Algebra: Operaciones con Funciones PDF - UNI 2022

PREUNIVERSITARIO 2022-2 TEMA OPERACIONES CON FUNCIONES 9.1  CONTENIDOS Operaciones con funciones reales: Adición, sustracción, multiplicación, división. Composición:...

PREUNIVERSITARIO 2022-2 TEMA OPERACIONES CON FUNCIONES 9.1  CONTENIDOS Operaciones con funciones reales: Adición, sustracción, multiplicación, división. Composición: la composición y los tipos de funciones. 14/05/2022 Cepreuni 2020-2 2  ALGEBRA DE FUNCIONES En el conjunto de las funciones Reales de Variable Real se pueden definir operaciones como la Adición, Multiplicación, con las cuales podemos crear un álgebra con ciertas propiedades muy especiales. Pero para definir bien estas operaciones necesitamos definir ciertas funciones especiales, como la “función Suma” , “función Producto”, “función Cociente, etc. Estas operaciones además pueden crear situaciones graficas en el Plano de Descartes, que son muy interesantes, y de mucha utilidad. Sobre todo en las funciones trigonométricas y su posterior uso en la Ingeniería eléctrica y electrónica. 3  ADICION DE FUNCIONES Dadas dos funciones 𝑓 y 𝑔 reales de variable real, con Dominios no vacíos y de intersección no vacía. Se tiene como propósito obtener la “Función Suma de 𝑓 y 𝑔”, denotada 𝑓 + 𝑔, la cual debe cumplir con lo siguiente: 𝟏. 𝑫𝒐𝒎 𝒇 + 𝒈 = 𝑫𝒐𝒎𝒇 ∩ 𝑫𝒐𝒎𝒈 𝟐. 𝒇 + 𝒈 𝒙 = 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 4 Ejemplo: 𝑓= 1; 2 , 3; 4 , 2; 5 , 4; 1 Dada las funciones: 𝑔= 3; −1 , 2; 1 , 1; 0 , 0; 2 , ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑅𝑎𝑛 𝑓 + 𝑔 Resolución 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 1; 3; 2; 4 ; 𝐷𝑜𝑚𝑔 = 3; 2; 1; 0 ⟶ 𝐷𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚𝑔 = 1; 2; 3 𝑓+𝑔= 1; 𝑓 1 + 𝑔 1 , 2; 𝑓 2 + 𝑔 2 , 3; 𝑓 3 + 𝑔 3 𝑓+𝑔= 1; 2 + 0 , 2; 5 + 1 , 3; 4 − 1 𝑓+𝑔 = 1; 2 , 2; 6 , 3; 3 ⟶ 𝑹𝒂𝒏 𝒇 + 𝒈 = 𝟐; 𝟑; 𝟔 Rpta. 5  SUSTRACCION DE FUNCIONES Dadas dos funciones 𝑓 y 𝑔 reales de variable real, con Dominios no vacíos y de intersección no vacía. Se tiene como propósito obtener la “Función diferencia de 𝑓 y 𝑔”, denotada 𝑓 −𝑔 , la cual debe cumplir con lo siguiente: 𝟏. 𝑫𝒐𝒎 𝒇 − 𝒈 = 𝑫𝒐𝒎𝒇 ∩ 𝑫𝒐𝒎𝒈 𝟐. 𝒇 − 𝒈 𝒙 = 𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙 6 Ejercicio: Dada las funciones: 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥2 ∧ 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 1. Halle 𝑅𝑎𝑛 𝑓 − 𝑔 Resolución. 