7th Kannada Maths Part 2 PDF

PÀ£ÁðlPÀ ¸ÀPÁðgÀ UÀtÂvÀ 7 ED H IS BL EP S R TB K¼À£Éà vÀgÀUÀw U...

PÀ£ÁðlPÀ ¸ÀPÁðgÀ UÀtÂvÀ 7 ED H IS BL EP S R TB K¼À£Éà vÀgÀUÀw U BE @K ¨sÁUÀ - 2 TO T O N gÁ¶ÖÃAiÀÄ ±ÉÊPÀëtÂPÀ ¸ÀA±ÉÆÃzsÀ£É ªÀÄvÀÄÛ vÀgÀ¨ÉÃw ¸ÀA¸ÉÜ ²æà CgÀ©AzÉÆà ªÀiÁUÀð £ÀªÀzɺÀ° 110016 PÀ£ÁðlPÀ ¥ÀoÀå¥ÀĸÀÛPÀ ¸ÀAWÀ (j) 6£Éà CqÀØgÀ¸ÉÛ, ªÀįÉèñÀégÀA ¨ÉAUÀ¼ÀÆgÀÄ - 560003 i  ¥Àj«r ¨sÁUÀ - 2 PÀæ.¸ÀA CzsÁåAiÀÄzÀ ºÉ¸ÀgÀÄ ¥ÀÄl ¸ÀASÉå 7 ¥ÀjªÀiÁtUÀ¼À ºÉÆðPÉ 1 - 21 8 ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 22 - 45 9 ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ ªÀÄvÀÄÛ «¹ÛÃtð 46 - 65 ED H IS 10 ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ BL 66 - 77 EP S R TB U 11 WÁvÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ WÁvÁAPÀUÀ¼ÀÄ 78 - 96 BE @K 12 ¸ÀªÀÄ«Äw 97 - 111 TO 13 WÀ£ÁPÀÈwUÀ¼ÀÄ 112 - 128 T O GvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ 129 - 142 N ii  CzsÁåAiÀÄ - 7 ¥ÀjªÀiÁtUÀ¼À ºÉÆðPÉ ED 7.1 ±ÉÃPÀqÁ PÀæªÀÄ¢AzÀ ¥ÀjªÀiÁtUÀ¼À ºÉÆðPÉAiÀÄ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ PÀæªÀÄ H IS C¤vÀ¼À ªÀgÀ¢ BL jÃmÁ¼À ªÀgÀ¢ EP S R TB U MlÄÖ 320/400 MlÄÖ 300/360 BE @K ±ÉÃPÀqÁ : 80 ±ÉÃPÀqÁ : 83.3 TO vÀ£ÀUÉ 320 CAPÀUÀ¼ÀÄ §A¢zÀÄÝ, jÃmÁ½UÉ 300 CAPÀUÀ¼ÀÄ §A¢gÀĪÀÅzÀjAzÀ vÀ£Àß ¥sÀ°vÁA±ÀªÉà ºÉZÀÄÑ JAzÀÄ C¤vÀ ºÉüÀÄvÁÛ¼É. CªÀ¼À ªÀiÁvÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ M¥ÀÄàwÛÃgÁ? CªÀ¼À ¥sÀ°vÁA±ÀªÉà ºÉZÀÄÑ T JAzÀÄ ¨sÁ«¸ÀÄwÛÃgÁ? O N CªÀj§âgÀ ¥ÀjÃPÉëAiÀÄ UÀjµÀ× CAPÀU¼ À ÄÀ ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉAiÀiÁVgÀĪÀÅzÀjAzÀ CªÀgÄÀ ¥Àq¢ É gÀĪÀ CAPÀU¼ À À ªÉÄÃ¯É AiÀiÁgÀ ¥sÀ°vÁA±À GvÀÛªÀĪÁVzÉAiÉÄAzÀÄ wêÀiÁð¤¸À®Ä ¸ÁzsÀå«®èªÉAzÀÄ ªÀiÁ£À¹AiÀÄÄ CªÀjUÉ ºÉýzÀ¼ÀÄ. ¥ÀæUÀw ¥ÀvÀæzÀ°ègÀĪÀ ±ÉÃPÀqÁªÁgÀÄ CAPÀUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃªÉÃPÉ UÀªÀĤ¸À¨ÁgÀzÀÄ JAzÀÄ ºÉýzÀ¼ÀÄ. C¤vÁ¼À ±ÉÃPÀqÁªÁgÀÄ CAPÀUÀ¼ÀÄ 80 ºÁUÀÆ jÃmÁ¼À ±ÉÃPÀqÁªÁgÀÄ CAPÀUÀ¼ÀÄ 83.3 DVgÀĪÀÅzÀjAzÀ jÃmÁ¼À ¸ÁzsÀ£ÉAiÉÄà GvÀÛªÀĪÁVzÉAiÉÄAzÀÄ ºÉüÀ§ºÀÄzÀÄ. ¤ÃªÀÅ EzÀ£ÀÄß M¥ÀÄàwÛÃgÁ? bÉÃzÀ 100 EgÀĪÀ ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ CA±ÀªÉà ±ÉÃPÀqÁ DVzÉ. EzÀ£ÀÄß ¥sÀ°vÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆð¸À®Ä §¼À¸À¯ÁUÀÄvÀÛzÉ. FUÀ EzÀgÀ §UÉÎ «ªÀgÀªÁV CxÉÊð¹PÉƼÉÆîÃt. 1 7.1.1 ±ÉÃPÀqÁªÁgÀÄ - CxÀð ±ÉÃPÀqÁ (percent) EzÀÄ ¯Áån¤ß£À per centum (¥Àæw±ÀvÀ¢AzÀÀ) ¥ÀqÉzÀzÁÝVzÀÄÝ CxÀð ‘¥Àæw £ÀÆgÀPÉÌ’ JAzÁVzÉ. ±ÉÃPÀqÁªÀ£ÀÄß % aºÉ߬ÄAzÀ ¸ÀÆa¸À¯ÁUÀÄvÀÛzÉ. EzÀgÀ CxÀð £ÀÆgÀ£ÉAiÀÄ JAzÀÆ PÀÆqÀ DVzÉ. 1% JAzÀgÉ £ÀÆgÀPÉÌ MAzÀÄ CxÀªÁ £ÀÆgÀ£ÉAiÀÄ MAzÀÄ JAzÀxÀð. 1 CzÀ£ÀÄß »ÃUÉ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ : 1% = = 0.01 100 EzÀ£ÀÄß «ªÀgÀªÁV CxÀðªÀiÁrPÉƼÀî®Ä ªÀÄA¢£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß UÀªÀĤ¹. jãÁ¼ÀÄ ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ §tÚUÀ¼À 100 ºÁ¸ÀÄUÀ½AzÀ (mÉʯïì) PÀÆrzÀ MAzÀÄ PÉÆoÀrAiÀÄ£ÀÄß £ÉÆÃrzÀ¼ÀÄ. ºÀ¼À¢, ºÀ¹gÀÄ, PÉA¥ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¤Ã° £É®ºÁ¸ÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀævÉåÃPÀªÁV Jt¹ ªÀÄÄA¢£À PÉÆõÀ×PÀzÀ PÉ®ªÀÅ ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß ¨sÀwð ªÀiÁrzÀ¼ÀÄ. PÉÆõÀ×PÀªÀ£ÀÄß ¨sÀwð ªÀiÁqÀ®Ä CªÀ½UÉ ¸ÀºÁAiÀÄ ED ªÀiÁqÀÄ«gÁ? H IS §tÚ mÉʯïìUÀ¼À ¸ÀASÉå ¥Àæw£ÀÆgÀPÉÌ ¨É¯É ©ü£ÀßgÁ² §gÉAiÀÄĪÀ PÀæªÀÄ NzÀĪÀ §UÉ BL EP S ºÀ¼À¢ 14 R TB U 14 14 14% ±ÉÃPÀqÁ 14 100 BE @K ºÀ¹gÀÄ 26 26 26 26% ±ÉÃPÀqÁ 26 100 PÉA¥ÀÄ 35 35 TO ¤Ã° 25 MlÄÖ 100 T O EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ N 1.ªÀÄÄA¢£À zÀvÁÛA±ÀUÀ½UÉ ªÀÄPÀ̼À ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ JvÀÛgÀUÀ½UÉ ±ÉÃPÀqÁ PÀAqÀÄ »r¬Äj. JvÀÛgÀ ªÀÄPÀ̼À ¸ÀASÉå ©ü£ÀßgÁ² ±ÉÃPÀqÁ 110cm 22 120cm 25 128cm 32 130cm 21 MlÄÖ 100 2 2. MAzÀÄ µÀÆ CAUÀrAiÀÄ°ègÀĪÀ ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ C¼ÀvÉAiÀÄ µÀÆUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄÄAzÉ ¤ÃqÀ¯ÁVzÉ. C¼ÀvÉ 2 : 20 C¼ÀvÉ 3 : 30 C¼ÀvÉ 4 : 28 C¼ÀvÉ 5 : 14 C¼ÀvÉ 6 : 18 F zÀvÁÛA±ÀUÀ½UÉ »AzÉ gÀa¹gÀĪÀAvÉ MAzÀÄ PÉÆõÀÖPÀªÀ£ÀÄß gÀa¹. ¥Àæw C¼ÀvÉAiÀÄ µÀÆUÀ¼À ±ÉÃPÀqÁªÁgÀÄ PÀAqÀÄ »r¬Äj. ªÉÆvÀÛ 100 E®è¢zÁÝUÀ ±ÉÃPÀqÁªÁgÀÄ EzÀĪÀgÉV£À