מתמטיקה 5 יחידות שאלון 806 PDF

‫מתמטיקה ‪ 5‬יחידות שאלון ‪806‬‬ ‫‪1‬‬  ‫תלמידים יקרים‬ ‫ספר תרגילים זה הוא פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהגשה לבחינות‬ ‫הבגרות במתמטיקה הן בבתי הספר התיכוניים‪ ,‬הן בבתי הספר‬ ‫הפרטיים והן במכינות האוניברסיטאיות‪.‬‬ ‫שאלות תלמידים וטע...

‫מתמטיקה ‪ 5‬יחידות שאלון ‪806‬‬ ‫‪1‬‬  ‫תלמידים יקרים‬ ‫ספר תרגילים זה הוא פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהגשה לבחינות‬ ‫הבגרות במתמטיקה הן בבתי הספר התיכוניים‪ ,‬הן בבתי הספר‬ ‫הפרטיים והן במכינות האוניברסיטאיות‪.‬‬ ‫שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את‬ ‫הדרך הנכונה לעומדים בפני מקצוע חשוב זה‪.‬‬ ‫הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד על פי תכנית‬ ‫הלימודים של משרד החינוך‪.‬הניסיון מלמד כי ל ִתרגוּל בקורס זה‬ ‫חשיבות יוצאת דופן‪ ,‬ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים‬ ‫המופיעים בו‪.‬‬ ‫לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר ‪www.GooL.co.il‬‬ ‫הפתרונות מוגשים בסרטוני וידאו המלווים בהסבר קולי‪ ,‬כך שאתם‬ ‫רואים את התהליכים בצורה מובנית‪ ,‬שיטתית ופשוטה‪ ,‬ממש כפי‬ ‫שנעשה בשיעור פרטי‪.‬הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך‬ ‫חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה‪.‬‬ ‫תקוותי היא שספר זה ישמש מורה‪-‬דרך לכם התלמידים ויוביל אתכם‬ ‫להצלחה‪.‬‬ ‫יוחאי טוויג‬ ‫‪2‬‬  ‫תוכן עניינים כללי‪:‬‬ ‫‪..............................................................................................‬‬ ‫‪4‬‬ ‫אלגברה‬ ‫גיאומטריה אוקלידית ‪..........................................................................‬‬ ‫‪100‬‬ ‫טריגונומטריה ‪.....................................................................................‬‬ ‫‪211‬‬ ‫חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪................................................................‬‬ ‫‪259‬‬ ‫תרגול נוסף בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‪365..........................................‬‬ ‫נספחים ‪479.............................................................................................‬‬ ‫הערות כלליות‪:‬‬ ‫בכל נושא מופיע תוכן העניינים המפורט‪.‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫הסקיצות בשאלות החקירה מופיעות בצורה מרוכזת בסוף דפי התשובות‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫כל פרק מורכב מחלק תיאורטי ותרגול אשר מופיעים בצורה מלאה ומפורטת‬ ‫‪.3‬‬ ‫באתר‪ ,‬למעט החלקים הקרויים 'תירגול נוסף' ושאלות החזרה מבחינות‪.‬‬ ‫קישור לחוברת מתכונות‪.http://www.gool.co.il/Misc/806_exams_gool.pdf :‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪3‬‬  ‫תוכן העניינים – פרקי אלגברה‪:‬‬ ‫פרק ‪ – 1‬טכניקה אלגברית‪7...................................................................................... :‬‬ ‫פירוק הטרינום‪7................................................................................................ :‬‬ ‫משוואות‪8......................................................................................................... :‬‬ ‫משוואה ממעלה ראשונה‪8............................................................................................ :‬‬ ‫מערכת שתי משוואות בשני נעלמים ממעלה ראשונה‪9...................................................... :‬‬ ‫משוואות עם אינסוף פתרונות וללא פתרון‪10.................................................................. :‬‬ ‫משוואה ממעלה שנייה‪10............................................................................................. :‬‬ ‫משוואות ממעלה שלישית ומשוואות דו‪ -‬ריבועיות‪11........................................................:‬‬ ‫משוואות עם פרמטרים‪11............................................................................................ :‬‬ ‫משוואות עם שורשים‪12............................................................................................... :‬‬ ‫משוואות עם ערך מוחלט‪12.......................................................................................... :‬‬ ‫מערכת משוואות ממעלה שנייה‪12................................................................................. :‬‬ ‫תשובות סופיות‪13....................................................................................................... :‬‬ ‫אי שוויוניים‪15.................................................................................................. :‬‬ ‫אי‪-‬שוויונים ממעלה ראשונה‪15..................................................................................... :‬‬ ‫אי‪-‬שוויונים ממעלה שנייה‪15........................................................................................ :‬‬ ‫אי‪-‬שוויונים ממעלה שלישית‪16..................................................................................... :‬‬ ‫אי‪-‬שוויונים עם מנה‪16.................................................................................................:‬‬ ‫אי‪-‬שוויונים כפולים ‪ -‬מערכת וגם‪16.............................................................................. :‬‬ ‫שאלות מסכמות – אי‪-‬שוויונים‪17................................................................................. :‬‬ ‫תשובות סופיות‪17....................................................................................................... :‬‬ ‫תחום הגדרה‪18........................................................................................................... :‬‬ ‫תשובות סופיות‪18....................................................................................................... :‬‬ ‫אי שוויונים עם ערך מוחלט‪19...................................................................................... :‬‬ ‫תשובות סופיות‪19....................................................................................................... :‬‬ ‫פרק ‪ – 2‬חקירת משוואות ממעלה ראשונה ושנייה‪20...................................................... :‬‬ ‫חקירת משוואות ממעלה ראשונה‪20........................................................................ :‬‬ ‫תשובות סופיות‪21....................................................................................................... :‬‬ ‫חקירת משוואות ממעלה שנייה‪22.......................................................................... :‬‬ ‫תשובות סופיות‪22....................................................................................................... :‬‬ ‫פרק ‪ – 3‬בעיות מילוליות‪23...................................................................................... :‬‬ ‫הקדמה כללית‪23................................................................................................ :‬‬ ‫שאלות יסודיות‪23....................................................................................................... :‬‬ ‫תשובות סופיות‪23....................................................................................................... :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫בעיות תנועה‪24.................................................................................................. :‬‬ ‫בעיות ללא אחוזים עם נעלם אחד ושניים‪24................................................................... :‬‬ ‫בעיות תנועה עם אחוזים‪25.......................................................................................... :‬‬ ‫בעיות תנועה עם משפט פיתגורס‪26................................................................................:‬‬ ‫מהירות מושפעת מזרמים‪26......................................................................................... :‬‬ ‫מהירות ממוצעת‪26..................................................................................................... :‬‬ ‫שאלות מסכמות‪27...................................................................................................... :‬‬ ‫תשובות סופיות‪29....................................................................................................... :‬‬ ‫בעיות הספק‪30.................................................................................................. :‬‬ ‫שאלות שונות‪30.......................................................................................................... :‬‬ ‫תשובות סופיות‪31....................................................................................................... :‬‬ ‫שאלות שונות‪32................................................................................................. :‬‬ ‫בעיות תנועה‪32........................................................................................................... :‬‬ ‫בעיות הספק‪36........................................................................................................... :‬‬ ‫תשובות סופיות‪37....................................................................................................... :‬‬ ‫תירגול נוסף‪38................................................................................................... :‬‬ ‫בעיות תנועה שונות‪38.................................................................................................. :‬‬ ‫תשובות סופיות‪43....................................................................................................... :‬‬ ‫פרק ‪ – 4‬סדרות‪44.................................................................................................. :‬‬ ‫סדרה חשבונית‪44.............................................................................................. :‬‬ ‫שאלות‪44................................................................................................................... :‬‬ ‫תשובות סופיות‪47....................................................................................................... :‬‬ ‫סדרה הנדסית‪48................................................................................................ :‬‬ ‫שאלות‪48................................................................................................................... :‬‬ ‫תשובות סופיות‪51....................................................................................................... :‬‬ ‫סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת‪52...................................................................... :‬‬ ‫שאלות‪53................................................................................................................... :‬‬ ‫תשובות סופיות‪56....................................................................................................... :‬‬ ‫סדרת נסיגה‪57.................................................................................................. :‬‬ ‫שאלות‪57................................................................................................................... :‬‬ ‫תשובות סופיות‪59....................................................................................................... :‬‬ ‫פרק ‪ - 5‬הסתברות קלאסית‪60.................................................................................. :‬‬ ‫הגדרות כלליות‪60....................................................................................................... :‬‬ ‫שאלות יסודיות‪61....................................................................................................... :‬‬ ‫שאלות עם שני ניסויים‪61............................................................................................. :‬‬ ‫שאלות עם הסתברות מותנית‪62....................................................................................:‬‬ ‫שאלות עם נעלמים‪63...................................................................................................:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫שאלות הנפתרות באמצעות טבלה דו‪-‬מימדית‪64............................................................. :‬‬ ‫התפלגות בינומית ונוסחת ברנולי ‪ -‬שאלות יסודיות‪65..................................................... :‬‬ ‫התפלגות בינומית ונוסחת ברנולי ‪ -‬שאלות עם הסתברות מותנית‪66.................................. :‬‬ ‫התפלגות בינומית ונוסחת ברנולי ‪ -‬שאלות עם נעלמים‪67................................................. :‬‬ ‫שאלות מסכמות‪68...................................................................................................... :‬‬ ‫תשובות סופיות‪74....................................................................................................... :‬‬ ‫שאלות שונות לפי נושאים‪75................................................................................. :‬‬ ‫כפל וחיבור הסתברויות – מאורעות בלתי תלויים‪75........................................................ :‬‬ ‫כפל וחיבור הסתברויות – מאורעות תלויים‪76................................................................ :‬‬ ‫תרגילים הכוללים שימוש בדיאגרמת עץ‪78..................................................................... :‬‬ ‫תרגילים עם נעלמים – כפל וחיבור הסתברויות‪ ,‬דיאגרמת עץ‪80........................................ :‬‬ ‫התפלגות בינומית ונוסחת ברנולי‪83............................................................................... :‬‬ ‫טבלה דו מימדית‪89..................................................................................................... :‬‬ ‫תרגילים בהסתברות מותנה ונוסחת בייס עם נעלם אחד‪93............................................... :‬‬ ‫תרגילים בהסתברות מותנה ונוסחת בייס עם שני נעלמים‪94............................................. :‬‬ ‫תרגילים הכוללים טבלה עם שלוש עמודות‪94................................................................. :‬‬ ‫תרגילי חישוב הכוללים שימוש בנוסחאות בהסתברות‪94................................................. :‬‬ ‫תרגילי הוכחה בעזרת נוסחאות ההסתברות‪96................................................................ :‬‬ ‫תשובות סופיות‪98....................................................................................................... :‬‬ ‫‪6‬‬  :‫ – טכניקה אלגברית‬1 ‫פרק‬ :‫פירוק הטרינום‬ :‫פרק את הביטויים הבאים לפי פירוק טרינום‬ 2 x 2  7 x  15 (2 4x2  8x  3 (1 6x2  5x  1 (4 3 x 2  11x  6 (3 x2  5x  4 (6 2x2  x  6 (5 x 2  33 x  62 (8 x 2  8 x  15 (7 :‫פרק את הביטויים הבאים‬ 4x2  8x  3 (9 6 x 2  5 x  1 (10 x 2  5 x  4 (11 :‫תשובות סופיות‬  3x  2  x  3 (3  2 x  3 x  5 (2  2 x  1 2 x  3 (1  x  1 x  4  (6  x  2  2 x  3 (5  3x  1 2 x  1 (4  2 x  1 2 x  3 (9  x  2  x  31 (8  x  3 x  5 (7.  x  1 x  4  (11  3x  1 2 x  1 (10 7  :‫משוואות‬ :‫משוואה ממעלה ראשונה‬ :‫( פתור את המשוואות הבאות‬1 2 x  x  24.‫ג‬ 7  2x  7.‫ב‬ 6 x  2  8.‫א‬ 7 x  5  2 x  4 x  13.‫ה‬ 2x  6  8  x.‫ד‬ 2  5 x  7  3x  8.‫ז‬ 6 x  3  5  7 x  x  5x  7.‫ו‬ :‫( פתור את המשוואות הבאות‬2 7 x  4 3  4x    x.‫ב‬ 3  x  1  4  2.‫א‬ 5 x   3x  7  4  21.‫ד‬ 6  4  x    6  x   3x.‫ג‬  7  x 1  x    x  3 2 0.‫ו‬ x  x  5  x 2  7 x  8.‫ה‬ :‫( פתור את המשוואות הבאות‬3 4 x 3x x x  1.‫ב‬   4.‫א‬ 15 10 3 9 5 x  1 6 x  1 3x  1 2 4 7   1.‫ד‬ x x  x.‫ג‬ 6 5 4 3 5 15 x x 2 3 5    x  1.‫ו‬  x  3   4  x   x  2.‫ה‬ 3 7 5 15 :‫( פתור את המשוואות הבאות‬4 1 x 1 2   0.‫ב‬   0.‫א‬ 2 x 1 4 x 5 4 3 1 .‫ד‬ .‫ג‬ 2 x  1 3x  2 x x2 x5 1 1  .‫ה‬ 3x 2 6 x x 8  :‫( פתור את המשוואות הבאות‬5 7 2 3 x2  2 3x  1 2    0.‫ב‬ .‫א‬ x 1 x 1 2  2x 2 3 x  5 x 9 x  15 4 x 2  24 x  36 3 5  12.‫ד‬   0.‫ג‬  2  x  12  3x 2 2 x 3 :‫מערכת שתי משוואות בשני נעלמים ממעלה ראשונה‬ :‫( פתור את המשוואות הבאות‬6 5 x  2 y  14 x  3y  5 .‫ב‬ .‫א‬ 5 x  3 y  23 x  3y  3 :‫( פתור את המשוואות הבאות‬7 5 x  2 y  2 3 x  2 y  16 3x  y  11 .‫ג‬ .‫ב‬ .‫א‬ x  4 y  4  x  5 y  14 y  5 y  x 3 2 x  3 y  5 .‫ה‬ .‫ד‬  y  2x  4 5 x  7 y  11 :‫( פתור את המשוואות הבאות‬8  x  3 x  y y 1    3 y  x  2  4 x  2  3 y  8 16 4.‫ב‬ .‫א‬ 3  2 x  y   4 x  11  0 2 x  3  y  5 y  4 x  3   3x  1 2 3  4  5  x  y   10  x  3 .‫ג‬  x 1  y  1  4 2 :‫( פתור את המשוואות הבאות‬9  7 3 3 3 1  4 x   3 x  y  2 x  y  4  y   .‫ג‬ .‫ב‬ .