Решение уравнений 3-4 степени с помощью теоремы Безу (2018) PDF

Департамент образования и молодёжной политики Ханты-Мансийского автономного округа – Югры Бюджетное учреждение высшего образования Ханты-Мансийского автономного округа – Югры «Сургутский государственный педагогический университет» VIII Окружная научная кон...

Департамент образования и молодёжной политики Ханты-Мансийского автономного округа – Югры Бюджетное учреждение высшего образования Ханты-Мансийского автономного округа – Югры «Сургутский государственный педагогический университет» VIII Окружная научная конференция школьников «НОВОЕ ПОКОЛЕНИЕ И ОБЩЕСТВО ЗНАНИЙ» Решение уравнений 3 и 4- ой степени с помощью теоремы Безу Автор: Крук Виктория, 9 б класс МБОУ «Федоровская СО№ 5», Научный руководитель: Ганина Татьяна Петровна, учитель математики МБОУ «Федоровская СОШ № 5» Г.п.Федоровский 2018 год  Цель выяснить для каких уравнений 3и 4 степени можно применить теорему Безу и научиться их решать. Задачи:  Ознакомиться с биографией Этьена Безу;  Проанализировать теорему и следствия из неё;  Показать конкретные примеры применения теоремы к решению уравнений;  Ознакомить одноклассников с решением уравнений высших степеней;  Создать подборку уравнений для практического применения. Объект: уравнения 3-ей и 4-ой степени. Предмет исследования - решение уравнений с помощью теоремы Безу. В процессе выполнения работы применялись такие методы исследования: изучение литературных и Интернет-ресурсов, сравнение, обобщение, аналогии, анализ информации. Гипотеза - если существует хотя бы один корень уравнения среди делителей свободного члена уравнения 3-ей и 4-ой степени, то при решении таких уравнений можно применять теорему Безу.  Этьен Безу (1739 – 1783) Этьен Безу - французский математик, член Парижской Академии Наук (с 1758 года). Родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года. С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе. Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную Колином Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шести томный “Курс математики “, который Безу писал пять лет с 1764 по 1769 год. Также, он развил метод неопределённых множителей: в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе. Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры, о которой будет идти речь ниже.  Теорема Безу Если уравнение a0 xⁿ+a1 xn-1+a2 xn-2+…+an-1 x+an= 0, в котором все коэффициенты целые числа, причем свободный член отличен от нуля, имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена. Учитывая, что в левой части уравнения многочлен n-й степени, то теорема имеет и другую трактовку. Теорема. При делении многочлена n-й степени относительно x на двучлен x – a остаток равен значению делимого при x = a (буква a может обозначать любое действительное или мнимое число, т.е. любое комплексное число).  Отметим, что теорема Безу важна не столь сама по себе, сколько своими следствиями. Следствие 1. Остаток от деления многочлена f(x) на двучлен (ax+b) равен значению этого многочлена при x=-b/a, т.е. R=f(-b/a). Следствие 2. Если число a является корнем многочлена f(x), то этот многочлен делится на (x-a) без остатка.  Следствие 3. Если многочлен f(x) имеет попарно различные корни a1, a2 ,… ,an ,то он делится на произведение (x-a1)…(x-an) без остатка. Следствие 4. Многочлен степени n имеет не более n различных корней. Следствие 5. Для любого многочлена f(x) и числа a разность (f(x)-f(a)) делится без остатка на двучлен (x-a). Следствие 6. Число a является корнем многочлена f(x) степени не ниже первой только тогда, когда f(x) делится на (x-a) без остатка. Следствие 7. Многочлен, не имеющий действительных корней, в разложении на множители линейных множителей не содержит. Остановлюсь на рассмотрении некоторых примеров применения теоремы Безу к решению практических задач. 1. Найти остаток от деления многочлена x3–3x2+6x–5 на двучлен x–2. По теореме Безу: R=f(2)=23–3*22+6*2–5=3. Ответ: R=3.  При каком значении a многочлен x4+ax3+3x2–4x–4 делится без остатка на двучлен x–2? По теореме Безу: R=f(2)=16+8a+12–8– 4=8a+16. Но по условию R=0, значит 8a+16=0, отсюда a=-2. Ответ: a=-2. 2. Разложение многочлена на множители При разложении на множители полезно помнить, что если число а является корнем многочлена р(х), то p(x) делится на x-а, т. е. представляем в виде p(x)=( x-а)Q(x). Таким образом, зная корень многочлена, его легко разложить на множители (например разделить p(x) на x-а «уголком», получим в частном Q(x). Любой целый корень многочлена с целым коэффициентами по теореме Безу является делителем свободного члена.  Разложить на множители многочлен f(x)=x4+4x2–5. Среди делителей свободного члена Среди делителей свободного члена многочлена x4+4x2–5 число 1 является многочлена x3+x2+5x+5 x= -1 корнем данного многочлена f(x), а это является его корнем, а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу значит, что по следствию 2 из теоремы x3+x2+5x+5 делится на (x+1) без Безу f(x) делится на (x–1) без остатка: остатка: _x4+4x2–5 x–1 _x3+x2+5x+5 x+1 x4–x3 x3+4x2 x3+x2+5x+5 x3+x2 x2 +5 x3–x2 _5x+5 _5x2–5 5x2–5x 5x+5 _5x–5 5x–5 0 0 (x3+x2+5x+5)/(x+1)=x2+5, значит f(x)/(x–1)=x3+x2+5x+5, x3+x2+5x+5=(x+1)(x2+5). значит f(x)=(x–1)(x3+x2+5x+5). Отсюда f(x)=(x–1)(x+1)(x2+5). По следствию 7 (x2+5) на множители не раскладывается, т.к. действительных корней не имеет, поэтому f(x) далее на множители не раскладывается. Ответ: x4+4x2–5=(x–1)(x+1)(x2+5).  3. Решение уравнений Отметим, что при решении уравнений с помощью теоремы Безу необходимо:  найти все целые делители свободного члена;  из этих делителей найти хотя бы один корень уравнения (a);  левую часть уравнения разделить на (x-a);  записать в левой части уравнения произведение делителя и частного;  решить полученное уравнение.   Решить уравнение х3 - 6х2 Делители 12: +±2:5х ±1: +±1212 = 0 ±3: ±4: ±6: х = -1 – корень уравнения т.к. - 1 - 6 - 5 + 12 = 0 _х3 - 6х2 + 5х + 12 х +1 х3 + х2 х2 – 7х + 12 _ -7х2 + 5х -7х2 – 7х _ 12х + 12 12х +12 0 (х2 – 7х + 12)(х +1) = 0 х2 – 7х + 12 = 0 или х+1=0 х1 + х2 = 7 х1 = 3 х = -1 х1 х2 = 12 х2 = 4 Ответ: х1 = 3; х2 = 4: х3 = -1.  Решить уравнение x3- 5x 2 +8x-6=0. Делители -6: ±1; ±2; ±3; ±6. х = 3 – корень уравнения, т.к. 27-45+24-6=0 _x3-5x2+8x-6 x-3 x3-3x2 x2-2x+2 _ -2x2+8x -2x2+6x _2x-6 2x-6 0 x3-5x2+8x-6=(x2-2x+2)(x-3) (x2-2x+2)(x-3)=0 x2-2x+2=0 – квадратное уравнение, корней не имеет, т.к. D