التكامل PDF

# التكامل التكامل : هو عملية معاكسة لعملية الاشتقاق ويرمز له بالرمز | الرمز `dx` - - - | يعني التكامل بالنسبة لـ x يعني التكامل بالنسبة لـ y لرمز `dy` - - - ملاحظة : ليس لدينا قاعدة لتكامل كل من ( 1 - الكسر 2 - الجذر - 3 - حاصل ضرب دالتين ) ## قواعد التكامل غير المحدد : | |...

# التكامل التكامل : هو عملية معاكسة لعملية الاشتقاق ويرمز له بالرمز | الرمز `dx` - - - | يعني التكامل بالنسبة لـ x يعني التكامل بالنسبة لـ y لرمز `dy` - - - ملاحظة : ليس لدينا قاعدة لتكامل كل من ( 1 - الكسر 2 - الجذر - 3 - حاصل ضرب دالتين ) ## قواعد التكامل غير المحدد : | | | |:---|:---------------------------| | 1 | ∫ a dx = ax + c | | 2 | ∫ xn dx = (xn+1)/(n+1) + c | **حيث ، ثابت التكامل** ## أمثلة ### 1 - تكامل دالة الثابت 1. ∫ 6 dx = 6x + c 2. ∫ `dx` = x + c 3. ∫√5 dx = √5 x + c ### 2 - تكامل fxhdx ملاحظة / اذا أردنا ان تكامل المتغير x فأننا نكتب المتغير ونضيف الى الأس واحد ونقسم على الأس جديد ونضيف ثابت التكامل . #### أمثلة: | | | |:---|:-----------------------------------------------------------| | 1 | ∫ dx = ∫ x-²dx = (x-1)/1 + c === (1/x) + c | | 2 | ∫dx = ∫x-3dx = (x-2)/2 + c = (1/2x²) +c | | 3 | ∫dx = ∫x-4dx = (x-3)/3 + c = (1/3x³) +c | | 4 | ∫dx = ∫x-5dx = (x-4)/4 + c === (1/4x⁴) +c | | 5 | ∫ xdx = x²/2 + c | | 6 | ∫ x²dx = x³/3 + c | | 7 | ∫ x³dx = x⁴/4 + c | | 8 | ∫ x⁵dx = x⁶/6 + c | | 9 | ∫ 5x³ dx = 5x⁴/4 + c | | 10 | ∫ 4x² dx = 4x³/3 + c | ## تكامل الجذور 1. ∫ √x dx = ∫ x¹/²dx = (x³/2)/3 + c = √x³/3 + c 2. ∫ √x dx = ∫x¹/³dx = (x⁴/3)/4 + c = √x⁴/3 + c 3. ∫ √x dx = ∫x¹/⁴dx = (x⁵/4)/5 + c = √x⁵/4 + c 4. ∫ √x dx = ∫x¹/²dx = (x³/2)/3 + c = √x³/3 + c 5. ∫ √x² dx = ∫x¹/²dx = (2x³/2)/3 + c = 2√x³/3 + c 6. ∫ √x dx = ∫x¹/²dx = (2x⁵/2)/5 + c = 2√x⁵/5 + c 7. ∫ √x dx = ∫x¹/²dx = (x³/2)/3 + c = 3√x³/3 + c ## تكامل الدوال كثيرة الحدود 1. ∫ (3x² + 5) dx = (3x³/3) + 5x + c = x³ + 5x + c 2. ∫ (5x² + 3x - 2) dx = (5x³/3) + (3x²/2) + 2x + c 3. ∫ (x² + x + 1) dx = (x³/3) + x²/2 + x + c 4. ∫ (x² + 2x - 3) dx = ( x³/3) + 2x²/2 - x + c 5. ∫ (3x² + 2x + 1) dx = (3x³/3) + (2x²/2) + x + c = x³ + x² + x + c ## مثال 1 / جد التكامل √(6x²- 4x + 3)dx **الحل //** ∫(6x² - 4x + 3)dx = (6x³/3) - (4x²/2) + 