit un ensemble, noté $\mathbb{C}$, appelé ensemble des nombres complexes, contenant $\mathbb{R}$ et un élément $i$ tels que $i^2 = -1$. Tout élément $z$ de $\mathbb{C}$ peut s'écrire de manière uniqu...

# Chapitre 1. Calculs dans $\mathbb{C}$ ## I. Définitions ### 1. L'ensemble $\mathbb{C}$ On définit un ensemble, noté $\mathbb{C}$, appelé ensemble des nombres complexes, contenant $\mathbb{R}$ et un élément $i$ tels que $i^2 = -1$. Tout élément $z$ de $\mathbb{C}$ peut s'écrire de manière unique sous la forme $z = a + ib$, avec $a, b \in \mathbb{R}$. $a$ est appelée partie réelle de $z$, notée Re$(z)$. $b$ est appelée partie imaginaire de $z$, notée Im$(z)$. *Exemple :* $z = 3 - 5i$, Re$(z) = 3$, Im$(z) = -5$. ### 2. Opérations dans $\mathbb{C}$ Soient $z = a + ib$ et $z' = a' + ib'$ deux nombres complexes, avec $a, b, a', b' \in \mathbb{R}$. * Addition : $z + z' = (a + a') + i(b + b')$. * Multiplication : $z \times z' = (aa' - bb') + i(ab' + ba')$. On vérifie facilement que $(\mathbb{C}, +, \times)$ est un corps commutatif. ### 3. Conjugué Soit $z = a + ib$ un nombre complexe, avec $a, b \in \mathbb{R}$. On appelle conjugué de $z$, le nombre complexe noté $\overline{z}$ défini par $\overline{z} = a - ib$. *Propriétés :* * $\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}$. * $\overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}$. * $\overline{\left( \frac{z}{z'} \right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{z'}}$. * $\overline{\overline{z}} = z$. * $z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z = \overline{z}$. * $z \in i\mathbb{R} \Leftrightarrow z = -\overline{z}$. * Re$(z) = \frac{z + \overline{z}}{2}$. * Im$(z) = \frac{z - \overline{z}}{2i}$. ### 4. Module Soit $z = a + ib$ un nombre complexe, avec $a, b \in \mathbb{R}$. On appelle module de $z$, le nombre réel positif noté $|z|$ défini par $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. *Propriétés :* * $|z| = |\overline{z}|$. * $|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0$. * $|zz'| = |z||z'|$. * $\left| \frac{z}{z'} \right| = \frac{|z|}{|z'|}$. * $|z + z'| \leq |z| + |z'|$ (inégalité triangulaire). * $|z + z'| \geq ||z| - |z'||$. * $z\overline{z} = |z|^2$. ## II. Interprétation géométrique ### 1. Affixe Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O ; \vec{u}, \vec{v})$. À tout nombre complexe $z = a + ib$, avec $a, b \in \mathbb{R}$, on associe le point $M$ de coordonnées $(a, b)$. On dit que $M$ est le point d'affixe $z$ et on note $M(z)$. De même, à tout point $M$ du plan, on associe un nombre complexe $z$, appelé affixe de $M$. À tout vecteur $\vec{w}$ de coordonnées $(a, b)$, on associe le nombre complexe $z = a + ib$, appelé affixe de $\vec{w}$ et on note $\vec{w}(z)$. *Propriétés :* Soient $A(z_A)$ et $B(z_B)$ deux points du plan. * L'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $z_B - z_A$. * La distance $AB$ est égale à $|z_B - z_A|$. * L'affixe du milieu $I$ de $[AB]$ est $\frac{z_A + z_B}{2}$. ### 2. Argument Soit $z$ un nombre complexe non nul. On appelle argument de $z$, et on note arg$(z)$, toute mesure en radians de l'angle $(\vec{u}, \overrightarrow{OM})$, où $M$ est le point d'affixe $z$. arg$(z)$ est défini à $2\pi$ près. On peut donc écrire arg$(z) \equiv (\vec{u}, \overrightarrow{OM}) [2\pi]$. *Propriétés :* Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls. * arg$(zz')$ = arg$(z)$ + arg$(z')$ $[2\pi]$. * arg$\left( \frac{z}{z'} \right)$ = arg$(z)$ - arg$(z')$ $[2\pi]$. * arg$(\overline{z})$ = -arg$(z)$ $[2\pi]$. * arg$(-z)$ = arg$(z) + \pi [2\pi]$. * arg$(z^n) = n$arg$(z)$ $[2\pi]$, pour tout entier $n$. ## III. Forme trigonométrique - Forme exponentielle ### 1. Forme trigonométrique Soit $z$ un nombre complexe non nul. On appelle forme trigonométrique de $z$ l'écriture : $z = |z|(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$, où $\theta$ est un argument de $z$. ### 2. Forme exponentielle Pour tout réel $\theta$, on note $e^{i\theta}$ le nombre complexe $\cos(\theta) + i\sin(\theta)$. Soit $z$ un nombre complexe non nul. On appelle forme exponentielle de $z$ l'écriture : $z = |z|e^{i\theta}$, où $\theta$ est un argument de $z$. *Propriétés :* Pour tous réels $\theta$ et $\theta'$, on a : * $e^{i(\theta + \theta')} = e^{i\theta} \times e^{i\theta'}$. * $e^{-i\theta} = \overline{e^{i\theta}}$. * $\frac{1}{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}$. * $\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}} = e^{i(\theta - \theta')}$. * $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$, pour tout entier $n$. ### 3. Formules d'Euler et de Moivre Pour tout réel $\theta$, on a : $\cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ (Formules d'Euler). $(\cos(\theta) + i\sin(\theta))^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ (Formule de Moivre). ## IV. Equations du second degré dans $\mathbb{C}$ Soient $a, b, c$ des nombres réels avec $a \neq 0$. On considère l'équation $az^2 + bz + c = 0$, où $z$ est un nombre complexe. On appelle discriminant de l'équation le nombre $\Delta = b^2 - 4ac$. * Si $\Delta > 0$, l'équation admet deux solutions réelles distinctes $z_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$. * Si $\Delta = 0$, l'équation admet une unique solution réelle $z = -\frac{b}{2a}$. * Si $\Delta < 0$, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées $z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a}$. Dans tous les cas, on a : * $z_1 + z_2 = -\frac{b}{a}$. * $z_1 z_2 = \frac{c}{a}$. * $az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2)$.