J¯Áè GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À°è ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À MlÄÖ ¸ÀASÉå 100 DVvÀÄÛ GzÁºÀgÀuÉUÉ jãÁ £ÉÆÃrzÀ mÉʯïì UÀ¼ÀÄ 100, ªÀÄPÀ̼À ¸ÀASÉå 100 ºÁUÀÆ µÀÆ CAUÀrAiÀÄ°è 100 eÉÆvÉ µÀÆUÀ½zÀݪÀÅ. ED ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À MlÄÖ ¸ÀASÉå 100 QÌAvÀ PÀrªÉĬÄzÁÝUÀ ±ÉÃPÀqÁªÁgÀÄ ¯ÉPÁÌZÁgÀ ªÀiÁqÀĪÀÅzÀÄ ºÉÃUÉ? H EAvÀºÀ ¥ÀæPÀgÀtUÀ¼À°è ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ£ÀÄß bÉÃzÀ 100 DUÀĪÀAvÉ ¸ÀªÀiÁ£À ©ü£ÀßgÁ²UÉ ¥ÀjªÀwð¸À¨ÉÃPÀÄ. IS ªÀÄÄA¢£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß UÀªÀĤ¹. ¤ªÀÄä §½ EgÀĪÀ MAzÀÄ ¸ÀgÀzÀ°è (necklace) JgÀqÀÄ BL EP S §tÚzÀ 20 ªÀÄtÂUÀ½ªÉ. R TB U BE @K §tÚ ªÀÄtÂUÀ¼À ¸ÀASÉå ©ü£ÀßgÁ² 100 gÀ bÉÃzÀ ±ÉÃPÀqÀªÁgÀÄ 8 8 100 40 PÉA¥ÀÄ 8   40% 20 20 100 100 12 12 100 60 TO ¤Ã° 12   60% 20 20 100 100 T MlÄÖ 20 O N C£Àégï PÉA¥ÀÄ ªÀÄtÂUÀ¼À ±ÉÃPÀqÁªÁgÀÄ PÀAqÀÄ»rzÀ D±Á PÀAqÀÄ»rzÀ jÃw »ÃVzÉ. jÃw »ÃVzÉ. MlÄÖ 20 ªÀÄtÂU¼ À ° À è PÉA¥ÀÄ ªÀÄtÂU¼À À 8  8 5 ¸ÀASÉå 8. ºÁUÁV, 100 PÉÌ PÉA¥ÀÄ ªÀÄtÂU¼ À À ¸ÀASÉå 20 20  5 8 40 × 100 = 40 (£ÀÆgÀPÉÌ) = 40% = = 40% 20 100 ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À MlÄÖ ¸ÀASÉå 100 QÌAvÀ PÀrªÉĬÄzÁÝUÀ F ªÀÄÆgÀÄ «zsÁ£ÀUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ ±ÉÃPÀqÁªÁgÀÄ 100 PÀAqÀÄ »rAiÀħºÀÄzÀÄ. ªÉÄð£À PÉÆõÀPÖ z À ° À è vÉÆÃj¹gÀĪÀAvÉ ©ü£ßÀ gÁ²AiÀÄ£ÀÄß jAzÀ UÀÄt¸¨ À ÃÉ PÀÄ. 100 ºÁUÁV EzÀjAzÀ ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ ¨É¯É §zÀ¯ÁUÀĪÀÅ¢®è 100 ªÀiÁvÀæ bÉÃzÀzÀ°è G½AiÀÄÄvÀÛzÉ. 3  C£Àégï KPÀªiÀ Á£À ¥ÀzÞÀ w G¥ÀAiÉÆÃV¹zÁÝ£.É D±Á bÉÃzÀz° À è 100£ÀÄß ¥ÀqA É iÀÄ®Ä ©ü£ßÀ gÁ²AiÀÄ£ÀÄß 5 jAzÀ UÀÄt¹zÁݼ.É ¤ÃªÀÅ ¤ªÀÄUÉ ¸ÀÆPÀÛªÁzÀ AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÆ À «zsÁ£Àª£ À ÄÀ ß G¥ÀAiÉÆÃV¸À§ºÀÄzÀÄ. 5 CxÀªÁ ¤ªÀÄäzÉà AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ «zsÁ£À C£ÀĸÀj¸À§ºÀÄzÀÄ. C£Àégï G¥ÀAiÉÆÃV¹zÀ «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß J¯Áè C£ÀÄ¥ÁvÀUÀ½UÀÆ C£Àé¬Ä¸À§ºÀÄzÀÄ. D±Á G¥ÀAiÉÆÃV¹zÀ «zsÁ£À J¯Áè C£ÀÄ¥ÁvÀUÀ½UÀÆ C£ÀéAiÀĪÁUÀÄvÀÛzÉAiÉÄÃ? bÉÃzÀªÀ£ÀÄß MAzÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉå¬ÄAzÀ UÀÄt¹ 100 §gÀĪÀAwzÀÝ°è ªÀiÁvÀæ D±Á¼À «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß C£ÀĸÀj¸À§ºÀÄzÉAzÀÄ C£Àégï ºÉüÀÄvÁÛ£É. bÉÃzÀ 20 DVzÀÝjAzÀ CzÀPÉÌ 5£ÀÄß UÀÄt¹ 100 D±Á ¥ÀqÉ¢zÁݼÉ. bÉÃzÀ 6 DVzÀÝgÉ CªÀ¼ÀÄ D «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¸À¯ÁUÀÄwÛgÀ°®è. EzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ M¥ÀÄà«gÁ? EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹. 1. ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ §tÚzÀ 10 ©¯ÉèUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀAUÀ滸À¯ÁVzÉ ED §tÚ ¸ÀASÉå ©ü£ÀßgÁ² £ÀÆgÀgÀ bÉÃzÀ ±ÉÃPÀqÁªÁgÀÄ H IS ºÀ¹gÀÄ ¤Ã° BL EP S R TB PÉA¥ÀÄ U BE @K MlÄÖ PÉÆõÀÖPÀªÀ£ÀÄß ¨sÀwðªÀiÁr ¥Àæwà §tÚzÀ ©¯ÉèAiÀÄ ±ÉÃPÀqÁ PÀAqÀÄ »r¬Äj. 2. ªÀiÁ¯Á §½ 20 a£ÀßzÀ ºÁUÀÆ 10 ¨É½îAiÀÄ §¼ÉUÀ¼À ¸ÀAUÀæºÀ«zÉ. ¥Àæw «zsÀzÀ §¼ÉUÀ¼À ±ÉÃPÀqÁªÁgÀÄ JµÀÄÖ? ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°ègÀĪÀAvÉ TO PÉÆõÀÖPÀªÀ£ÀÄß gÀa¸À§°ègÁ? T D¯ÉÆÃa¹. ZÀað¹ ªÀÄvÀÄÛ §gɬÄj. O N 1. ªÀÄÄAzÉ ¤ÃqÀ¯ÁVgÀĪÀ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀĤ¹. ¥ÀæwAiÉÆAzÀgÀ®Æè ºÉÆðPÉUÉ ¸ÀÆPÀÛªÁzÀÄzÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉAzÀÄ ZÀað¹. ªÁvÁªÀgÀtzÀ°è, 1g UÁ½AiÀÄ°è£À C¤®UÀ¼À ¥ÀæªÀiÁtUÀ¼ÀÄ. 0.78 g £ÉÊmÉÆÃæ d£ï 78% £ÉÊmÉÆæÃd£ï 0.21 g DªÀÄèd£ÀPÀ CxÀªÁ 21 % DªÀÄèd£ÀPÀ 0.01 g EvÀgÉ C¤® 1% EvÀgÉ C¤® 4  2. MAzÀÄ CAVAiÀÄ°è 3 ¨sÁUÀ ºÀwÛ¬ÄzÉ 60% ºÀwÛ¬ÄzÉ. 5 2 ¨sÁUÀ ¥Á°¸ÀÖgï EzÉ. CxÀªÁ 40% ¥Á°¸ÀÖgï EzÉ. 5 7.1.2 ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ£ÀÄß ±ÉÃPÀqÁ PÀæªÀÄPÉÌ §zÀ¯Á¬Ä¸ÀĪÀÅzÀÄ ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ°è bÉÃzÀUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉAiÀiÁVgÀ§ºÀÄzÀÄ. ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼À£ÀÄß ºÉÆð¸À¨ÉÃPÁzÀgÉ £ÀªÀÄUÉ ¸ÁªÀiÁ£Àå bÉÃzÀzÀ CªÀ±ÀåPÀvɬÄzÉ ºÁUÀÆ bÉÃzÀ 100 DVzÁÝUÀ ºÉÆðPÉAiÀÄÄ E£ÀÆß ED C£ÀÄPÀÆ®PÀgÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ UÀªÀĤ¹zÉÝêÉ. E°è ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ£ÀÄß ±ÉÃPÀqÁ PÀæªÀÄPÉÌ H ¥ÀjªÀwð¸ÀÄwÛzÉÝêÉ. ««zsÀ ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼À£ÀÄß ±ÉÃPÀqÁ PÀæªÀÄPÉÌ ¥ÀjªÀwð¸ÀĪÀÅzÀPÉÌ ¥ÀæAiÀÄw߸ÉÆÃt. IS 1 BL EP S £ÀÄß ±ÉÃPÀqÁPÀæªÀÄzÀ°è §gɬÄj. GzÁºÀgÀuÉ 1: R TB 3 U 1 1 100 1 BE @K ¥ÀjºÁgÀ:    100% 3 3 100 3 100 1 = = % 33 % 3 3 TO GzÁºÀgÀuÉ 2: MAzÀÄ vÀgU À wÀ AiÀÄ°ègÄÀ ªÀ 25 «zÁåyðUÀ¼° À è ¨Á®QAiÀÄgÀ ¸ÀASÉå 15. ¨Á®QAiÀÄgÀ ±ÉÃPÀqÁ ¥ÀæªÀiÁt JµÀÄÖ? T O ¥ÀjºÁgÀ: 25 «zÁåyðUÀ¼À°è ¨Á®QAiÀÄgÀÄ 15 DzÀÝjAzÀ, ±ÉÃPÀqÁ ¨Á®QAiÀÄgÀÄ N 15  100  60 vÀgÀUÀwAiÀÄ°è 60% ¨Á®QAiÀÄjzÁÝgÉ. 25 5 GzÁºÀgÀuÉ 3: £ÀÄß ±ÉÃPÀqÁ PÀæªÀÄPÉÌ ¥ÀjªÀwð¹. 4 5 5 ¥ÀjºÁgÀ:   100%  125% 4 4 ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉUÀ½AzÀ ¸ÀªÀÄ ©ü£ÀßgÁ²UÀ½UÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÀAvÉ ±ÉÃPÀqÁ ¨É¯É 100QÌAvÀ PÀrªÉÄ ºÁUÀÆ «µÀªÀÄ ©ü£ÀßgÁ²UÀ½UÉ ±ÉÃPÀqÁ ¨É¯É 100QÌAvÀ ºÉZÁÑVgÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¸ÀÄvÉÛêÉ. 5  D¯ÉÆÃa¹. ZÀað¹ ªÀÄvÀÄÛ §gɬÄj (i) ¤Ã£ÀÄ MAzÀÄ PÉÃPï£À 50% w£Àߧ¯ÉèAiÀiÁ? ¤Ã£ÀÄ MAzÀÄ PÉÃPï£À 100% w£Àߧ¯ÉèAiÀiÁ? ¤Ã£ÀÄ MAzÀÄ PÉÃPï£À 150% w£Àߧ¯ÉèAiÀiÁ? (ii) ªÀ¸ÀÄÛªÉÇAzÀgÀ ¨É¯É 50% gÀµÀÄÖ ºÉZÁÑUÀ§ºÀÄzÉÃ? ªÀ¸ÀÄÛªÉÇAzÀgÀ ¨É¯É 100% gÀµÀÄÖ ºÉZÁÑUÀ§ºÀÄzÉÃ? ªÀ¸ÀÄÛªÉÇAzÀgÀ ¨É¯É 150% gÀµÀÄÖ ºÉZÁÑUÀ§ºÀÄzÉÃ? 7.1.3 zÀ±ÀªÀiÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ±ÉÃPÀqÀ gÀÆ¥ÀPÉÌ ¥ÀjªÀwð¸ÀĪÀÅzÀÄ. ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ£ÀÄß ±ÉÃPÀqÁ PÀæªÀÄPÉÌ ¥ÀjªÀwð¸ÀĪÀÅzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ w½¢zÉÝêÉ. FUÀ zÀ±ÀªÀiÁA±ÀªÀ£ÀÄß ±ÉÃPÀqÀ gÀÆ¥ÀPÉÌ ¥ÀjªÀwð¸ÀĪÀÅzÀÄ ºÉÃUÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß w½AiÉÆÃt. ED GzÁºÀgÀuÉ 4. ªÀÄÄAzÉ ¤ÃqÀ¯ÁVgÀĪÀ zÀ±ÀªÀiÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ±ÉÃPÀqÁUÉ ¥ÀjªÀwð¹. H (a) 0.75 (b) 0.09 (c) 0.2 IS 9 ¥ÀjºÁgÀ: (a) 0.75 = 0.75 × 100% BL (b) 0.09 = = 9% EP S 100 R TB  75 100%  75% U BE @K 100 2 (c) 0.2 = 100%  20% 10 EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ TO 1. ªÀÄÄA¢£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ±ÉÃPÀqÀ gÀÆ¥ÀPÉÌ ¥ÀjªÀwð¹ : T 12 49 2 (a) (b) 3.5 (c) (d) (e) 0.05 O 16 50 2 N 2. (i) MlÄÖ 32 «zÁåyðUÀ¼À°è 8 «zÁåyðUÀ¼ÀÄ UÉÊgÀÄ ºÁdgÁzÀgÉ, UÉÊgÀĺÁdgÁzÀ ±ÉÃPÀqÁ «zÁåyðUÀ¼ÉµÀÄÖ? (ii) ®¨sÀå«gÀĪÀ 25 gÉÃrAiÉÆÃUÀ¼À°è 16 gÉÃrAiÉÆÃUÀ¼ÀÄ PÉlÄÖ ºÉÆÃVªÉ. PÉlÄÖ ºÉÆÃVgÀĪÀ gÉÃrAiÉÆÃUÀ¼À ±ÉÃPÀqÁ JµÀÄÖ ? (iii) MAzÀÄ CAUÀrAiÀÄ°ègÄÀ ªÀ 500 ©r¨sÁUÀU¼ À ° À è 5 ©r¨sÁUÀU¼ À ÄÀ zÉÆõÀ ¥ÀÆjvÀªÁVªÉ. ±ÉÃPÀqÁ JµÀÄÖ ©r¨sÁUÀUÀ¼ÀÄ zÉÆõÀ¥ÀÆjvÀªÁVªÉ? (iv) 120 ªÀÄvÀzÁgÀgÀ°è 90 ªÀÄvÀzÁgÀgÀÄ “ºËzÀÄ” JAzÀÄ ªÀÄvÀ ¤ÃrzÀgÉ, “ºËzÀÄ” JAzÀÄ ªÀÄvÀ ¤ÃrzÀ ±ÉÃPÀqÁ ªÀÄvÀzÁgÀgɵÀÄÖ? 6 7.1.4 ±ÉÃPÀqÁ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß ©ü£ÀßgÁ²UÉ CxÀªÁ zÀ±ÀªÀiÁA±ÀPÉÌ ¥ÀjªÀwð¸ÀĪÀÅzÀÄ EzÀĪÀgÉUÀÆ £ÁªÀÅ ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ£ÀÄß ºÁUÀÆ zÀ±ÀªÀiÁA±ÀªÀ£ÀÄß ±ÉÃPÀqÁUÉ ¥ÀjªÀwð¹zÉÝêÉ. EzÀgÀ «¯ÉÆêÀÄ QæAiÉÄAiÀÄ£ÀÆß ¸ÀºÀ £ÁªÀÅ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ. CAzÀgÉ zÀvÀÛ ±ÉÃPÀqÁªÀ£ÀÄß ©ü£ÀßgÁ²UÉ ºÁUÀÆ zÀ±ÀªÀiÁA±ÀPÉÌ ¥ÀjªÀwð¸À§ºÀÄzÀÄ. ªÀÄÄA¢£À PÉÆõÀÖPÀªÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹, ¥ÀÆtðUÉƽ¹: E£ÀßµÀÄÖ ±ÉÃPÀqÁ 1% 10% 25% 50% 90% 125% 250% GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß 1 10 1 gÀƦ¹ ¥ÀjºÁgÀ ©ü£ÀßgÁ² = 100 100 10 PÀAqÀÄ»r¬Äj. zÀ±ÀªÀiÁA±À 0.01 0.10 ED ¨sÁUÁA±ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ AiÀiÁªÁUÀ®Æ ¥ÀÆtðªÀ£ÀÄß ¤ÃqÀÄvÀÛzÉ H §tÚzÀ £É®ºÁ¸ÀÄUÀ¼ÀÄ (mÉʯïì), ªÀÄPÀ̼À JvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ ºÁUÀÆ UÁ½AiÀÄ°è£À C¤®UÀ¼À GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À°è£À IS ±ÉÃPÀqÁ ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß PÀÆrzÁUÀ ªÉÆvÀÛ 100 DUÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß £ÉÆÃrzÉÝêÉ. ¥ÀÆuÁðAPÀzÀ°è£À BL EP S ¨sÁUÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß PÀÆrzÁUÀ ªÉÆvÀÛªÀÅ ¥ÀÆuÁðAPÀ CxÀªÁ 100% DUÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ £ÀªÀÄUÉ R TB MAzÀÄ ¨sÁUÁA±ÀªÀ£ÀÄß ¤ÃrzÁUÀ E£ÉÆßAzÀÄ ¨sÁUÁA±ÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀħºÀÄzÀÄ. vÀgÀUÀwAiÀÄ 30% U «zÁåyðUÀ¼ÀÄ ¨Á®PÀgÀÄ JA¢lÄÖPÉƽî. BE @K EzÀgÀ CxÀð vÀgÀUÀwAiÀÄ°ègÀĪÀ 100 «zÁåyðUÀ¼À°è 30 «zÁåyðUÀ¼ÀÄ ¨Á®PÀgÀÄ, G½zÀªÀgÀÄ ¨Á®QAiÀÄgÀÄ. ¨Á®QAiÀÄgÀ ¥ÀæªÀiÁt ¤¸ÀìA±ÀAiÀĪÁV (100-30)% = 70% TO EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ T O 1. 