‫א‬ 5 x  2  7  9  4  7 5  1  4  y  x y  x y 9  ‫‪ (10‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬ ‫‪ xy  20‬‬ ‫‪ x  y  2   y  xy  5‬‬ ‫‪‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪ y  3 x  4   20‬‬ ‫‪ x  y  2‬‬ ‫‪5 x  4 xy  22‬‬ ‫‪‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪6 x  xy  20‬‬ ‫משוואות עם אינסוף פתרונות וללא פתרון‪:‬‬ ‫‪ (11‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬ ‫ב‪5 x  3  x  4 x  2 x  3.‬‬ ‫א‪6  x  2   2 x  5  4 x.‬‬ ‫‪2  x  y   4 y  1  x‬‬ ‫‪x  2 y  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪2  7 y  x  3  x  y ‬‬ ‫‪4 x  8 y  5‬‬ ‫משוואה ממעלה שנייה‪:‬‬ ‫‪ (12‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬ ‫ב‪ x  10 x  16  0.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪x 2  3 x  10  0.‬‬ ‫ד‪2 x 2  6 x  5  0.‬‬ ‫ג‪25 x 2  20 x  4  0.‬‬ ‫‪ (13‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬ ‫ב‪ x  x  5  1  3x 1  x   4.‬‬ ‫א‪4 x 2  5 x  7  4  x 2  3.‬‬ ‫ג‪2  x  5    2 x  3   10 x  21.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (14‬פתור את המשוואות הבאות )משוואה חסרת ‪:( b‬‬ ‫ב‪32 x  18  0.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪x 2  36  0.‬‬ ‫‪ (15‬פתור את המשוואות הבאות )משוואה חסרת ‪:( c‬‬ ‫ב‪5 x 2  x  0.‬‬ ‫א‪7 x 2  14 x  0.‬‬ ‫‪10‬‬  :‫( פתור את המשוואות הבאות‬16 2 x 9 4x 1 x  2 2  x  x 2  18.‫ב‬  .‫א‬ x3 3 2 x 3 2x  5 4    0.‫ג‬ 2 x  2 2  x  1 1  x 2 2 :‫ ריבועיות‬-‫משוואות ממעלה שלישית ומשוואות דו‬ :‫( פתור את המשוואות הבאות‬17 x 4  3 x 2  2  0.‫ב‬ 5 x 4  3 x 2  8  0.‫א‬ 2 x 3  5 x 2  2 x  5  0.‫ד‬ 2 x3  7 x 2  7 x  2  0.‫ג‬ :‫משוואות עם פרמטרים‬ :‫( פתור את המשוואות הבאות‬18 1 1 mx  3m  5 x  1.‫א‬  a  3x    ax  3.‫ב‬ 3 a m 1 m 1 .‫ד‬  x  2a  x  2b   x 2  2  a 2  b 2 .‫ג‬ x 1 x 1 x 1 ax  x 2   3  3.‫ה‬ a  a 2a 2a  4a  2a a  2a 2  a 2 2 :‫( פתור את מערכות המשוואות הבאות‬19 ax  y  2  x  my  1 .‫ב‬ .‫א‬  x  ay  4 x  y  m  m  1 x   2m  3 y  5 x .‫ד‬  ym m.‫ג‬  m  2  x   2m  1 y  10m x  m y  1 2   2a  b  x   2a  b  y  8ab .‫ה‬  2a  b  x   2a  b  y  8a  2b 2 2 11  :‫( פתור את המשוואות הריבועיות הבאות‬20 x 2  2 x  4a  a 2  3.‫ב‬ x 2  2mx  m 2  1  0.‫א‬ 1 1 1    0.‫ד‬ x 2  m  x  10   2m2  5 x.‫ג‬ ax a ax a 1 x   b x b a.‫ו‬ m 2  1 x 2  m 2 x  1  0.‫ה‬ 1 a b a b x  .‫ז‬ x a b a b :‫משוואות עם שורשים‬ :‫( פתור את המשוואות הבאות‬21 x2  x.‫ב‬ 4x  3  5.‫א‬ 2 x  16  3 x  1.‫ד‬ 3 x  1  x  13.‫ג‬ x 2  5 x  12  2 6  x.‫ו‬ 3 x  5  x  17.‫ה‬ 2x 1  3  7 x  1.‫ח‬ x  1  2 x  5  11  x 2.‫ז‬ 2x  3  3  x  2.‫י‬ 9 x  8  3 x  4  2.‫ט‬ 2 x  2  5 x  4  3x  2.‫יב‬ x  3  x  2  4 x  1.‫יא‬ 3 x 1  2x  3  2 x  2.‫יג‬ :‫משוואות עם ערך מוחלט‬ :‫( פתור את המשוואות הבאות‬22 3x  24  x.‫ב‬ 2 x  11  7.‫א‬ 2 x  8  x  10.‫ד‬ 12  x  3x.‫ג‬ 14  3x  2 x  5.‫ו‬ 4 x  5  2 x  13.‫ה‬ x  2  6  2x  4.‫ח‬ x  7  2x.‫ז‬ 10  3x  x  4  2 x  6.‫י‬ x  2  2x  6  4x  8.‫ט‬ :‫מערכת משוואות ממעלה שנייה‬ 12  :‫( פתור את מערכות המשוואות הבאות‬23  2 x  y  36 2 2  x 2  y 2  20  2.‫ב‬ .‫א‬  x  3 y  10 x  y  6 3 x  4 y  16 2 2  x 2  2 y 2  17 .‫ד‬  2.‫ג‬  xy  10 2 5 x  3 y  17  x  2 xy  8 y  8 2 2  x 2  xy  20 y 2  0 .‫ו‬ .‫ה‬ x  6 y  1 2 3 xy  2 y  4 16 x 2  y 2  391  x 2  y 2  33 .‫ח‬ .‫ז‬ 4 x  y  23  x  y  11  x 3  y 3  91  x3  y 3  243  2.‫י‬ .‫ט‬ x  y  9 2  x y  xy  30 3 5  xy  24  x  y  21  .‫יב‬ .‫יא‬  y  x   7  y  x   10  0 2  8  1  13  x y  x y 10     x y  xy  84 2 2  y x 3.‫יד‬  2 2.‫יג‬  2 2  x  2 xy  y  5 x  5 y  24  x  y  9 xy  25 :‫תשובות סופיות‬ 1.x.‫ ז‬x  3.‫ ו‬x  2.‫ ה‬x  2.‫ ד‬x  8.‫ ג‬x  0.‫ ב‬x  1.‫( א‬1 2 1 1. x  1.‫ ו‬x  4.‫ ה‬x  1.‫ ד‬x  2.‫ ג‬x .‫ ב‬x  3.‫( א‬2 4 2. x  21.‫ ו‬x  10.‫ ה‬x  1.‫ ד‬x  1.‫ ג‬x  30.‫ ב‬x  18.‫( א‬3. x  2.‫ ה‬x  2.‫ ד‬x  3.‫ ג‬x  1.‫ ב‬x  8.‫( א‬4 4 1.   ,9 .‫ ב‬ 4, .‫( א‬6. x  6 , x  3.‫ ד‬x  7.‫ ג‬x  7.‫ ב‬x  6.‫( א‬5  5   3.  7, 10 .‫ ה‬ 2,3.‫ ד‬ 0,1.‫ ג‬ 4, 2 .‫ ב‬ 2,5.‫( א‬7. 1,1.‫ ג‬ 3,1.‫ ב‬1,1.‫( א‬9  7, 2 .‫ ג‬ 7,1.‫ ב‬ 6,5.‫( א‬8  2, 4 .‫ ג‬ 2,10.‫ ב‬ 1, 3.‫( א‬10 ‫ אין פתרון למערכת המשוואות‬.‫ג‬ ‫ אינסוף פתרונות‬.‫ אין פתרון ב‬.‫( א‬11 13.‫ אינסוף פתרונות‬.‫ד‬ 2.‫ אין פתרון למשוואה‬.‫ ד‬x .‫ ג‬x1  2 , x2  8.‫ ב‬x1  2 , x2  5.‫( א‬12 5 1. x1  1 , x2  10.‫ ג‬x1  1 , x2  1.‫ ב‬x1  0 , x2  1.‫( א‬13 4 1 3 x1  0 , x2 .‫ ב‬x1  0 , x2  2.‫( א‬15 x  .‫ ב‬x  6.‫( א‬14 5 4. x1  0 , x2  5.‫ ג‬x  5 , x  3.‫ ב‬x1  2 , x2  1.2.‫( א‬16 1.‫ ד‬x1  1 , x2  2 , x3 .‫ ג‬x  1.‫ ב‬x  1,  2.‫( א‬17 2 1. x1  1 , x2  1 , x3  2 2 a2  9 3m  1. x  a  1.‫ ה‬x  m.‫ ד‬x  a  b.‫ ג‬x .‫ ב‬m  5, x .‫( א‬18 6a m5  2m  1, m  2 .‫ ד‬ m 2  m  1, m  1 .‫ ג‬ 2a2  4 , 4a2  2 .‫ ב‬ m  1, 1.‫( א‬19  m   a 1 a 1  x  m  5, 2m.‫ג‬ x  a  1, 3  a.‫ב‬ x  m  1, m  1.‫( א‬20  2a  b, 2a  b .‫ה‬ a b a b a 1.x ,.‫ ז‬b  0, x  ,  ab.‫ ו‬x  1,  2.‫ ה‬a  0, x   a 3.‫ד‬ a b a b b m 1 x  5.‫ ח‬x  3.‫ ז‬x  4, 3.‫ ו‬x  6.‫ ה‬x  5.‫ ד‬x  8.‫ ג‬x  2.‫ ב‬x  7.‫( א‬21 8. x  2.‫ יג‬x  1.‫ יב‬x  6.‫ יא‬x  2, 2.‫ י‬x  12.‫ט‬ 9 4 1 x  7.‫ ז‬x  24,.‫ ו‬x  9, 1.‫ ה‬x  6.‫ ד‬x  3.‫ ג‬x  6,12.‫ ב‬x  2, 9.‫( א‬22 5 3 1. x  0.‫ י‬x  0, 12.‫ ט‬x  12, 1.‫ח‬ 3.  5, 2  ,  5, 2 .‫ ד‬ 2, 1.‫ ג‬ 4, 2 .‫ ב‬ 2, 4  ,  4, 2 .‫( א‬23 1 1 1 5 1.  5, 3.‫ ח‬ 7, 4 .‫ ז‬ 3,  ,  3,   ,  2,1 ,  2, 1.‫ ו‬ 2,  ,  , .‫ה‬  2  2  2   11 11  1 1.  , .‫ יא‬ 6,5 ,  5, 6 .‫ י‬ 3,6  ,  6,3.‫ט‬  2 3 .  4, 6  ,  6, 4  ,  3,8 ,  8, 3.‫יב‬.  1.65, 6.35 ,  6.35,1.65  7, 4  ,  4, 7 .‫יג‬.  