𝐷𝑜𝑚𝑓: 1 − 𝑥 2 ≥ 0 ⟺ −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 ⟶ 𝐷𝑜𝑚𝑓 = −1; 1 𝐷𝑜𝑚𝑔: 𝑥2 − 1 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≤ −1 ∨ 𝑥 ≥ 1 𝐷𝑜𝑚𝑔 = ൻ−∞; −1ሿ ∪ ሾ1; +∞ۧ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 − 𝑔 = 𝐷𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚𝑔 = −1; 1 𝑓−𝑔 = −1; 𝑓 −1 − 𝑔 −1 , 1; 𝑓 1 − 𝑔 1 𝑓−𝑔 = −1; 0 , 1; 0 ; 𝑹𝒂𝒏 𝒇 − 𝒈 = 𝟎 Rpta. 7  MULTIPLICACION DE FUNCIONES Dadas dos funciones 𝑓 y 𝑔 reales de variable real, con Dominios no vacíos y de intersección no vacía. Se tiene como propósito obtener la “Función Producto de 𝑓 y 𝑔”, denotada 𝑓. 𝑔 , la cual debe cumplir con lo siguiente: 𝟏. 𝑫𝒐𝒎 𝒇. 𝒈 = 𝑫𝒐𝒎𝒇 ∩ 𝑫𝒐𝒎𝒈 𝟐. 𝒇. 𝒈 𝒙 = 𝒇 𝒙. 𝒈 𝒙 8 Ejercicio 1 Sean: 𝑓 𝑥 = 𝑥−2 ; 𝑦 ℎ 𝑥 = 𝑥 − 2. Halle ℎ. 𝑓 Resolución. 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑥𝜖ℝΤ𝑥 − 2 ≠ 0 = ℝ − 2 𝐷𝑜𝑚ℎ = 𝑥𝜖ℝΤ𝑥 − 2 ≥ 0 = ሾ2; +∞ۧ 𝐷𝑜𝑚 ℎ. 𝑓 = 𝐷𝑜𝑚ℎ ∩ 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 2; +∞ 1 𝑥−2 𝑥−2 𝑥−2 ℎ𝑓 𝑥 = ℎ 𝑥. 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2. =. = 𝑥−2 𝑥−2 𝑥−2 𝑥−2 𝑥−2 𝟏 𝒉𝒇 𝒙 = ; 𝒙𝝐 𝟐; +∞ Rpta. 𝒙−𝟐 9 Ejemplo Determine 𝑓. 𝑔 𝑥 donde: 2𝑥 + 1, 𝑥 ≥ 1 3𝑥 + 1, 𝑥 ≤ 8 𝑓 𝑥 =ቊ 2 ,g 𝑥 =ቊ 3 𝑥 −2, 𝑥 < 0 2𝑥 , 𝑥 > 10 Resolución 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ‫ۦ‬−∞; 0ۧ ∪ ሾ1; +∞ۧ , 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = ‫ۦ‬−∞; 8ሿ ∪ 10; +∞ 𝑫𝒐𝒎 𝒇 −∞ 𝟎 𝟏 𝟖 𝟏𝟎 +∞ 𝑫𝒐𝒎 𝒈 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = −∞; 0 ∪ 1; 8 ∪ 10; +∞ 10 𝑺𝒊 𝒙 < 𝟎: 𝒇. 𝒈 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟐. 𝟑𝒙 + 𝟏 = 𝟑𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟐 𝑺𝒊 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟖: 𝒇. 𝒈 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟏. 𝟑𝒙 + 𝟏 = 𝟔𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟏 𝑺𝒊 𝒙 > 𝟏𝟎 𝒇. 𝒈 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟏. 𝟐𝒙𝟑 = 𝟒𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 11 Luego el producto: 𝟑𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟐, 𝒔𝒊 𝒙 𝟏𝟎 Rpta. 12  DIVISIÓN DE FUNCIONES Dadas dos funciones 𝑓 y 𝑔 reales de variable real, con Dominios no vacíos y de intersección no vacía. Se tiene como propósito obtener la “Función cociente de 𝑓 y 𝑔”, 𝒇 denotada , la cual debe cumplir con lo siguiente: 𝒈 𝟏. 