35% +______ + = 100% 64% + 20% +______ % = 100% N 45% = 100% - ______ % 70% = ______ % -30% 2. MAzÀÄ vÀgÀUÀwAiÀÄ°è£À 65% «zÁåyðUÀ¼À §½ ¨ÉʹPÀ¯ï EzÀÝgÉ, ±ÉÃPÀqÁ JµÀÄÖ «zÁåyðUÀ¼À §½ ¨ÉʹPÀ¯ï E®è ? 3. MAzÀÄ §ÄnÖAiÀÄ vÀÄA¨Á ¸ÉçÄ, QvÀÛ¼É ºÁUÀÆ ªÀiÁ«£À ºÀtÄÚUÀ½ªÉ. EªÀÅUÀ¼À°è 50% ¸Éé£À ºÀtÄÚUÀ¼ÀÄ, 30% QvÀÛ¼É ºÀtÄÚUÀ½zÀÝgÉ ªÀiÁ«£À ºÀtÄÚUÀ¼À ±ÉÃPÀqÁ ¥ÀæªÀiÁt JµÀÄÖ? 7  D¯ÉÆÃa¹ ZÀað¹ ªÀÄvÀÄÛ §gɬÄj MAzÀÄ GqÀÄ¥À£ÄÀ ß vÀAiÀiÁj¸À®Ä DVgÀĪÀ ªÉZѪ À £ À ÄÀ ß ¥ÀjUÀt¹. PÀ¸ÀÆwUÉ 20%, §mÉÖUÉ 50% ºÉÆ°UÉUÉ 50%. F jÃwAiÀiÁzÀ E£ÀßµÀÄÖ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃªÀÅ D¯ÉÆÃa¸À§°ègÁ? 7.1.5 CAzÁf¸ÀĪÀ°è vÀªÀiÁµÉ MAzÀÄ ¸ÀܼÀzÀ ¨sÁUÀUÀ¼À£ÀÄß CAzÁf¸À®Ä ±ÉÃPÀqÁ £ÀªÀÄUÉ ¸ÀºÁAiÀÄ ªÀiÁqÀÄvÀÛzÉ. GzÁºÀgÀuÉ 5. ¥ÀPÀÌzÀ avÀæzÀ°è ±ÉÃPÀqÁ JµÀÄÖ ¨sÁUÀ bÁ¬ÄÃPÀÈvÀªÁVzÉ? ¥ÀjºÁgÀ: ªÉÆzÀ®Ä avÀæzÀ°è JµÀÄÖ ¨sÁUÀ bÁ¬ÄÃPÀÈvÀªÁVzÉ JAzÀÄ PÀAqÀÄ»rzÀÄ CzÀjAzÀ bÁ¬ÄÃPÀÈvÀ ¨sÁUÀzÀ ±ÉÃPÀqÁ ¨É¯É ED PÀAqÀÄ»rAiÀħºÀÄzÀÄ. H avÀæzÀ°è CzsÀð ¨sÁUÀ bÁ¬ÄÃPÀÈvÀªÁVgÀĪÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¸À§ºÀÄzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ IS 1 1  100  50% BL EP S 2 2 R TB U BE @K DzÀÝjAzÀ avÀæzÀ 50% ¨sÁUÀ bÁ¬ÄÃPÀÈvÀªÁVzÉ. EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ EªÀÅUÀ¼À°è bÁ¬ÄÃPÀÈvÀªÁVgÀĪÀ ±ÉÃPÀqÁ ¨sÁUÀªÉµÀÄÖ ? (i) (ii) TO 1 1 16 4 1 1 T 8 1 4 O 1 16 N 1 8 8 mÁåAUÁæªÀiï F jÃwAiÀÄ avÀæUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃªÉà gÀa¹, ¤ªÀÄä ¸ÀºÀ¥ÁpUÀ½UÉ bÁ¬ÄÃPÀÈvÀ ¨sÁUÀUÀ¼À£ÀÄß CAzÁf¸À®Ä ºÉüÀ§ºÀÄzÀÄ. 7.2 ±ÉÃPÀqÁ G¥ÀAiÉÆÃUÀUÀ¼ÀÄ 7.2.1 ±ÉÃPÀqÁ - CxÉÊð¹PÉƼÀÄîªÀÅzÀÄ. ±ÉÃPÀqÁ ºÉÆðPÉUÀ¼À°è ºÉÃUÉ G¥ÀAiÀÄÄPÀÛªÁVzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß w½zɪÀÅ. ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼À£ÀÄß ºÁUÀÆ zÀ±ÀªÀiÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ±ÉÃPÀqÁPÉÌ ¥ÀjªÀwð¸ÀĪÀÅzÀ£ÀÆß £ÁªÀÅ PÀ°vɪÀÅ. FUÀ ±ÉÃPÀqÁªÀ£ÀÄß ¤vÀåfêÀ£ÀzÀ°è ºÉÃUÉ G¥ÀAiÉÆÃV¸À§ºÀÄzÉA§ÄzÀ£ÀÄß PÀ°AiÉÆÃt. ªÉÆzÀ®Ä ªÀÄÄA¢£À ºÉýPÉUÀ¼À£ÀÄß CxÉÊð¸ÀÄvÁÛ ¥ÁægÀA©ü¸ÉÆÃt: 8 - gÀ« vÀ£Àß DzÁAiÀÄzÀ 5gÀµÀÄÖ G½¹zÀ£ÀÄ. _ «ÄÃgÁ¼À GqÀÄ¥ÀÄUÀ¼À 20% ¨sÁUÀªÀÅ ¤Ã°AiÀÄ §tÚzÁÝVzÉ. _ gÉÃSÁ vÁ£ÀÄ ªÀiÁgÀĪÀ ¥Àæwà ¥ÀĸÀÛPÀPÉÌ 10% ¥ÀqÉAiÀÄÄvÁÛ¼É. 5 5% JAzÀgÉ 100 gÀ°è 5 ¨sÁUÀUÀ¼ÀÄ CxÀªÁ EzÀ£ÀÄß »ÃUÉ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ. 100 EzÀgÀxÀð gÀ«AiÀÄÄ UÀ½¹zÀ ¥Àæwà ` 100 gÀ°è ` 5 £ÀÄß G½¸ÀÄvÁÛ£É. EzÉà jÃw ªÉÄð£À E£ÀÄß½zÀ ºÉýPÉUÀ¼À£ÀÄß CxÉÊð¹. 7.2.2 ±ÉÃPÀqÁªÁgÀ£ÀÄß - ‘JµÀÄÖ’ PÉÌ ¥ÀjªÀwð¸ÀĪÀÅzÀÄ ªÀÄÄA¢£À GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹. ED GzÁºÀgÀuÉ 6 : MAzÀÄ ¸À«ÄÃPÉëAiÀÄ ¥ÀPæ ÁgÀ 40 ªÀÄPÀ̼À°è 25% ªÀÄPÀ̼ÀÄ ¥ÀÄmï¨Á¯ï DqÀĪÀÅzÀ£ÀÄß H EµÀÖ¥ÀqÀÄvÁÛgÉ. ¥sÀÄmï ¨Á¯ï DqÀĪÀÅzÀ£ÀÄß EµÀÖ¥ÀqÀĪÀ ªÀÄPÀ̼À ¸ÀASÉå JµÀÄÖ ? IS E°è MlÄÖ ªÀÄPÀ̼À ¸ÀASÉå 40. EzÀgÀ°è 25% ªÀÄPÀ̼ÀÄ ¥sÀÄmï¨Á¯ï DqÀĪÀÅzÀ£ÀÄß ¥ÀjºÁgÀ : BL EP S R TB EµÀÖ¥ÀqÀÄvÁÛgÉ. «ÄãÁ ªÀÄvÀÄÛ CgÀÄuï ªÀÄPÀ̼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄ®Ä U ªÀÄÄA¢£À «zsÁ£ÀUÀ¼À£ÀÄß C£ÀĸÀj¸ÀÄvÁÛgÉ. ¤ÃªÀÅ AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ MAzÀÄ BE @K «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß DAiÉÄÌ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ. CgÀÄuï C£ÀĸÀj¹zÀ «zsÁ£À «ÄãÁ C£ÀĸÀj¹zÀ «zsÁ£À 25 100 ªÀÄPÀ̼À°è 25 ªÀÄPÀ̼ÀÄ ¥sÀÄl¨Á¯ï EµÀÖ¥ÀqÀÄvÁÛgÉ. 40 gÀ 25% = × 40 TO 100 DzÀÝjAzÀ 40 ªÀÄPÀ̼À°è ¥sÀÄmï¨Á¯ï EµÀÖ¥ÀqÀĪÀªÀgÀ ¸ÀASÉå = 10 T O 25 DzÀÝjAzÀ 40 ªÀÄPÀ̼° À è 10 ªÀÄPÀ̼ÄÀ × 40 = 10 N 100 ¥sÀÄmï¨Á¯ï EµÀÖ¥ÀqÀÄvÁÛgÉ. EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ 1. ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj. 1 (i) 164 gÀ 50% (ii) 12 gÀ 75% (iii) 64 gÀ 12 % 2 2. MAzÀÄ vÀgÀUÀwAiÀÄ 25 ªÀÄPÀ̼À°è 8% ªÀÄPÀ̼ÀÄ ªÀļÉAiÀÄ°è £É£ÉAiÀÄ®Ä EµÀÖ¥ÀqÀÄvÁÛgÉ. ªÀļÉAiÀÄ°è £É£ÉAiÀÄ®Ä EµÀÖ¥ÀqÀĪÀ ªÀÄPÀ̼ɵÀÄÖ? GzÁºÀgÀuÉ 7. gÁºÀįï Rjâ¹zÀ ¸Éélgï ªÉÄÃ¯É 25% jAiÀiÁ¬Äw ¤ÃrzÀÝjAzÀ gÁºÀįïUÉ ` 200 G½¬ÄvÀÄ. jAiÀiÁ¬Äw ¤ÃqÀĪÀ ªÉÆzÀ®Ä ¸Éélgï£À ¨É¯É JµÀÄÖ? 