5, 45 ,  5, 45 ,  45,5 ,  45, 5.‫יד‬ 14  ‫אי שוויוניים‪:‬‬ ‫מה אסור?‬ ‫מה מותר?‬ ‫‪.1‬לכפול או לחלק בביטוי שלא יודעים‬ ‫‪.1‬לחבר או לחסר כל מספר או ביטוי‪.‬‬ ‫את סימנו‪.‬‬ ‫‪.2‬לכפול או לחלק בכל מספר או ביטוי חיובי‪.‬‬ ‫‪.2‬להעלות בחזקה זוגית כשיש אגף‬ ‫שלילי‪.‬‬ ‫‪.3‬לכפול או לחלק בכל מספר או ביטוי שלילי‬ ‫תוך הפיכת סימן אי‪-‬השוויון‪.‬‬ ‫‪.4‬להעלות בחזקה אי זוגית‪.‬‬ ‫‪.5‬להעלות בחזקה זוגית אם שני אגפי‬ ‫אי‪-‬השוויון אינם שליליים‪.‬‬ ‫אי‪ -‬שוויונים ממעלה ראשונה‪:‬‬ ‫פתור את אי‪ -‬השוויונים הבאים‪:‬‬ ‫‪6 x  2  3x  1‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪45x  26  109 (1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ x  2‬‬ ‫‪ 4   x  2   20‬‬ ‫‪2  x  5 ‬‬ ‫‪ 4x  6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4  6 x  8  8  3x  4 ‬‬ ‫‪(6‬‬ ‫‪8 x  4 9  x  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7  x 3x  1 x  4‬‬ ‫‪x6 x4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪(8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 12  x‬‬ ‫‪(7‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫אי‪ -‬שוויונים ממעלה שנייה‪:‬‬ ‫פתור את אי‪ -‬השוויונים הבאים‪:‬‬ ‫‪x 2  12 x  32‬‬ ‫‪(10‬‬ ‫‪x 2  144‬‬ ‫‪(9‬‬ ‫‪ x  2  x  4   35 (12‬‬ ‫‪ x  2  x  5  0 (11‬‬ ‫‪ x  3 x  7   8x  56 (14‬‬ ‫‪ x 2  13 x  30  0‬‬ ‫‪(13‬‬ ‫‪5x  6‬‬ ‫‪ 4  x  3‬‬ ‫‪ x  5‬‬ ‫‪ x  x  2   89‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(16‬‬ ‫‪(15‬‬ ‫‪x 2  10 x  25  0‬‬ ‫‪(18‬‬ ‫‪3 x 2  12 x  0‬‬ ‫‪(17‬‬ ‫‪(20‬‬ ‫‪ x  3‬‬ ‫‪  x  1 x  6   x 2  3 x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 x 2  2 x  24  0‬‬ ‫‪(19‬‬ ‫‪15‬‬  :‫ שוויונים ממעלה שלישית‬-‫אי‬ :‫ השוויונים הבאים‬-‫פתור את אי‬ x  x 2  x  1  0 (22  x  1 x  2  x  3  0 (21 x 3  25 x  0 (24  2 x 2  3 x  2   x  1  0 (23 x 2  8 x  20   3 x  5   0 (26 x 2  3x  5  x  2   0 (25 x3  6 x 2  9 x  0 (28 x 2  x  6   x  1  0 (27  x  2  x  4  x  1  0 (30 x 2  6   x  3  0 (29 :‫ שוויונים עם מנה‬-‫אי‬ :‫ השוויונים הבאים‬-‫פתור את אי‬ x 1 x 1  3 (32 0 (31 3x  2 x2  9 x3 1 2 0 (34 2 0 (33 2 x  10 x  12 x  16 1 2x 1 0 (36 0 (35 3  x  1 x5 1 x 1 2  0 (38  1 (37 x  5x  6 x2 1 x2  7 x  6 2  0 (40  0 (39 x  8 x  12  x 2  3x  7 :‫ מערכת וגם‬- ‫ שוויונים כפולים‬-‫אי‬ :‫ השוויונים הבאים‬-‫פתור את אי‬ 1 3  x  1  5 (41 0  2 (42 x4 8  3x x 1 0  4 (44 1   1 (43 5  2x x 1 2 x  10 7 x  20 6 x  38  x  3  5x  7 (45 6  (46 3 5 4 x  5 3x  8 9  x 2x  6 x  2    11 (48 1   (47 15 5 3 4 3 16  :‫שוויונים‬-‫שאלות מסכמות – אי‬ :‫השוויונים הבאים‬-‫פתור את אי‬ 3 x  x  5   3x  15  2 x  1  x(4  x) (50 x  2  x  5  0  x  8 (49 4  x  5 3x  1  0 (52  x  4  x  2   0 (51  2  x  x  7  x 1  2 x  3 x  12   0 (53 x  x  3 2 x  5  0 (54  x  1 4  x  5  2x  x  6   x  1  0 (55 2  0 (56  x  8 2 x2 2 x  4x x 3  0 (58  0 (57 2 x  2x  3 x2  2 x7 x2  6x  9 2  0 (60  0 (59 x  x3 x3  x 2x2 x x x 1 1   (62 2   (61 2 x  6x  8 x  4 x  2 x 4 x2 x2 3 2 1 1  0   (64 x2  3x  10  6  5x  x 2 (63 x 1 x x  3 1 x x 1 1  2 (65 x4 x 1 x ? g  x  ‫ מעל הפונקציה‬f  x   ‫ נמצאת הפונקציה‬x ‫( לאלו ערכי‬66 x3 x 3 :‫תשובות סופיות‬. x  13 (8 x  12 (7 x ‫( אף‬6 x  5 (5 x  2 (4 x ‫( אף‬3 x ‫( כל‬2 x  3 (1. 9  x  3 (12 5  x  2 (11 x  4 , x  8 (10 12  x  12 (9. 4  x  0 (16 4  x  8 (15 x  7 , x  11 (14 x  2 , x  15 (13. x ‫( כל‬20 x  3 , x  5 (19 x  5 , x  5 (18 0  x  4 (17 1 5  x  0 , x  5 (24 2  x  1 , x  (23 x  0 (22 1  x  2 ‫ או‬x  3 (21 2 2. x  3 (29 x  0 , x  3 (28 x  2 , 1  x  3 (27 x  1 (26 x  2 (25 3 2 1. x   , x   (32 3  x  1 , x  3 (31 x  1 , 2  x  4 (30 3 2 1. x  2 (37 x  1 (36  x  5 (35 2  x  3 , x  3 (34 x  4 , x  4 (33 2 17  1. x  0 (43 x  3 (42 2  x  4 (41 x  2 , x  6 (40 1  x  6 (39 2  x  3 (38 2 3 2 2 2  x   (49.  (48 1  x  13 (47 x  10 (46 2.5  x  7 (45 x  2 , x  2 (44 4 5 3 1 x  7 ,   x  2 , 5  x (52 x  2 , 1  x  4 (51 x  4 (50 3. x  1 , 2  x  6 , 6  x (55 x  3 , 0  x  2.5 (54. 1  x  1.5 , 4  x  12 (53. x  3 , 0  x  1 , x  4 (58 3  x (57 2.5  x  8 , 8  x (56. x  2 , 2  x  4 (61 7  x (60 1  x  0 , 1  x  3 , 3  x (59. x  7 (65 x  1 (64 x ‫( אף‬63 x  0 , 1  x  2 , 4  x (62 3. 3  x   , 3  x (66 5 :‫תחום הגדרה‬ :‫( מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות‬1 f  x  2 x  3.‫ב‬ f  x  x.‫א‬ 5x f  x .‫ד‬ f  x   3x 1  2 x.‫ג‬ x4 x2 f  x .‫ו‬ f  x   x 2  3x  10.‫ה‬ 3 x  9x x 1 f  x .‫ז‬ x 2 x :‫( מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות‬2 1 f  x .‫ב‬ f  x  x 2 3.‫א‬ x x6 x2  5x  6 2x2  x  3 f  x .‫ד‬ f  x .‫ג‬ x 1 x2  5x  9 :‫תשובות סופיות‬ 1 x  5 , x  2.‫ ה‬x  4.‫ ד‬x .‫ ג‬x  3.‫ ב‬x  0.‫( א‬1 2. x  2 , 2  x  1 , 1  x  2.‫ ז‬3  x  0 , x  3.‫ו‬ 1. x  3 , 2  x  1.‫ ד‬x  1 , x  1.‫ ג‬6  x  2.‫ ב‬x  7.‫( א‬2 2 18  ‫אי שוויונים עם ערך מוחלט‪:‬‬ ‫‪ (1‬פתור את אי השוויונים הבאים‪:‬‬ ‫‪2x 1  7‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫א‪x  2  3.‬‬ ‫‪2 x  1  3x  4‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪6  2x  x‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪ (2‬פתור את אי השוויונים הבאים‪:‬‬ ‫‪2x  3  8  5  x‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫א‪1  4  3x  7.‬‬ ‫‪ (3‬פתור את אי השוויונים הבאים‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x  x  10  3 x  2‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫א‪x 2  6 x  4  12.