𝑫𝒐𝒎 𝒇/𝒈 = 𝑫𝒐𝒎𝒇 ∩ 𝑫𝒐𝒎𝒈 − 𝒙Τ𝒈 𝒙 = 𝟎 𝒇 𝒇(𝒙) 𝟐. (𝐱) = 𝒈 𝒈(𝒙) 13 Ejercicio Dadas las funciones f y g, 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 = 𝑥−1 𝑓 Determine: 𝐷𝑜𝑚 𝑔 Resolución 𝐷𝑜𝑚 𝑓Τ𝑔 = 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 − 𝑥 Τ𝑔 𝑥 = 0 = ሾ0, +∞ۧ ∩ ℝ − 𝑥Τ 𝑥 − 1 = 0 = ሾ0, +∞ۧ − 𝑥Τ 𝑥 = 1 = ሾ0, +∞ۧ − 𝑥Τ 1 ≤ 𝑥 < 2 𝐷𝑜𝑚 𝑓 Τ𝑔 = ൣ0; 1ۧ ∪ ሾ2; +∞ۧ 𝒇 𝒙 𝒙 𝒇Τ𝒈 𝒙 = = , 𝒙𝝐 ൣ𝟎; 𝟏ۧ ∪ ሾ𝟐; +∞ۧ 𝐑𝐩𝐭𝐚. 𝒈 𝒙 𝒙−𝟏 14  POTENCIACIÓN DE FUNCIONES Dada una función 𝑓 real de variable real, con Dominio no Vacío. Para un valor n ∈ {2,3,4,5, ….. } Se tiene como propósito obtener la “Función Potencia de 𝑓”, Denotada 𝑓 𝑛 , la cual debe cumplir con lo siguiente: 𝟏. 𝑫𝒐𝒎 𝒇𝒏 = 𝑫𝒐𝒎𝒇 𝟐. 𝒇𝒏 𝒙 = 𝒇 𝒙 𝒏 15 Ejemplo Sean las funciones: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 3𝑥 + 1 𝑔 𝑥 = 0; 5 , −1; 2 , 3; 7 , 2; 9. Halle 5𝑔2 − 3𝑓 −1. Resolución 5𝑔2 − 3𝑓 −1 = 5𝑔2 −1 − 3𝑓 −1 = 5 𝑔 −1 2 − 3 𝑓 −1 2 =5 2 − 3 −1 𝟓𝒈𝟐 − 𝟑𝒇 −𝟏 = 𝟏𝟑 Rpta. 16 Ejercicio Indique el de verdad de las siguientes afirmaciones: I) Si f. g es inyectiva entonces f es inyectiva. II) Si f y g son inyectivas entonces f+g es inyectivas III) El rango de 𝑓 𝑥 = 𝑥 + −𝑥 es −1; 0 Resolución I) Por Ejemplo: 𝑓 𝑥 =5 ∧ 𝑔 𝑥 =𝑥−1 ⟶ 𝑓𝑔 𝑥 = 5 𝑥 − 1 𝑓𝑔 𝑥 𝑒𝑠 𝐼𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎, 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑓 𝑛𝑜 𝑙𝑜 𝑒𝑠. (Falso) 17 II) Por Ejemplo: 𝑓 𝑥 =𝑥+3 ∧ 𝑔 𝑥 = −𝑥 Son Inyectivas Pero; 𝑓+𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 𝑓+𝑔 𝑥 =𝑥+3−𝑥 = 3 No es Inyectiva (Falso) III) Redefiniendo la función: 0; 𝑠𝑖 𝑥𝜖 ℤ 𝑓 𝑥 =൜ ⟶ 𝑅𝑎𝑛𝑓 = −1; 0 (Verdadero) −1; 𝑠𝑖 𝑥 ∉ ℤ 18  COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dadas dos funciones 𝑓 y 𝑔 ( no necesariamente reales de variable real), con Dominios no vacíos. Se define a la “función compuesta de 𝑓 y 𝑔” o “composición de 𝑓 y 𝑔” o “𝑓 compuesta con 𝑔” , denotada 𝑓 ∘ 𝑔 , 19  COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dadas las funciones 𝑓 y 𝑔, se define una nueva función llamada la composición de 𝑓 con 𝑔 (simbolizada por𝑓o𝑔) de la siguiente forma: Dominio 𝑫𝒐𝒎 𝒇𝒐𝒈 = 𝒙𝝐𝑫𝒐𝒎𝒈Τ𝒈 𝒙 𝝐𝑫𝒐𝒎𝒇 𝑫𝒐𝒎 𝒇𝒐𝒈 = 𝑫𝒐𝒎𝒈 ∩ 𝒙Τ𝒈 𝒙 𝝐𝑫𝒐𝒎𝒇 Regla de correspondencia 𝒇𝒐𝒈 𝒙 = 𝒇 𝒈 𝒙 Observación: Si 𝑹𝒂𝒏𝒈 ∩ 𝑫𝒐𝒎𝒇 ≠ ∅, 𝐞𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬 𝒇𝒐𝒈 𝐞𝐱𝐢𝐬𝐭𝐞 14/05/2022 Cepreuni 2020-2 20 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Propiedades de las funciones compuestas 1. La composición de funciones es asociativa 𝒇𝒐 𝒈𝒐𝒉 = 𝒇𝒐𝒈 𝒐𝒉 2. La composición de funciones no es conmutativa 𝒇𝒐𝒈 ≠ 𝒈𝒐𝒇 3. El elemento neutro en las funciones compuestas es la función identidad I. 