9 ¥ÀjºÁgÀ : ¸Éélgï ¨É¯ÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É 25% jAiÀiÁ¬Äw ¤ÃrzÀÝjAzÀ gÁºÀįïUÉ ` 200 G½¬ÄvÀÄ. CAzÀgÉ ¸Éélgï£À ªÀÄÆ® ¨É¯ÉAiÀÄ 25% gÁºÀįïUÉ G½zÀ ºÀtªÁVzÉ. ªÉÆúÀ£À ªÀÄvÀÄÛ C§ÄÝ¯ï ¸Éélgï£À ªÀÄÆ® ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÃUÉ PÀAqÀÄ »rzÀgÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß £ÉÆÃqÉÆÃt. ªÉÆúÀ£ï£À ¥ÀjºÁgÀ C§Äݯï£À ¥ÀjºÁgÀ ªÀÄÆ® ¨É¯ÉAiÀÄ 25% = ` 200 ¥Àæw ` 100 PÉÌ ` 25 G½vÁAiÀĪÁVzÉ. ªÀÄÆ® ¨É¯ÉAiÀÄÄ ‘p' (` UÀ¼À°è) DVgÀ°. ` 200 G½vÁAiÀĪÁzÀgÉÀ DzÀÝjAzÀ p AiÀÄ 25% = 200 100 = × 200 = ` 800 25 25 CxÀªÁ × p = 200 ED 100 DzÀ Ý jAzÀ ¸É é l j£À ªÀ Ä Æ®¨É ¯ É CxÀªÁ p = 200 CxÀªÁ p = 200 × 4 ` 800 JAzÀÄ E§âgÀÆ PÀAqÀÄ H 4 IS DzÀÝjAzÀ, p = 800. »rzÀgÀÄ. BL EP S R TB U EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ BE @K 1. 9, EzÀÄ AiÀiÁªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ 25% DVzÉ ? 2. AiÀiÁªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ 75%, 15 DUÀÄvÀÛzÉ ? C¨sÁå¸À 7.1 TO 1. ªÀÄÄAzÉ ¤ÃrgÀĪÀ ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼À£ÀÄß ±ÉÃPÀqÁUÉ ¥ÀjªÀwð¹. T 1 5 3 2 O (a) (b) (c) (d) N 8 4 40 7 2. ªÀÄÄAzÉ ¤ÃrgÀĪÀ zÀ±ÀªÀiÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ±ÉÃPÀqÁUÉ ¥ÀjªÀwð¹. (a) 0.65 (b) 2.1 (c) 0.02 (d) 12.35 3. ªÀÄÄA¢£À avÀæUÀ¼À°è §tÚ vÀÄA©gÀĪÀ ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß CAzÁf¹ ºÁUÀÆ §tÚ vÀÄA©gÀĪÀ ±ÉÃPÀqÁ ¨sÁUÀ PÀAqÀÄ»r¬Äj. (i) (ii) (iii) 10  4. ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj. (a) 250 gÀ 15% (b) 1 UÀAmÉAiÀÄ 1% (c) ` 2500 gÀ 20% (d) 1kg AiÀÄ 75%. 5. ªÀÄÄA¢£À ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À°è ¥ÀÆuÁðA±ÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. (a) ¥ÀÆuÁðA±ÀzÀ 5%, 600 DVzÉ. (b) ¥ÀÆuÁðA±ÀzÀ 12%, ` 1080 DVzÉ. (c) ¥ÀÆuÁðA±ÀzÀ 40%, 500km DVzÉ. (d) ¥ÀÆuÁðA±ÀzÀ 70%, 14 ¤«ÄµÀ DVzÉ. (e) ¥ÀÆuÁðA±ÀzÀ 8%, 40 °Ãlgï DVzÉ. ED 6. ªÀÄÄAzÉ ¤ÃrgÀĪÀ ±ÉÃPÀqÁªÀ£ÀÄß ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ gÀÆ¥ÀzÀ°è §gÉzÀÄ, ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ£ÀÄß ¸ÀgÀ¼ÀgÀÆ¥ÀPÉÌ vÀ¤ß. H IS (a) 25% (b) 150% (c) 20% (d) 5% BL EP S 7. MAzÀÄ £ÀUÀgÀzÀ°è 30% ªÀÄ»¼ÉAiÀÄgÀÄ, 40% ¥ÀÄgÀĵÀgÀÄ ªÀÄvÀÄÛ G½zÀªÀgÀÄ ªÀÄPÀ̼ÀÄ EzÁÝgÉ D R TB U £ÀUÀgÀzÀ°è ±ÉÃPÀqÁ JµÀÄÖ ªÀÄPÀ̽zÁÝgÉ? BE @K 8. 15,000 ªÀÄvÀzÁgÀjgÀĪÀ MAzÀÄ PÉëÃvÀæzÀ°è 60% d£À ªÀÄvÀ ZÀ¯Á¬Ä¹zÁÝgÉ. ±ÉÃPÀqÁ JµÀÄÖ d£ÀgÀÄ ªÀÄvÀ ZÀ¯Á¬Ä¸À°®è? ªÀÄvÀ ZÀ¯Á¬Ä¸ÀzÀªÀgÀ ¸ÀASÉå JµÀÄÖ JA§ÄzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ PÀAqÀÄ »rAiÀħ°ègÁ? TO 9. «ÄÃgÁ vÀ£Àß ªÉÃvÀ£ÀzÀ°è ` 400£ÀÄß G½vÁAiÀÄ ªÀiÁqÀÄvÁÛ¼É. EzÀÄ CªÀ¼À ªÉÃvÀ£ÀzÀ 10% DzÀgÉ, DPÉAiÀÄ ªÉÃvÀ£ÀªÉµÀÄÖ? T O 10. MAzÀÄ IÄvÀĪÀiÁ£ÀzÀ°è ¸ÀܽÃAiÀÄ QæPÉmï vÀAqÀªÉÇAzÀÄ 20 ¥ÀAzÀåUÀ¼À£ÀÄß DrvÀÄ. CªÀÅUÀ¼À°è N 25% ¥ÀAzÀåUÀ¼À£ÀÄß UÉzÀÝgÉ D vÀAqÀ UÉzÀÝ ¥ÀAzÀåUÀ¼ÉµÀÄÖ? 7.2.3 C£ÀÄ¥ÁvÀªÀ£ÀÄß ±ÉÃPÀqÁUÉ ¥ÀjªÀwð¸ÀĪÀÅzÀÄ PÉ®ªÉǪÉÄä ¨sÁUÀUÀ¼À£ÀÄß C£ÀÄ¥ÁvÀUÀ¼À gÀÆ¥ÀzÀ°è ¤ÃqÀ¯ÁVgÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ±ÉÃPÀqÁUÉ ¥ÀjªÀwð¸À¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ. ªÀÄÄA¢£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹. GzÁºÀgÀuÉ 8 jãÁ¼À vÁ¬Ä Erè vÀAiÀiÁj¸À®Ä JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ CQÌ ºÁUÀÆ MAzÀÄ ¨sÁUÀ G¢Ý£À¨ÉÃ¼É ¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ CªÀ½UÉ ºÉýzÀgÀÄ. ErèAiÀÄ «Ä±ÀætzÀ°è ±ÉÃPÀqÁ JµÀÄÖ CQÌ ªÀÄvÀÄÛ ±ÉÃPÀqÁ JµÀÄÖ G¢Ý£À¨ÉüɬÄzÉ? ¥ÀjºÁgÀ : C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°è EzÀ£ÀÄß »ÃUÉ §gÉAiÀÄÄvÉÛêÉ. CQÌ : G¢Ý£À¨ÉÃ¼É = 2 : 1 2 1 FUÀ, J¯Áè ¨sÁUÀUÀ¼À MlÄÖ 2+1 = 3 JAzÀgÉ ¨sÁUÀ CQÌ, ºÁUÀÆ 3 3 ¨sÁUÀ G¢Ý£À¨ÉüÉ. 11  2 2 CQÌAiÀÄ ±ÉÃPÀqÁ ¥ÀæªÀiÁt, × 100% = 200 = 66 3 % 3 3 1 100 1 G¢Ý£À ¨ÉüÉAiÀÄ ±ÉÃPÀqÁ ¥ÀæªÀiÁt, 3 × 100% = 3 = 33 3 % ` 250£ÀÄß gÀ«, gÁdÄ ªÀÄvÀÄÛ gÁAiÀiï EªÀgÀÄUÀ½UÉ - gÀ«UÉ 2 ¨sÁUÀ, gÁdÄUÉ GzÁºÀgÀuÉ 9 3 ¨sÁUÀ ªÀÄvÀÄÛ gÁAiÀiïUÉ 5 ¨sÁUÀ §gÀĪÀAvÉ ºÀAZÀ¨ÉÃPÁVzÉ. ¥ÀæwAiÉƧâgÀÄ ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ ºÀt JµÀÄÖ? ±ÉÃPÀqÁ PÀæªÀÄzÀ°è JµÁÖUÀÄvÀÛzÉ? ¥ÀjºÁgÀ : ªÀÄÆgÀÄ ¨Á®PÀjUÉ zÉÆgÉAiÀÄĪÀ ºÀtzÀ ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°è 2:3:5 JAzÀÄ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ. MlÄÖ ¨sÁUÀUÀ¼ÀÄ 2 + 3 + 5 = 10 ¥ÀæwAiÉƧâgÀÆ ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ ºÀt ¥ÀæwAiÉƧâgÀ ºÀtzÀ ±ÉÃPÀqÁ 2 2 × 250 = ` 50 × 100% = 20% ED gÀ« 10 10 3 3 H × 250 = ` 75 gÁdÄ × 100% = 30% IS 10 10 5 BL 5 × 250 = ` 125 × 100% = 50% EP S gÁAiÀiï R TB 10 10 U BE @K EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ 1. 