3x + c = 2x³ - 2x² + 3x + c ## مثال / جد التكامل √(√x - 1)dx **الحل /** ∫(√x - 1)dx = ∫ (x¹/² - 3x¹/³ - 1)dx = (x³/2)/3 - (9x⁴/³)/4 - x + c ## مثال 3 / جد التكامل √(3x² + x)dx **الحل /** ∫(3x² + x)dx = ∫ (3x²+x)dx = x³ + 2x² + c ## س 13 / جد التكامل √(√x - 1)dx **الحل /** ∫(√x - 1)dx = ∫ (x¹/² - x¹/³ - 1)dx = (x³/2)/3 - (3x⁴/³)/4 + c ## مثال جد ∫(x³ + x)dx **الحل /** ∫(x³ + x²)dx = ∫ (x³ + 2x²-4)dx = (x⁴/4) + (2x³/3) +c ## ملاحظة / ١ - التخلص من الأقواس اذا كانت الأقواس ليس لها أس كما في المثال التالي **مثال / جد التكامل ∫(2x + 5)(x + 1) d x)** **الحل /** ∫(2x + 5)(x + 1) dx = ∫ (2x² + 2x + 5x + 5)dx = ∫ (2x² + 7x + 5)dx = (2x³/3) + (7x²/2) + 5x + c ## مثال / جد التكامل ∫(x² + 1)(2x-3) dx **الحل /** ∫(x² + 1)(2x - 3) dx = ∫ (2x³ - 3x² + 2x - 3) dx = (2x⁴/4) + (3x³/3) - (2x²/2) + 3x + c = (x⁴/2) + x³ - x² + 3x + c ## ملاحظة / ٢ / التخلص من القوس اذا كان الأس القوس 2 والمشتقة داخل القوس غير موجودة **مثال / جد التكامل ∫(3x² + 1)²dx** **الحل /** ∫(3x² + 1)²dx = ∫ (9x⁴ + 6x² + 1)dx = (9x⁵/5) + 2x³ + x + c ## مثال / جد التكامل ∫[(2x²-3)²-9]/x² dx **الحل /** ∫ (2x²-3)2-9/x² dx = ∫ (4x⁴-12x²+9-9)/x² dx = ∫ 4x⁴-12x²/x² dx = ∫ (4x² - 12)dx = (4x³/3) - 12x + c ## ملاحظة / ۲ - التخلص من القوس اذا كان الأس القوس 2- والمشتقة داخل القوس غير موجودة **مثال / جد التكامل ∫√x(√x + 1)²dx** **الحل /** ∫√x(√x + 1)²dx = ∫ x¹/²(x + 2√x + 1)d: = ∫ (x² + 2x + x)dx = (x³/3) + (2x²/2) + x² + c = (5x³/3) + x² + c **مثال / جد التكامل ∫√x(√x+2)²dx** **الحل /** ∫√x(√x + 2)²dx = ∫ x¹/²(x + 4√x + 4)dx = ∫ (x² + 4x + 4x¹/²)dx = (x³/3) + 2x² + (8x³/3)/3 + c ## 3 - تكامل دالة مرفوعة الى أس ∫[F(x)]nf/(x)dx = [F(x)]n+1/(n+1) + c **إذا كانت احد الأقواس مرفوع الى اس وكان القوس الثاني هو مشتقة داخل القوس الأول فإننا نكامل القوس الأول فقط ونقسم على الأس الجديد ونضيف ثابت ، كما في المثال التالي** **مثال / جد التكامل ∫(x² - 3)³2x dx** **الحل /** نلاحظ مشتقة داخل القوس = 2x ) وهي موجودة ) ∫(x² + 3)³ 2x dx = (x²+3)⁴/4 + c **مثال / جد التكامل ∫(3x² + 8x + 5)⁶ (3x+4) dx** **الحل /** نلاحظ مشتقة داخل القوس = 6x + 8 ) فقط نحتاج (2) ∫(3x² + 8x + 5)⁶ (3x + 4) dx = ∫(3x² + 8x + 5)⁶ (6x + 8) dx / 2 = (3x² + 8x + 5)⁷ + c / 14