‬‬ ‫‪x2  6 x  5  0‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪ (4‬פתור את אי השוויונים הבאים‪:‬‬ ‫‪x  8  11  1  3x‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫א‪x  3  2 x  2  7.‬‬ ‫‪2 x  6  x  5  14  1  x‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪3  2 x  11  4  6  x‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5  4x  3  x  4 ‬‬ ‫‪x  22‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫תשובות סופיות‪:‬‬ ‫ד‪. x  1.‬‬ ‫ג‪2  x  6.‬‬ ‫ב‪ 3  x.‬או ‪x  4‬‬ ‫‪ (1‬א‪5  x  1.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪. 5  x  3.‬‬ ‫‪ (2‬א‪ 1  x  3.‬או ‪1  x  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ב‪ 4  x.‬או ‪x  2‬‬ ‫‪ (3‬א‪ 2  x  2.‬או ‪8  x  4‬‬ ‫ג‪ 1  x  5.‬או ‪. 5  x  1‬‬ ‫ב‪1  x  1.‬‬ ‫‪ (4‬א‪ 2  x.‬או ‪x  2‬‬ ‫ד‪ 4  x.‬או ‪x  1‬‬ ‫ג‪ 4  x.‬או ‪x  6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ה‪. 7  x  4.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪19‬‬  ‫פרק ‪ – 2‬חקירת משוואות ממעלה ראשונה ושנייה‪:‬‬ ‫חקירת משוואות ממעלה ראשונה‪:‬‬ ‫שלבי עבודה‪:‬‬ ‫‪.1‬נפתור את המשוואה‪.‬‬ ‫‪.2‬נאתר את ערכי הפרמטר המאפסים את המכנה בכל שלבי הפתרון‪.‬‬ ‫‪.3‬נבדוק לכל ערך כזה בנפרד כמה פתרונות יש למשוואה על ידי הצבתו במשוואה‬ ‫המקורית‪.‬‬ ‫שאלות‪:‬‬ ‫‪ (1‬פתור את המשוואה‪. kx  6k  2 x  3k 2 :‬‬ ‫‪ (2‬פתור את המשוואה‪. a 2  x  1  3ax  4  x  a  :‬‬ ‫‪2kx  5 y  2k 2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ (3‬פתור את מערכת המשוואות‪:‬‬ ‫‪2 x  y  10‬‬ ‫‪ (4‬נתונה המשוואה‪. m  mx  2   3  2  3x  :‬מצא אלו ערכי ‪ m‬למשוואה‪:‬‬ ‫א‪.‬פתרון יחיד‪.‬‬ ‫ב‪.‬אף פתרון‪.‬‬ ‫ג‪.‬אינסוף פתרונות‪.‬‬ ‫‪ (5‬נתונה המשוואה‪k 2  5  2 x   3 15  2kx  :‬‬ ‫א‪.‬מצא לאלו ערכי ‪ k‬למשוואה‪:‬‬ ‫‪.1‬פתרון יחיד‪.‬‬ ‫‪.2‬אף פתרון‪.‬‬ ‫‪.3‬אינסוף פתרונות‪.‬‬ ‫ב‪.‬מצא לאלו ערכי ‪ k‬פתרון המשוואה‪:‬‬ ‫‪.1‬חיובי‪.‬‬ ‫‪.2‬מקיים את אי‪ -‬השוויון‪2 x  3  x :‬‬ ‫‪20‬‬  ‫‪mx‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪6x‬‬ ‫‪.‬מצא לאלו ערכי ‪ m‬למשוואה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ (6‬נתונה המשוואה‪:‬‬ ‫‪m  2 m  5 m  7 m  10‬‬ ‫א‪.‬פתרון יחיד‪.‬‬ ‫ב‪.‬אף פתרון‪.‬‬ ‫ג‪.‬אינסוף פתרונות‪.‬‬ ‫‪ 4  a  x  3  2a  1 y  3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ (7‬נתונה מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬ ‫‪ x  ay  1‬‬ ‫א‪.‬מצא לאלו ערכי ‪ a‬למערכת המשוואות‪:‬‬ ‫‪.1‬פתרון יחיד‪.‬‬ ‫‪.2‬אף פתרון‪.‬‬ ‫‪.3‬אינסוף פתרונות‪.‬‬ ‫ב‪.‬מצא לאלו ערכי ‪ a‬פתרון מערכת המשוואות מקיים את אי‪-‬השיוויון‪. 2 x  y  1 :‬‬ ‫‪ x  3ay  a‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ (8‬נתונה מערכת המשוואות‪:‬‬ ‫‪ax  3 y  4a  3‬‬ ‫א‪.‬מצא לאלו ערכי ‪ a‬למערכת המשוואות‪:‬‬ ‫‪.1‬פתרון יחיד‪.‬‬ ‫‪.2‬אף פתרון‪.‬‬ ‫‪.3‬אינסוף פתרונות‪.‬‬ ‫ב‪.‬מצא לאלו ערכי ‪ a‬נקודת החיתוך בין הישרים‬ ‫)המיוצגים על ידי המשוואות( נמצאת ברביע השלישי‪.‬‬ ‫תשובות סופיות‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ (4  k  5, 2k  (3 x ‬א‪ m  3.‬ב‪ m  3.‬ג‪. m  3.‬‬ ‫‪(2 x  3k (1‬‬ ‫‪a 1‬‬ ‫‪ (5‬א‪ k  3.3 k  0.2 k  0 , k  3.1.‬ב‪ 0  k.1.‬או ‪ k  3‬וגם ‪k  3‬‬ ‫‪ 0  k  15.2‬וגם ‪. k  3‬‬ ‫‪ (6‬א‪ m  3, m  2, m  5.‬ב‪ m  3, m  2, m  5.‬ג‪.‬אף ‪. m‬‬ ‫‪ (7‬א‪ a  1.3 a  3.2 a  3, a  1.1.‬ב‪ 3  a.‬או ‪ a  10‬וגם ‪. a  1‬‬ ‫‪ (8‬א‪ a  1.3 a  1.2 a  1, a  1.1.‬ב‪. 1  a  0.‬‬ ‫‪21‬‬  ‫חקירת משוואות ממעלה שנייה‪:‬‬ ‫שאלות‪:‬‬ ‫‪ (1‬פתור את המשוואה‪. x 2  mx  12m 2  0 :‬‬ ‫‪ (2‬פתור את המשוואה‪. 2 x 2  5m2  11m  1 x  5m :‬‬ ‫‪ (3‬נתונה המשוואה‪. x 2  mx  9  0 :‬מצא לאלו ערכי ‪ m‬למשוואה‪:‬‬ ‫א‪.‬שני פתרונות ממשיים שונים‪.‬‬ ‫ב‪.‬פתרון ממשי אחד‪.‬‬ ‫ג‪.‬אין פתרונות ממשיים כלל‪.‬‬ ‫‪.  3  m  x 2  4mx  2m  0‬מצא לאלו ערכי ‪ m‬למשוואה‪:‬‬ ‫‪ (4‬נתונה המשוואה‪ m  3 :‬‬ ‫א‪.‬שני פתרונות ממשיים שונים‪.‬‬ ‫ב‪.‬פתרון ממשי אחד‪.‬‬ ‫ג‪.‬אין פתרונות ממשיים כלל‪.‬‬ ‫‪ (5‬נתונה הפונקציה‪. y  2mx 2  mx  1 :‬‬ ‫מצא לאלו ערכי ‪ m‬הפונקציה אינה חותכת את ציר ה‪. x -‬‬ ‫‪y   m 2  9  x 2   m  3 x  4‬‬ ‫‪ (6‬נתונה הפונקציה‪ m  3 :‬‬ ‫מצא לאלו ערכי ‪ m‬הפונקציה נמצאת מעל ציר ה‪ x -‬לכל ערך של ‪. x‬‬ ‫‪ (7‬נתון אי השיוויון‪. mx 2   m  4  x  1  x 2 :‬‬ ‫מצא לאלו ערכי ‪ m‬אי השיוויון מתקיים לכל ערך של ‪. x‬‬ ‫תשובות סופיות‪:‬‬ ‫‪m 1‬‬ ‫‪. x1  5m , x2 ‬‬‫‪(2 x1  3m , x2  4m (1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (3‬א‪ 6  m.‬או ‪ m  6‬ב‪ m  6.‬ג‪. 6  m  6.‬‬ ‫‪ (4‬א‪ 0  m.‬או ‪ m  3‬וגם ‪ m  3‬ב‪ m  0, m  3.‬ג‪. 3  m  0.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ m  3 (6 8  m  0 (5‬או ‪. m  0 (7 m  3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪22‬‬  ‫פרק ‪ – 3‬בעיות מילוליות‪:‬‬ ‫הקדמה כללית‪:‬‬ ‫אחוז אחד הוא מאית השלם‪.‬‬ ‫הגדרה‪:‬‬ ‫זמן ‪ X‬מהירות = דרך‪.‬‬ ‫בעית תנועה‪:‬‬ ‫הספק ‪ X‬זמן = עבודה‪.‬‬ ‫בעית הספק‪:‬‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪.1‬אם לא צוין אחרת‪ ,‬המהירויות בכל שאלה קבועות‪.‬‬ ‫‪.2‬אם לא צוין אחרת‪ ,‬ההספקים בכל שאלה קבועים‪.‬‬ ‫שאלות יסודיות‪:‬‬ ‫‪ (1‬א‪.‬כמה הם ‪ 20%‬מ‪?300-‬‬ ‫ב‪.‬כמה הם ‪ 120%‬מ‪?300 -‬‬ ‫ג‪.‬מהו המספר הגדול מ‪ 300-‬ב‪?20%-‬‬ ‫‪ (2‬א‪.‬חולצה עלתה ‪ ₪ 240‬והתייקרה ב‪.30%-‬מה מחירה כעת?‬ ‫ב‪.‬נעליים עלו ‪ ₪ 450‬והוזלו ב‪.40%-‬מה מחירם כעת?‬ ‫‪ (3‬מכונית נסעה במהירות ‪ 80‬קמ"ש ואז הורידה את מהירותה ב‪.20%-‬‬ ‫מה מהירותה כעת?‬ ‫‪ (4‬אופנוע נסע במהירות ‪ x‬והעלה את מהירותו ב‪.30%-‬‬ ‫בטא באמצעות ‪ x‬את מהירותו כעת‪.