15 ¹» wArUÀ¼À£ÀÄß ªÀÄ£ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÉÆãÀÄ«UÉ PÀæªÀĪÁV 20% ªÀÄvÀÄÛ 80% gÀµÀÄÖ zÉÆgÉAiÀÄĪÀAvÉ ºÀAaj. 2. MAzÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ ªÀÄÆgÀÄPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ 2:3:4 C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èªÉ. ¥Àæwà PÉÆãÀzÀ TO C¼ÀvÉ PÀAqÀÄ»r¬Äj T O 7.2.4 ¥Àæw ±ÀvÀPÉÌ KjPÉ CxÀªÁ E½PÉ N MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ¥ÀjªÀiÁtzÀ°è ±ÉÃPÀqÁ JµÀÄÖ ºÉZÁÑVzÉ CxÀªÁ PÀrªÉÄAiÀiÁVzÉ JAzÀÄ w½AiÀĨÉÃPÁzÀ ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼ÀÄ EgÀÄvÀÛªÉ. GzÁºÀgÀuÉUÉ MAzÀÄ gÁdåzÀ d£À¸ÀASÉåAiÀÄÄ 5,50,000 jAzÀ 6,05,000 PÉÌ KjPÉAiÀiÁVzÀÝgÉ, KjPÉAiÀiÁzÀ d£À¸ÀASÉåAiÀÄ ¥ÀjªÀiÁt 10% JAzÀgÉ ¸ÀÄ®¨sÀªÁV CxÀðªÁUÀÄvÀÛzÉ. ¥ÁægÀA©üPÀ ªÉÆvÀÛPÉÌ ºÉZÁÑzÀ CxÀªÁ PÀrªÉÄAiÀiÁzÀ ¥ÀjªÀiÁtªÀ£ÀÄß ±ÉÃPÀqÁUÉ ºÉÃUÉ ¥ÀjªÀwð¸À§ºÀÄzÀÄ? ªÀÄÄA¢£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹. GzÁºÀgÀuÉ 10 MAzÀÄ ±Á¯Á vÀAqÀªÀÅ ¥Àæ¸ÀÄÛvÀ ªÀµÀð 6 ¥ÀAzÀåUÀ¼À£ÀÄß UÉ¢ÝzÉ. PÀ¼ÉzÀ ªÀµÀð 4 ¥ÀAzÀåUÀ¼À£ÀÄß UÉ¢ÝvÀÄÛ. KjPÉAiÀÄ ¥ÀæªÀiÁt JµÀÄÖ? ¥ÀjºÁgÀ : KjPÉAiÀiÁzÀ UɮĪÀÅUÀ¼À ¸ÀASÉå = 6 - 4 = 2 12  MlÄÖ §zÀ¯ÁªÀuÉ ±ÉÃPÀqÁ KjPÉ = × 100 ªÀÄÆ® ªÉÆvÀÛ KjPÉAiÀiÁzÀ UɮĪÀÅUÀ¼À ¸ÀASÉå 2 = × 100 = × 100 = 50 MlÄÖ ªÀÄÆ® UÉ®ªÀÅUÀ¼ÀÄ 4 GzÁºÀgÀuÉ 11 MAzÀÄ zÉñÀzÀ°è C£ÀPÀëgÀ¸ÀÜgÀ ¸ÀASÉå 10 ªÀµÀðUÀ¼À°è 150 ®PÀë¢AzÀ 100 ®PÀëPÉÌ E½¬ÄvÀÄ. ±ÉÃPÀqÁ E½PÉ JµÀÄÖ? ¥ÀjºÁgÀ : ªÀÄÆ® ªÉÆvÀÛ = DgÀA©üPÀ C£ÀPÀëgÀ¸ÀÜgÀ ¸ÀASÉå = 150 ®PÀëUÀ¼ÀÄ. MlÄÖ §zÀ¯ÁªÀuÉ = C£ÀPÀëgÀ¸ÀÜgÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ°è£À E½PÉ = 150 - 100 = 50 ®PÀëUÀ¼ÀÄ. DzÀÝjAzÀ, ±ÉÃPÀqÁ E½PÉ MlÄÖ §zÀ¯ÁªÀuÉ 50 1 ED = × 100 = × 100 = 33 ªÀÄÆ® ªÉÆvÀÛ 150 3 H IS EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ BL EP S 1. ±ÉÃPÀqÁ KjPÉ CxÀªÁ E½PÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. R TB U - MAzÀÄ CAVAiÀÄ ¨É¯É `280 jAzÀ `210 PÉÌ E½¢zÉ. BE @K - MAzÀÄ ¥ÀjÃPÉëAiÀÄ°è£À CAPÀUÀ¼ÀÄ 20 jAzÀ 30 PÉÌ KjPÉAiÀiÁVzÉ. 2. £À£Àß vÁ¬Ä ºÉüÀÄvÁÛ¼É, vÀ£Àß ¨Á®åzÀ°è ¥ÉmÉÆæïï£À ¨É¯É ¥Àæw °ÃlgïUÉ `1 DVvÀÄÛ. EAzÀÄ CzÀÄ ` 52 DVzÉ. ¨É¯ÉAiÀÄÄ ±ÉÃPÀqÁ JµÀÄÖ ºÉZÁÑVzÉ? TO 7.3. MAzÀÄ ªÀ¸ÀÄÛ«UÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ ¨É¯ÉUÀ¼ÀÄ CxÀªÁ PÉÆAqÀÄPÉƼÀÄîªÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀiÁgÀĪÀÅzÀÄ T O £Á£ÀÄ CzÀ£ÀÄß ` 600 PÉÌ CAUÀrAiÀĪÀ£ÀÄ N PÉÆAqÉÀ£ÀÄ.  CzÀ£ÄÀ ß `610 PÉÌ ªÀiÁgÀĪɣ É ÄÀ MAzÀÄ ªÀ¸ÀÄÛªÀ£ÀÄß Rjâ¹zÀ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß PÉÆAqÀ ¨É¯É J£ÀÄßvÉÛêÉ. CzÀ£ÀÄß ¸ÀAQë¥ÀÛªÁV CP JAzÀÄ §gÉAiÀįÁUÀÄvÀÛzÉ. MAzÀÄ ªÀ¸ÀÄÛªÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ ªÀiÁgÀĪÀ ¨É¯ÉUÉ ªÀiÁgÁl ¨É¯É J£ÀÄßvÉÛêÉ. CxÀªÁ ¸ÀAQë¥ÀÛªÁV SP JAzÀÄ §gÉAiÀįÁUÀÄvÀÛzÉ. MAzÀÄ ªÀ¸ÀÄÛªÀ£ÀÄß PÉÆAqÀ ¨É¯ÉVAvÀ PÀrªÉÄ ¨É¯ÉUÉ, CzÉà ¨É¯ÉUÉ CxÀªÁ ºÉaÑ£À ¨É¯ÉUÉ ¤ÃªÀÅ ªÀiÁgÀ§ºÀÄzÀÄ. EªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÀÄ GvÀÛªÀÄ? JAzÀÄ ¤ÃªÀÅ ºÉüÀÄ«j. ªÀiÁgÁlªÀÅ ¯Á¨sÀzÁAiÀÄPÀªÁVzÉAiÉÄà CxÀªÁ E®èªÉà JA§ÄzÀ£ÀÄß PÉÆAqÀ ¨É¯É ªÀÄvÀÄÛ ªÀiÁjzÀ ¨É¯ÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É 13 ¤zsÀðj¸À§ºÀÄzÀÄ. PÉÆAqÀ ¨É¯ÉAiÀÄÄ ªÀiÁjzÀ ¨É¯ÉVAvÀ PÀrªÉĬÄzÀÝgÉ, ¤ÃªÀÅ ¯Á¨sÀ UÀ½¸ÀÄwÛÃj. ¯Á¨sÀ = ªÀiÁjzÀ ¨É¯É - PÉÆAqÀ ¨É¯É PÉÆAqÀ¨É¯É = ªÀiÁjzÀ ¨É¯É DVzÀÝgÉ, ¯Á¨sÀªÀÇ E®èzÀ £ÀµÀÖªÀÇ E®èzÀ ¸À¤ßªÉñÀ. PÉÆAqÀ ¨É¯ÉAiÀÄÄ ªÀiÁjzÀ ¨É¯ÉVAvÀ ºÉaÑzÀÝgÉ ¤ªÀÄUÉ £ÀµÀÖªÁUÀÄvÀÛzÉ. £ÀµÀÖ = PÉÆAqÀ ¨É¯É - ªÀiÁjzÀ ¨É¯É. ªÀ¸ÀÄÛUÀ½UÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ ¨É¯ÉUÀ½AzÀ ºÉýPÉUÀ¼À£ÀÄß CxÀð ªÀiÁrPÉƼÀî®Ä ¥ÀæAiÀÄw߸ÉÆÃt. MAzÀÄ DnPÉAiÀÄ£ÀÄß ` 72 PÉÌ PÉÆAqÀÄ ` 80PÉÌ ªÀiÁgÀ¯Á¬ÄvÀÄ. MAzÀÄ T - µÀmïð£ÀÄß ` 120 PÉÌ PÉÆAqÀÄ ` 100PÉÌ ªÀiÁgÀ¯Á¬ÄvÀÄ. ED MAzÀ Ä ¸É Ê PÀ ¯ ï£À Ä ß `800 PÉ Ì PÉ Æ AqÀ Ä `940PÉ Ì H ªÀiÁgÀ¯Á¬ÄvÀÄ IS ªÉÆzÀ® ºÉýPÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjUÀt¸ÉÆÃt. BL EP S R TB ªÀ¸ÀÄÛ«£À Rjâ¹zÀ ¨É¯ÉAiÀÄÄ (PÉÆAqÀ ¨É¯É) ` 72 ªÀÄvÀÄÛ ªÀiÁjzÀ ¨É¯ÉAiÀÄÄ ` 80. CAzÀgÉ U ªÀiÁjzÀ ¨É¯ÉAiÀÄÄ PÉÆAqÀ ¨É¯ÉVAvÀ ºÉZÀÄÑ. ºÁUÁV UÀ½¹zÀ ¯Á¨sÀ = ªÀiÁjzÀ ¨É¯É-PÉÆAqÀ ¨É¯É BE @K = ` 80 - ` 72 = ` 8. E£ÀÄß½zÀ JgÀqÀÄ ºÉýPÉUÀ¼À£ÀÄß EzÉà jÃw CxÉÊð¹. 