𝒇𝒐𝑰 = 𝑰𝒐𝒇 = 𝒇 21 Ejercicio Sean las funciones: 𝑓 𝑥 + 1 = 𝑥2 ; 𝑥𝜖‫ۦ‬−1; 7ሿ 𝑔 𝑥 − 1 = 2𝑥 − 1 ; 𝑥𝜖ሾ1; +∞ۧ Halle fog Resolución 𝑓 𝑥 = 𝑥−1 2; 𝑥𝜖‫ۦ‬0; 8ሿ 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 1 ; 𝑥𝜖ሾ0; +∞ۧ 𝐷𝑜𝑚𝑓𝑜𝑔 = 𝑥𝜖𝐷𝑜𝑚𝑔 Τ𝑔 𝑥 𝜖𝐷𝑜𝑚𝑓 𝐷𝑜𝑚𝑓𝑜𝑔 = 𝑥 ≥ 0 ∧ 2𝑥 + 1 𝜖‫ۦ‬0; 8ሿ 1 7 7 𝐷𝑜𝑚𝑓𝑜𝑔 = 𝑥 ≥ 0 ∧ − < 𝑥 ≤ = 0; 2 2 2 2 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 2𝑥 + 1 = 2 𝑥 + 1 − 1 = 4𝑥 2 𝟕 𝒇𝒐𝒈 𝒙 = 𝟒𝒙 ; 𝟐 𝒙𝝐 𝟎; Rpta. 𝟐 22  Ejemplo Sean las funciones: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2, 𝑥𝜖 3; 5 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3, 𝑥𝜖 2; 4. Halle 𝑓𝑜𝑔 Resolución 𝐷𝑜𝑚𝑓𝑜𝑔 = 𝑥𝜖𝐷𝑜𝑚𝑔 Τ𝑔 𝑥 𝜖𝐷𝑜𝑚𝑓 𝐷𝑜𝑚𝑓𝑜𝑔 = 𝑥𝜖 2; 4 Τ𝑥 − 3 𝜖 3; 5 𝐷𝑜𝑚𝑓𝑜𝑔 = 𝑥𝜖 2; 4 Τ𝑥 𝜖 6; 8 =∅ Es decir 𝑅𝑎𝑛𝑔 ∩ 𝐷𝑜𝑚𝑓 = ∅ ⟹ 𝒇𝒐𝒈 𝐍𝐨 𝐞𝐱𝐢𝐬𝐭𝐞 𝐑𝐩𝐭𝐚. 14/05/2022 Cepreuni 2020-2 23 Ejercicio Indique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I) Sea f creciente y g decreciente en R entonces fog es creciente. II) Sea f ; g : R ⟶ R, f es impar y g es par entonces f g + 2 f es impar. III) Si fog es inyectiva entonces g es inyectiva. Resolución 24 I) Si f es creciente y g es decreciente ⟶ 𝑥1 < 𝑥2 : 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2 ∧ 𝑔 𝑥1 > 𝑔 𝑥2 𝑥1 < 𝑥2 ⟶ 𝑔 𝑥1 > 𝑔 𝑥2 ⟶ 𝑓 𝑔 𝑥1 > 𝑓 𝑔 𝑥2 ⟶ 𝑓𝑜𝑔 𝑥1 > 𝑓𝑜𝑔 𝑥2 𝑥1 < 𝑥2 ⟶ 𝑓𝑜𝑔 𝑥1 > 𝑓𝑜𝑔 𝑥2 ∴ 𝒇𝒐𝒈 es Decreciente (Falso) 25 II) Sea f : R ⟶ R y g: R ⟶ R 𝑓 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 ⟶ 𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥 𝑔 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 ⟶ 𝑔 −𝑥 = 𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝐷𝑜𝑚𝑔 = ℝ, ∀𝑥𝜖ℝ: −𝑥𝜖ℝ 𝐷𝑜𝑚 𝑓𝑔 + 2𝑓 = 𝐷𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚𝑔 = ℝ 𝑓𝑔 + 2𝑓 −𝑥 = (𝑓𝑔) −𝑥 + 2(𝑓) −𝑥 = 𝑓 −𝑥. 𝑔 −𝑥 + 2𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥. 𝑔 𝑥 − 2𝑓 𝑥 = − 𝑓 𝑥. 𝑔 𝑥 + 2𝑓 𝑥 = − 𝑓𝑔 + 2𝑓 𝑥 𝑓𝑔 + 2𝑓 −𝑥 = − 𝑓𝑔 + 2𝑓 𝑥 es impar (Verdadero) 26 III) Si fog es inyectiva por reducción al absurdo.. 𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑔 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 ⟶ ∃ 𝑥1 , 𝑥2 𝜖 𝐷𝑜𝑚 𝑔 𝑐𝑜𝑛 𝑥1 ≠ 𝑥2 Τ𝑔 𝑥1 = 𝑔 𝑥2 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑓 𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 𝑔 𝑥1 = 𝑓 𝑔 𝑥2 ⟶ 𝑓𝑜𝑔 𝑥1 = 𝑓 𝑔 𝑥2 𝑓𝑜𝑔 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 ⟶ 𝐠 𝐬𝐢 𝐞𝐬 𝐢𝐧𝐲𝐞𝐜𝐭𝐢𝐯𝐚 𝐕𝐞𝐫𝐝𝐚𝐝𝐞𝐫𝐨 27