‬‬ ‫‪ (5‬צינור מילא בריכה בקצב של ‪ x‬ליטר בשעה‪.‬‬ ‫לאחר מכן ירד הספק המילוי שלו ב‪ 20%-‬ולבסוף עלה הספק המילוי שלו ב‪.30% -‬‬ ‫בטא באמצעות ‪ x‬את הספק המילוי שלו כעת‪.‬‬ ‫תשובות סופיות‪:‬‬ ‫‪ (1‬א‪ 60.‬ב‪ 360.‬ג‪ (2 360.‬א‪ ₪ 312.‬ב‪ 64 (3 ₪ 270.‬קמ"ש ‪. 1.04x (5 1.3x (4‬‬ ‫‪23‬‬  ‫בעיות תנועה‪:‬‬ ‫בעיות ללא אחוזים עם נעלם אחד ושניים‪:‬‬ ‫‪ (1‬מכונית נוסעת מ‪ A-‬ל‪ B-‬במהירות של ‪ 90‬קמ"ש‪.‬בדרך חזרה נסעה המכונית‬ ‫במהירות של ‪ 60‬קמ"ש‪.‬בסה"כ נמשכה הנסיעה הלוך וחזור ‪ 20‬שעות‪.‬‬ ‫א‪.‬כמה שעות נסעה המכונית לכל כיוון?‬ ‫ב‪.‬מהי הדרך שעברה המכונית?‬ ‫‪ (2‬אוטובוס ומשאית יוצאים בו זמנית משני יישובים ‪ A‬ו‪ B -‬בהתאמה‪.‬מהירות‬ ‫האוטובוס היא ‪ 60‬קמ"ש ומהירות המשאית היא ‪ 80‬קמ"ש‪.‬האוטובוס הגיע‬ ‫ליישוב ‪ B‬שעה ו‪ 40 -‬דקות מאוחר יותר מהזמן שלקח למשאית להגיע ליישוב ‪.A‬‬ ‫א‪.‬כמה זמן נסע האוטובוס וכמה זמן נסעה המשאית?‬ ‫ב‪.‬מהו המרחק בין שתי הערים?‬ ‫‪ (3‬הולכת רגל יצאה לטיול במהירות מסוימת‪.‬‬ ‫לאחר שעה וחצי יצא בעקבותיה מאותו מקום הולך רגל נוסף במהירות הגדולה‬ ‫ממהירותה ב‪ 4.5-‬קמ"ש‪.‬הולך הרגל השיג את הולכת הרגל שעה לאחר שיצא לדרכו‪.‬‬ ‫א‪.‬מהי מהירות ההליכה של הולכת הרגל?‬ ‫ב‪.‬מהו המרחק שעברו עד שנפגשו?‬ ‫‪ (4‬שני רוכבי אופניים יוצאים בו זמנית מעיר א' לעיר ב'‪.‬הרוכב הראשון נוסע‬ ‫במהירות קבועה ומגיע לעיר ב' לאחר ‪ 5‬שעות‪.‬הרוכב השני נוסע במשך‬ ‫השעתיים הראשונות במהירות הקטנה ב‪ 2 -‬קמ"ש ממהירות הרוכב הראשון‪.‬‬ ‫לאחר מכן הוא מגביר את מהירותו ב‪ 14-‬קמ"ש ומגיע לעיר ב' שעה ו‪ 20-‬דקות‬ ‫לפני הרוכב הראשון‪.‬‬ ‫א‪.‬באיזו מהירות נסע הרוכב הראשון?‬ ‫ב‪.‬איזו דרך עבר הרוכב השני בכל חלק?‬ ‫‪ (5‬משאית נוסעת מרחק של ‪ 245‬ק"מ בכל יום במהירות קבועה‪.‬‬ ‫יום אחד נסעה המשאית במשך שעתיים וחצי במהירות הרגילה‪ ,‬לאחר מכן עצרה לתדלוק‬ ‫במשך ‪ 24‬דקות ואז המשיכה בנסיעה במהירות הגדולה ב‪ 70 -‬קמ"ש ממהירותה הקודמת‪.‬‬ ‫המשאית הגיעה ליעדה שעה לפני השעה שהיא מגיעה בכל יום‪.‬‬ ‫א‪.‬באיזו מהירות נוסעת המשאית בכל יום?‬ ‫ב‪.‬כמה זמן לוקח למשאית להגיע ליעדה בכל יום?‬ ‫‪ (6‬רוכב אופניים יצא בשעה ‪ 06:00‬לרכיבה במהירות ‪ 24‬קמ"ש‪.‬בשעה ‪ 07:00‬יצא מאותו‬ ‫מקום רוכב אופנוע באותו כיוון ובמהירות של ‪ 40‬קמ"ש‪.‬‬ ‫באיזו שעה ובאיזה מרחק מנקודת היציאה ישיג רוכב האופנוע את רוכב האופניים?‬ ‫‪ (7‬אוטובוס נוסע מעיר א' לעיר ב' הרחוקה ממנה ב‪ 800-‬ק"מ‪.‬‬ ‫‪24‬‬ ‫לאחר שעבר האוטובוס ‪ 135‬ק"מ במהירות קבועה הוא עצר להתרעננות במשך חצי שעה‪.‬‬ ‫לאחר מכן המשיך האוטובוס את נסיעתו במהירות הגדולה ב‪ 43 -‬קמ"ש ממהירותו‬ ‫הקודמת עד לעיר ב'‪.‬סך כל הזמן שהיה האוטובוס בדרך הוא ‪ 7‬שעות‪.‬‬ ‫א‪.‬מה הייתה המהירות ההתחלתית של האוטובוס?‬ ‫ב‪.‬מה היה המרחק שעבר האוטובוס אחרי ההתרעננות עד לעיר ב'?‬ ‫‪ (8‬המרחק בין ת"א לנצרת הוא ‪ 103‬ק"מ‪.‬בשעה ‪ 08:00‬יצאה מכונית מנצרת לת"א‬ ‫במהירות ‪ 90‬קמ"ש‪.‬בשעה ‪ 08:20‬יצאה משאית מת"א לנצרת במהירות ‪ 56‬קמ"ש‪.‬‬ ‫באיזו שעה ייפגשו המכונית והמשאית?‬ ‫‪ (9‬משאית נסעה מדימונה לאילת‪ ,‬מרחק של ‪ 200‬ק"מ‪ 50.‬דקות אחריה יצאה מכונית‬ ‫מדימונה לאילת במהירות הגבוהה ב‪ 30-‬קמ"ש והגיעה לאילת ‪ 40‬דקות לפני המשאית‪.‬‬ ‫מצא את מהירות המכונית‪.‬‬ ‫בעיות תנועה עם אחוזים‪:‬‬ ‫‪ (10‬מכונית נסעה במהירות מסוימת במשך שעתיים‪.‬אחר כך העלתה את מהירותה ב‪25%-‬‬ ‫ונסעה עוד שעה וחצי‪.‬בסך הכול עברה המכונית ‪ 310‬ק"מ‪.‬‬ ‫מה הייתה מהירותה ההתחלתית של המכונית?‬ ‫‪ (11‬מכונית נוסעת מעיר א' לעיר ב' מרחק של ‪ 480‬ק"מ במהירות קבועה‪.‬‬ ‫בדרכה חזרה נסעה המכונית במשך שעה במהירות הקבועה‪.‬‬ ‫לאחר מכן עצרה להתרעננות של ‪ 36‬דקות ואז הגבירה את מהירותה ב‪ 25%-‬ממהירותה‬ ‫הקודמת והגיעה בחזרה לעיר א' ‪ 24‬דקות פחות מהזמן שלקח לה להגיע לעיר ב'‪.‬‬ ‫באיזו מהירות נסעה המכונית מעיר א' לעיר ב'?‬ ‫‪ (12‬רכבת משא ורכבת נוסעים יוצאות מעיר א' לעיר ב' מרחק של ‪ 360‬ק"מ‪.‬‬ ‫מהירות רכבת הנוסעים גדולה ב‪ 20%-‬ממהירות רכבת המשא‪.‬‬ ‫רכבת הנוסעים התעכבה ‪ 40‬דקות בתחנה‪ ,‬ולכן יצאה באיחור מהתחנה של עיר א'‪.‬‬ ‫עם זאת היא הגיעה לעיר ב' ‪ 20‬דקות לפני רכבת המשא‪.‬‬ ‫א‪.‬מה הן המהירויות של שתי הרכבות?‬ ‫ב‪.‬כמה זמן נסעה רכבת הנוסעים מעיר א' לעיר ב'?‬ ‫‪ (13‬מכונית ומונית נוסעות מנקודה ‪ A‬לנקודה ‪.B‬המכונית נוסעת במהירות קבועה ומגיעה‬ ‫לנקודה ‪ B‬כעבור ‪ 4‬שעות‪.‬המונית נוסעת במשך ‪ 3‬שעות המהירות הקטנה ב‪ 10 -‬קמ"ש‬ ‫ממהירות המכונית ולאחר מכן מגבירה את מהירותה ב‪ 50%-‬ומגיעה לנקודה ‪ B‬יחד עם‬ ‫המכונית‪.‬‬ ‫א‪.‬מהי מהירות המכונית?‬ ‫ב‪.‬מהו המרחק בין נקודה ‪ A‬לנקודה ‪?B‬‬ ‫‪25‬‬  ‫בעיות תנועה עם משפט פיתגורס‪:‬‬ ‫‪ (14‬שתי מכוניות יצאו מהעיר‪ ,‬האחת לכיוון מזרח והשנייה לכיוון צפון‪.‬לאחר שלוש שעות‬ ‫המרחק בין שתי המכוניות היה ‪ 300‬ק"מ‪.‬מהירות מכונית אחת גדולה ב‪ 20 -‬קמ"ש‬ ‫ממהירות המכונית השנייה‪.‬‬ ‫א‪.‬מהן המהירויות של שתי המכוניות?‬ ‫ב‪.‬מה היה המרחק של כל מכונית מהעיר לאחר שלוש שעות?‬ ‫‪ (15‬שני הולכי רגל יוצאים משני יישובים ‪ A‬ו‪ B-‬המרוחקים זה מזה ‪ 13‬ק"מ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫היישוב ‪ A‬ממוקם בצפון מערב ביחס ליישוב ‪ B‬כמתואר באיור ממול‪.‬‬ ‫הולך הרגל מיישוב ‪ A‬הולך דרומה והולך הרגל מיישוב ‪ B‬הולך מערבה‪ 13.‬ק"מ‬ ‫הולך הרגל מיישוב ‪ A‬יוצא שעתיים לפני הולך הרגל השני‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫לאחר שלוש שעות מיציאתו נפגשו שני הולכי הרגל‪.‬‬ ‫מהירות הולך הרגל מיישוב ‪ B‬גדולה ב‪ 25% -‬ממהירות הולך הרגל השני‪.‬‬ ‫באיזו מהירות הלך כל אחד משני הולכי הרגל?‬ ‫‪ (16‬רוכב אופנוע יצא מביתו מזרחה במהירות מסוימת ונסע במשך חצי שעה‪.‬לאחר מכן‪ ,‬פנה‬ ‫צפונה‪ ,‬הגדיל את מהירותו ב‪ 20%-‬ונסע כך שעה נוספת‪.