7.3.1 ±ÉÃPÀqÁ ¯Á¨sÀ CxÀªÁ ±ÉÃPÀqÁ £ÀµÀÖ TO ¯Á¨sÀ ªÀÄvÀÄÛ £ÀµÀÖªÀ£ÀÄß ±ÉÃPÀqÁUÉ (¥Àæw±ÀvÀPÉÌ) ¥ÀjªÀwð¸À§ºÀÄzÀÄ. EzÀ£ÀÄß AiÀiÁªÁUÀ®Æ PÉÆAqÀ T ¨É¯ÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É ¯ÉPÁÌZÁgÀ ªÀiÁqÀ¯ÁUÀÄvÀÛzÉ. ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉUÀ½UÉ ±ÉÃPÀqÁ ¯Á¨sÀ CxÀªÁ ±ÉÃPÀqÁ O £ÀµÀÖ PÀAqÀÄ »rAiÀħºÀÄzÀÄ. N DnPÉUÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjUÀt¸ÉÆÃt. E°è PÉÆAqÀ ¨É¯É = ` 72, ªÀiÁ- jzÀ ¨É¯É = ` 80, ¯Á¨sÀ = ` 8. ±ÉÃPÀqÁ ¯Á¨sÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄ®Ä £ÉúÁ ªÀÄvÀÄÛ ±ÉÃRgï C£ÀĸÀj¹zÀ «zsÁ£ÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄÄA¢£ÀAwªÉ : £ÉúÁ C£ÀĸÀj¹zÀ «zsÁ£À ±ÉÃRgï C£ÀĸÀj¹zÀ «zsÁ£À ¯Á¨sÀ ±ÉÃPÀqÁ ¯Á¨sÀ = × 100 ` 72 PÉÌ ¯Á¨sÀ ` 8 DzÀgÉ. PÉÆAqÀ¨É¯É 8 8 × 100 = × 100 ` 100 PÉÌ ¯Á¨sÀ, ¯Á¨sÀ = 72 72 = 11 1 DzÀÝjAzÀ ±ÉÃPÀqÁ ¯Á¨sÀ = 11 1 1 1 = × 100 = 11 9 9 9 9 14  ¯Á¨sÀªÁUÀ° CxÀªÁ DzÀÝjAzÀ ¯Á¨sÀ ` 8 ªÀÄvÀÄÛ £ÀµÀÖªÁUÀ° ±ÉÃPÀqÁªÀÅ AiÀiÁªÁUÀ®Æ ±ÉÃPÀqÁ ¯Á¨sÀ 11 1 PÉÆAqÀÄ ¨É¯UÉ É ¯ÉPÁÌZÁgÀ ªÀiÁqÀ¯ÁUÀÄvÀÛzÉ. 9 EzÉà jÃw JgÀq£ À ÃÉ ¥ÀPæ g À t À zÀ°è ±ÉÃPÀqÁ £Àµª ÖÀ £ À ÄÀ ß PÀAqÀÄ»rAiÀħºÀÄzÀÄ. E°è PÉÆAqÀ ¨É¯É = ` 120, ªÀiÁjzÀ ¨É¯É = ` 100. DzÀÝjAzÀ £ÀµÀÖ = ` 120 - ` 100 = ` 20 £ÀµÀÖ ` 120 PÉÌ ` 20 £ÀµÀÖ DzÀgÉ, ±ÉÃPÀqÁ £ÀµÀÖ = × 100 PÉÆAqÀ¨É¯É 20 ` 100 PÉÌ £ÀµÀÖ = × 100 120 ED 20 = × 100 120 50 = 16 2 H = 3 3 IS 50 2 = = 16 BL 2 3 EP S 3 DzÀÝjAzÀ, ±ÉÃPÀqÁ £ÀµÀÖ 16 3 R TB U CAwªÀÄ ¥ÀæPÀgÀtªÀ£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹. BE @K MAzÀÄ ªÀ¸ÀÄÛ«UÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ PÉÆAqÀ ¨É¯É, ªÀiÁjzÀ ¨É¯É, ¯Á¨sÀ CxÀªÁ £ÀµÀÖ CxÀªÁ ±ÉÃPÀqÁ ¯Á¨sÀ CxÀªÁ £ÀµÀÖzÀ ªÀÄÆgÀÄ ¥ÀjªÀiÁtUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ JgÀqÀÄ ¥ÀjªÀiÁtUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃrzÁUÀ E£ÉÆßAzÀÄ ¥ÀjªÀiÁtªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀħºÀÄzÀÄ. TO GzÁºÀgÀuÉ 12 : MAzÀÄ ºÀÆzÁ¤AiÀÄ PÉÆAqÀ ¨É¯É ` 120. CAUÀrAiÀĪÀ£ÀÄ CzÀ£ÀÄß 10% £ÀµÀÖPÉÌ ªÀiÁjzÀgÉ, ªÀiÁjzÀ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ »r¬Äj. T ¥ÀjºÁgÀ : PÉÆAqÀ ¨É¯É = ` 120 ºÁUÀÆ ±ÉÃPÀqÁ £ÀµÀÖ = 10 JAzÀÄ ¤ÃqÀ¯ÁVzÀÄÝ O N £ÁªÀÅ ªÀiÁjzÀ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀĨÉÃPÁVzÉ. ªÉÆúÀ£ï F jÃw ªÀiÁqÀÄvÁÛ£É. D£ÀA¢ F jÃw ªÀiÁqÀÄvÁÛ¼É. 10%. £ÀµÀÖªÉAzÀgÉ PÉÆAqÀ ¨É¯É ` 100 EzÁÝUÀ PÉÆAqÀ ¨É¯ÉAiÀÄ°è 10% £ÀµÀÖªÁVzÉ. £ÀµÀÖ = ` 10 = 120 gÀ 10% DzÀÝjAzÀ ªÀiÁjzÀ ¨É¯É 10 × 120 = ` 12 = ` (100-10) = ` 90 100 PÉÆAqÀ ¨É¯É `100 EzÁÝUÀ ªÀiÁjzÀ ¨É¯É `90. DzÀÝjAzÀ, ªÀiÁjzÀ ¨É¯É = PÉÆAqÀ ¨É¯É - £ÀµÀÖ DzÀÝjAzÀ PÉÆAqÀ ¨É¯É ` 120 EzÁÝUÀ, = ` 120 - ` 12 = ` 108. ªÀiÁjzÀ ¨É¯ÉAiÀÄÄ = 90 × 120 = ` 108 »ÃUÉ JgÀqÀÆ «zsÁ£ÀUÀ¼À°è ªÀiÁjzÀ ¨É¯ÉAiÀÄÄ 100 ` 108 DVzÉ. 15 GzÁºÀgÀuÉ 13. DnPÉ PÁj£À ªÀiÁgÁl ¨É¯É ` 540. CAUÀrAiÀĪÀ£ÄÀ 20% gÀµÀÄÖ ¯Á¨sÀUÀ½¹zÀgÉ, DnPÉAiÀÄ PÉÆAqÀ ¨É¯É JµÀÄÖ ? ¥ÀjºÁgÀ : ªÀiÁjzÀ ¨É¯É = ` 540 ºÁUÀÆ ¯Á¨sÀ = 20% DVzÀÄÝ, £ÁªÀÅ PÉÆAqÀ ¨É¯É PÀAqÀÄ »rAiÀĨÉÃPÁVzÉ. C«ÄãÀ C£ÀĸÀj¹zÀ «zsÁ£À CgÀÄuï C£ÀĸÀj¹zÀ «zsÁ£À 20% ¯Á¨sÀªÉAzÀgÉ PÉÆAqÀ ¨É¯É ¯Á¨sÀ = PÉÆAqÀ ¨É¯ÉAiÀÄ 20% ªÀÄvÀÄÛ ` 100 EzÁÝUÀ ¯Á¨sÀ ` 20 ªÀiÁjzÀ ¨É¯É = PÉÆAqÀ¨¯ É + É ¯Á¨sÀ DzÀÝjAzÀ, ªÀiÁjzÀ ¨É¯É DzÀÝjAzÀ, = 100+20 = 120 540 = PÉÆAqÀ¨É¯É + PÉÆAqÀ ¨É¯ÉAiÀÄ ED 20% AiÀiÁªÁUÀ ªÀiÁjzÀ ¨É¯ÉAiÀÄÄ `120 20 H DVgÀÄvÀÛzÉAiÉÆÃ, PÉÆAqÀ ¨É¯ÉAiÀÄÄ = PÉÆAqÀ¨É¯É + × PÉÆAqÀ¨É¯É IS 100 ` 100 DVgÀÄvÀÛzÉ.  