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## Matrizes ### Definição Uma matriz $A_{m \times n}$ é uma tabela de $m \cdot n$ números dispostos em $m$ linhas e $n$ colunas. Cada elemento $a_{ij}$ é indexado por sua linha $i$ e coluna $j$. ### Tipos Especiais de Matrizes * **Matriz Quadrada:** $m = n$ * **Matriz Linha:** $m = 1$ * *...

## Matrizes ### Definição Uma matriz $A_{m \times n}$ é uma tabela de $m \cdot n$ números dispostos em $m$ linhas e $n$ colunas. Cada elemento $a_{ij}$ é indexado por sua linha $i$ e coluna $j$. ### Tipos Especiais de Matrizes * **Matriz Quadrada:** $m = n$ * **Matriz Linha:** $m = 1$ * **Matriz Coluna:** $n = 1$ * **Matriz Nula:** Todos os elementos são zero. * **Matriz Identidade:** Matriz quadrada com 1 na diagonal principal e 0 nos demais elementos. ### Operações com Matrizes * **Adição:** $C_{m \times n} = A_{m \times n} + B_{m \times n}$, onde $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ * **Multiplicação por escalar:** $B_{m \times n} = k \cdot A_{m \times n}$, onde $b_{ij} = k \cdot a_{ij}$ * **Multiplicação de Matrizes:** $C_{m \times p} = A_{m \times n} \cdot B_{n \times p}$, onde $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}$ * O número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B. ### Transposta de uma Matriz A transposta de uma matriz $A_{m \times n}$, denotada por $A^T$, é obtida trocando as linhas pelas colunas. $(A^T)_{ij} = A_{ji}$ ### Determinante O determinante é uma função que associa um escalar a uma matriz quadrada. * **Matriz 2x2:** $\det(A) = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}$ * **Matriz 3x3:** Regra de Sarrus ou expansão por cofatores. ### Inversa de uma Matriz Uma matriz $A$ é invertível se existe uma matriz $B$ tal que $A \cdot B = B \cdot A = I$, onde $I$ é a matriz identidade. $B$ é a inversa de $A$, denotada por $A^{-1}$. $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)$, onde $\text{adj}(A)$ é a matriz adjunta de $A$. ### Sistemas de Equações Lineares Um sistema de equações lineares pode ser representado na forma matricial $Ax = b$, onde: * $A$ é a matriz dos coeficientes. * $x$ é o vetor das incógnitas. * $b$ é o vetor dos termos independentes. #### Métodos de Resolução * Substituição * Escalonamento * Regra de Cramer: $x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$, onde $A_i$ é a matriz $A$ com a i-ésima coluna substituída por $b$. * Inversão de Matriz: $x = A^{-1}b$