‬לאחר שעה זו פנה חזרה לכיוון‬ ‫ביתו‪ ,‬העלה את מהירותו ל‪ 65-‬קמ"ש ונסע )בקו ישר( עד שהגיע חזרה לביתו‪.‬‬ ‫א‪.‬מצא את מהירותו של רוכב האופנוע ביציאה מביתו אם ידוע שעבר‬ ‫בסך הכול ‪ 150‬ק"מ‪.‬‬ ‫ב‪.‬מה הייתה מהירותו הממוצעת של רוכב האופנוע )בכל חלקי הדרך(?‬ ‫מהירות מושפעת מזרמים‪:‬‬ ‫‪ (17‬סירה שטה בנהר שבו מהירות הזרם היא ‪ 3‬קמ"ש עם כיוון זרם המים‪.‬‬ ‫לאחר חצי שעה החליטו אנשי הסירה לשנות את כיוונם וחזרו במשך שעתיים‬ ‫לנקודת המוצא שלהם‪.‬מהירות הסירה במים עומדים קבועה במשך כל השייט‪.‬‬ ‫א‪.‬מצא את מהירות הסירה‪.‬‬ ‫ב‪.‬מהו המרחק הכולל ששטה הסירה?‬ ‫מהירות ממוצעת‪:‬‬ ‫‪ (18‬אופנוע עובר מרחק של ‪ 200‬ק"מ במהירות מסוימת‪.‬לאחר מכן מאיץ האופנוע ומגדיל את‬ ‫מהירותו ב‪.40% -‬הוא נוסע במהירות זו ועובר מרחק של ‪ 280‬ק"מ‪.‬המהירות הממוצעת‬ ‫של האופנוע היא ‪ 96‬קמ"ש‪.‬‬ ‫א‪.‬כמה זמן נסע האופנוע?‬ ‫ב‪.‬באיזו מהירות התחיל האופנוע את נסיעתו?‬ ‫‪26‬‬  ‫שאלות מסכמות‪:‬‬ ‫‪ (19‬המרחק בין ת"א לקריית שמונה הוא ‪ 180‬ק"מ‪.‬שני רוכבי אופנוע יצאו בו זמנית‪ ,‬האחד‬ ‫מת"א לקריית שמונה והשני מקריית שמונה לת"א‪.‬כעבור ‪ 45‬דקות הרוכבים עדיין לא‬ ‫נפגשו והמרחק ביניהם היה ‪ 52.5‬ק"מ‪.‬רוכב האופנוע שיצא מת"א הגיע ליעדו ‪ 15‬דקות‬ ‫לפני שהרוכב השני הגיע ליעדו‪.‬‬ ‫מצא את מהירויות רוכבי האופנוע‪.‬‬ ‫‪ (20‬רכבת נוסעת בקו ת"א – ב"ש במשך שעה ורבע‪.‬‬ ‫יום אחד‪ ,‬לאחר חצי שעת נסיעה‪ ,‬הייתה תקלה ברכבת והיא נאלצה לעצור ל‪ 10-‬דקות‬ ‫עד שהתקלה תוקנה‪.‬כדי לנסות ולהגיע ליעדה בזמן העלתה את מהירותה ב‪ 10-‬קמ"ש‬ ‫בהמשך הדרך והגיעה ליעדה באיחור קל של ‪ 5‬דקות בלבד‪.‬מצא את מהירות הרכבת‪.‬‬ ‫‪ (21‬אדם הולך ברגל מביתו למקום העבודה שלו במהירות מסוימת‪.‬‬ ‫יום אחד יצא מביתו מאוחר מאוד ולכן נאלץ להגביר את מהירות ההליכה שלו ב‪ 3-‬קמ"ש‪.‬‬ ‫הוא הגיע לעבודה בזמן והדרך ארכה מחצית מהזמן שבדרך כלל היא אורכת‪.‬‬ ‫מצא את מהירות ההליכה של האדם )בשגרה(‪.‬‬ ‫‪ (22‬שני הולכי רגל הולכים זה לקראת זה‪ ,‬האחד מנקודה ‪ A‬לנקודה ‪ B‬והשני מנקודה ‪B‬‬ ‫לנקודה ‪ A‬הם נפגשים כעבור חצי שעה וממשיכים ליעדם‪.‬הולך הרגל הראשון הגיע‬ ‫לנקודה ‪ 25 B‬דקות לפני שהולך הרגל השני הגיע לנקודה ‪.A‬‬ ‫מצא את היחס בין מהירויות הולכי הרגל‪.‬‬ ‫‪ (23‬היישובים ‪ A‬ו‪ B-‬נמצאים על גדת נהר בעל זרם קבוע‪.‬‬ ‫יום אחד‪ ,‬יצאה ספינה מיישוב ‪ A‬ליישוב ‪ B‬במהירות מסוימת‪.‬‬ ‫שעה לאחר מכן יצאה ספינה שנייה מיישוב ‪ B‬ליישוב ‪ A‬וכעבור שעתיים פגשה את‬ ‫הספינה הראשונה‪.‬הספינות המשיכו ליעדן וחזרו חזרה ליישוב המוצא באותו יום‪.‬‬ ‫למחרת‪ ,‬שוב יצאה הספינה מיישוב ‪ A‬ליישוב ‪ B‬אך במהירות כפולה מביום הקודם‪.‬‬ ‫הספינה מיישוב ‪ B‬יצאה גם היא במהירות כפולה לכיוון היישוב ‪ A‬אך הפעם רק חצי‬ ‫שעה אחרי שיצאה הספינה הראשונה‪.‬כעבור שעה עוד לא פגשה את הספינה הראשונה‬ ‫אך הייתה במרחק של שני ק"מ ממנה‪.‬‬ ‫מצא את עוצמת הזרם אם ידוע שכיוונו מיישוב ‪ A‬ליישוב ‪.B‬‬ ‫‪ (24‬שלושה רוכבי אופנוע יצאו מירושלים לאילת ונסעו דרך עין גדי‪.‬‬ ‫המרחק בין עין גדי לאילת הוא ‪ 240‬ק"מ‪.‬שלושת הרוכבים יצאו מירושלים בהפרשי זמן‬ ‫קבועים והגיעו לעין גדי באותו זמן‪.‬הרוכב שיצא ראשון הגיע לאילת שעה אחרי שהגיע‬ ‫לשם הרוכב שיצא שני‪.‬הרוכב שיצא שלישי הגיע לאילת ומיד פנה חזרה ופגש את הרוכב‬ ‫שיצא ראשון במרחק ‪ 80‬ק"מ מאילת‪.‬מצא את מהירויות רוכבי האופנוע‪.‬‬ ‫‪27‬‬  ‫‪ (25‬מכונית ואופנוע יצאו באותו זמן מנקודה ‪ A‬לנקודה ‪.B‬‬ ‫כשהאופנוע היה באמצע הדרך הייתה המכונית במרחק ‪ 16‬ק"מ מנקודה ‪.B‬‬ ‫כשהאופנוע היה במרחק ‪ 6‬ק"מ מנקודה ‪ B‬המכונית הייתה במרחק ‪ 12‬ק"מ מנקודה ‪.B‬‬ ‫א‪.‬מצא את המרחק בין הנקודה ‪ A‬לנקודה ‪.B‬‬ ‫ב‪.‬פי כמה גדולה מהירות האופנוע ממהירות המכונית?‬ ‫‪ (26‬דן ורן עורכים מרוץ לאורך מסלול של ‪ 10‬ק"מ‪.‬מהירותו של דן גדולה ב‪ 5-‬קמ"ש‬ ‫ממהירותו של רן‪.‬שניהם יצאו למרוץ באותו זמן ודן הגיע לקו הסיום יותר מ‪20-‬‬ ‫דקות לפני רן‪.‬מהו תחום המספרים בו נמצאת מהירותו של רן?‬ ‫‪ (27‬רכבת נוסעת בקו ת"א – ב"ש במשך שעה ורבע‪.‬יום אחד‪ ,‬לאחר חצי שעת נסיעה‪ ,‬הייתה‬ ‫תקלה ברכבת והיא נאלצה לעצור ל‪ 10-‬דקות עד שהתקלה תוקנה‪.‬כדי לנסות ולהגיע‬ ‫ליעדה בזמן העלתה את מהירותה ב‪ 10 -‬קמ"ש בהמשך הדרך והגיעה ליעדה באיחור קל‬ ‫שלא עלה על ‪ 5‬דקות )שים לב – הרכבת הגיעה באיחור‪ ,‬אך איחור זה לא עלה על ‪ 5‬דקות(‪.‬‬ ‫מצא את תחום המספרים בו נמצאת מהירות הרכבת‪.‬‬ ‫‪ (28‬שלושה חברים הלכו מבית הספר לספורטק בהליכה מהירה‪.‬‬ ‫‪m‬‬ ‫מהירותו של הראשון הייתה גדולה ב‪ 8-‬קמ"ש ממהירותו של השני וב‪ -‬קמ"ש‬ ‫ממהירותו של השלישי‪ ,‬לכן‪ ,‬הגיע הראשון ‪ m‬שעות לפני השני ושעתיים לפני השלישי‪.‬‬ ‫א‪.‬הבע באמצעות ‪ m‬את מהירותו וזמן הליכתו של החבר הראשון‪.‬‬ ‫ב‪.‬לאלו ערכים של ‪ m‬יש לבעיה פתרון?‬ ‫‪28‬‬  ‫תשובות סופיות‪:‬‬ ‫‪ (1‬א‪ 8.‬שעות הלוך ו‪ 12 -‬שעות חזור‪.‬ב‪ 720.‬ק"מ‪.‬‬ ‫‪ (2‬א‪.‬אוטובוס – ‪ 6‬שעות ו‪ 40-‬דקות‪.‬משאית – ‪ 5‬שעות‪.‬ב‪ 400.‬ק"מ‪.‬‬ ‫‪ (3‬א‪ 3.‬קמ"ש‪.‬ב‪ 7.5.‬קמ"ש‪.‬‬ ‫‪ (4‬א‪ 12.‬קמ"ש‪.‬ב‪ 20.‬ק"מ ו‪ 40 -‬ק"מ‪.‬‬ ‫‪ (5‬א‪ 50.‬קמ"ש‪.‬ב‪ 4.‬שעות ו‪ 54-‬דקות‪.‬‬ ‫‪ 60 ,8:30 (6‬ק"מ‪.‬‬ ‫‪ (7‬א‪ 90.‬קמ"ש‪.‬ב‪ 665.‬ק"מ‪.‬‬ ‫‪.8:50 (8‬‬ ‫‪ 80 (9‬קמ"ש‪.‬‬ ‫‪ 80 (10‬קמ"ש‪.‬‬ ‫‪ 80 (11‬קמ"ש‪.‬‬ ‫‪ (12‬א‪ 60.‬קמ"ש ‪ 72‬קמ"ש‪.‬ב‪ 5.‬שעות‪.‬‬ ‫‪ (13‬א‪ 90.‬קמ"ש ב‪ 360.‬ק"מ‪.‬‬ ‫‪ (14‬א‪ 60.‬קמ"ש ו‪ 80-‬קמ"ש‪.‬ב‪ 180.‬ק"מ ו‪ 240 -‬ק"מ‪.‬‬ ‫‪ 4 (15‬קמ"ש ו‪ 5-‬קמ"ש‪.‬‬ ‫‪ (16‬א‪ 50.‬קמ"ש‪.‬ב‪ 60.‬קמ"ש‪.‬‬ ‫‪ (17‬א‪ 5.‬קמ"ש‪.‬ב‪ 8.‬ק"מ‪.‬‬ ‫‪ (18‬א‪ 5.‬שעות‪.‬ב‪ 80.‬קמ"ש‪.‬‬ ‫‪ 90 (19‬קמ"ש‪ 80 ,‬קמ"ש‪.‬‬ ‫‪ 80 (20‬קמ"ש‪.‬‬ ‫‪ 3 (21‬קמ"ש‪.‬‬ ‫‪.1.5 (22‬‬ ‫‪ 4 (23‬קמ"ש‪.‬‬ ‫‪ 60 (24‬קמ"ש‪ 80 ,‬קמ"ש‪ 120 ,‬קמ"ש‪.‬‬ ‫‪ (25‬א‪ 24.‬ק"מ‪.‬ב‪.1.5.‬