1 BL EP S = 1   PÉÆAqÀ¨É¯É R TB É iÀÄÄ ` 540 DzÀÝjAzÀ, ªÀiÁjzÀ ¨É¯A  5 U 6 = × PÉÆAqÀ¨É¯É BE @K DVzÁÝUÀ PÉÆAqÀ ¨É¯ÉAiÀÄÄ 5 = 100 × 540 = ` 450 DzÀÝjAzÀ, PÉÆAqÀ¨É¯É = 540 × 5 120 6 PÉÆAqÀ ¨É¯É = ` 450 TO »ÃUÉ, JgÀqÀÆ «zsÁ£ÀUÀ¼À°è PÉÆAqÀ ¨É¯ÉAiÀÄÄ ` 450 DVzÉ. T EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ O N 1. CAUÀrAiÀĪÀ£ÉƧâ MAzÀÄ PÀÄaðAiÀÄ£ÀÄß ` 375 PÉÌ PÉÆAqÀÄ CzÀ£ÀÄß ` 400 PÉÌ ªÀiÁjzÀ£ÀÄ. ±ÉÃPÀqÁ ¯Á¨sÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ »r¬Äj. Û £À ¨É¯É ` 50. CzÀ£ÄÀ ß 12% ¯Á¨sPÀ ÌÉ ªÀiÁgÀ¯Á¬ÄvÀÄ. ªÀiÁgÁl 2. MAzÀÄ ªÀ¸ÄÀ « ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj. 3. MAzÀÄ ªÀ¸ÄÀ ª À ÄÀ ß ` 250 PÉÌ ªÀiÁjzÀÝjAzÀ 5% ¯Á¨sÀ zÉÆgɬÄvÀÄ. ªÀ¸ÄÀ « Û £ Û £À PÉÆAqÀ ¨É¯É JµÀÄÖ? 4. MAzÀÄ ªÀ¸ÀÄÛªÀ£ÀÄß ` 540 PÉÌ ªÀiÁjzÀÝjAzÀ 5% £ÀµÀÖªÀÅAmÁ¬ÄvÀÄ. ªÀ¸ÀÄÛ«£À PÉÆAqÀ ¨É¯É JµÀÄÖ ? 16 7.4 vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀ ºÀtzÀ ªÉÄð£À ±ÀÄ®Ì CxÀªÁ ¸ÀgÀ¼À §rØ ¸ÉÆû¤ MAzÀÄ ºÉƸÀ ¸ÀÆÌlgÀ£ÄÀ ß PÉÆAqÀÄPÉƼÀĪî ÅÀ zÁV ºÉýzÀ¼ÄÀ. ªÉÆúÀ£ï ¸ÀÆÌlgÀ£ÄÀ ß PÉƼÀ® î Ä ºÀt«zÉAiÉÄà JAzÀÄ PÉýzÀ£ÀÄ. DUÀ ¸ÉÆû¤ £ÀªÀÄä vÀAzÉ ¨ÁåAPï¤AzÀ ¸Á® «ZÁgÀuÉ «ZÁgÀuÉ ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÁV ºÉýzÀ¼ÀÄ. »ÃUÉ vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀ ºÀtªÀ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀ ªÉÆvÀÛ CxÀªÁ ‘C¸À®Ä’ J£ÀÄßvÉÛêÉ. »ÃUÉ vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀ ºÀtªÀ£ÀÄß ¸Àé®à ¸ÀªÀÄAiÀÄzÀªÀgÉUÉ ¨ÁåAPï ¨ÁåAQUÉ »A¢gÀÄV¸ÀĪÀªÀgÉUÉ G¥ÀAiÉÆÃV¸À§ºÀÄzÀÄ. »ÃUÉ ¸Àé®à PÁ® ElÄÖ PÉÆAqÀ ºÀtªÀ£ÀÄß ¨ÁåAQUÉ »A¢gÀÄV¸ÀĪÁUÀ ¸Àé®à ºÉaÑ£À ºÀtªÀ£ÀÄß ¤ÃqÀ¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ. ºÉZÁÑV PÉÆlÖ ºÀtªÀ£ÀÄß ‘§rØ’ J£ÀÄßvÉÛêÉ. ED ¸Á® ¥ÀqÉzÀ ºÀt ªÀÄvÀÄÛ §rØAiÀÄ£ÀÄß ¸ÉÃj¹ ªÀµÀðzÀ PÉÆ£ÉAiÀÄ°è ¤ÃªÀÅ ¥ÁªÀw¸À¨ÉÃPÁVgÀĪÀ H ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀħºÀÄzÀÄ. IS BL EP S ªÉÆvÀÛ = C¸À®Ä + §rØ R TB U §rØAiÀÄ£ÀÄß ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV MAzÀÄ ªÀµð À zÀ CªÀ¢U ü É ¥Àw æ ±ÀvPÀ ÌÉ ¯ÉPÌÀ ºÁPÀ¯ÁUÀÄvÀz Û.É GzÁºÀgu À U É É BE @K §rØ 10% EzÀÝgÉ, CzÀ£ÀÄß ¸Á°AiÀiÁ£À 10% CxÀªÁ ªÁ¶ðPÀ 10% JAzÀÄ §gÉAiÀÄÄvÉÛêÉ. ¸Á°AiÀiÁ£À 10% JAzÀgÉ vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀ ¥Àæw ` 100 PÉÌ MAzÀÄ ªÀµÀðPÉÌ ` 10 §rØAiÀiÁUÀÄvÀÛzÉ. FUÀ GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ ªÀÄÆ®PÀ «ªÀgÀªÁV w½AiÉÆÃt. GzÁºÀgÀuÉ 14. C¤vÀ¼ÀÄ ` 5,000 £ÀÄß ¸Á°AiÀiÁ£À 15% §rØAiÀÄ zÀgÀzÀ°è ¸Á® ¥ÀqÉAiÀÄÄvÁÛ¼É. TO ªÀµÀðzÀ CAvÀåzÀ°è CªÀ¼ÀÄ ¥ÁªÀw¸À¨ÉÃPÁzÀ §rØAiÉĵÀÄÖ? T ¥ÀjºÁgÀ : vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀ ºÀt = ` 5,000, §rØAiÀÄ zÀgÀ = ¸Á°AiÀiÁ£À 15% O JAzÀgÉ vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀ ¥Àæw ` 100 PÉÌ MAzÀÄ ªÀµÀðzÀ CªÀ¢üUÉ ` 15 §rØ N ¥ÁªÀw¸À¨ÃÉ PÀÄ. CªÀ¼ÄÀ ` 5,000 vÉUz É ÄÀ PÉÆArgÀĪÀÅzÀjAzÀ ªÀµð À zÀ PÉÆ£ÉAiÀÄ°è 15 × 5000 ¥ÁªÀw¸À¨ÉÃPÁzÀ MlÄÖ §rØ = ` 100 = ` 750 DzÀÝjAzÀ, ªÀµÀðzÀ PÉÆ£ÉAiÀÄ°è CªÀ¼ÀÄ ¥ÁªÀw¸À¨ÉÃPÁzÀ ªÉÆvÀÛ ` 5,000+ ` 750 = ` 5,750 ªÀµð À zÀ CªÀ¢U ü É §rØAiÀÄ£ÀÄß ¯ÉPÌÀ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÁzÀ MAzÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå gÀÆ¥Àª£ À ÄÀ ß £ÁªÀÅ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ. vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀ ºÀt CxÀªÁ C¸À®Ä ‘P' ºÁUÀÆ ªÁ¶ðPÀ §rØAiÀÄ zÀgÀ ¥Àæw £ÀÆgÀPÉÌ ‘R' DVgÀ°. vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀ ¥Àæw ` 100 PÉÌ ¥ÁªÀw¸À¨ÉÃPÁzÀ §rØ ` R. 17 DzÀÝjAzÀ vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀ ` P UÉ MAzÀÄ ªÀµÀðzÀ CAvÀåPÉÌ ¥ÁªÀw¸À¨ÉÃPÁzÀ §rØAiÀÄÄ, R  P  P  R 100 100 7.4.1 ºÉZÀÄÑ ªÀµÀðUÀ½UÉ §rØAiÀÄ£ÀÄß ¯ÉQ̸ÀĪÀÅzÀÄ. ºÀtªÀ£ÀÄß MAzÀÄ ªÀµÀðQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ CªÀ¢üUÉ vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀgÉ, vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀ CµÀÄÖ ªÀµÀðUÀ½UÉ §rØAiÀÄ£ÀÄß vÉgÀ¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ. ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è C¤vÀ CzÉà §rØ zÀgÀzÀ°è ¸Á®ªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ ªÀµÀðUÀ½UÉ ¥ÀqÉ¢zÀÝgÉ vÁ£ÀÄ ¥ÁªÀw¹zÀ §rØAiÀÄ JgÀqÀgÀµÀÄÖ §rØAiÀÄ£ÀÄß vÉgÀ¨ÉÃPÁUÀÄwÛvÀÄÛ. CAzÀgÉ, ªÉÆzÀ®£É ªÀµÀðPÉÌ ` 750 ºÁUÀÆ JgÀqÀ£Éà ªÀµÀðPÉÌ ` 750 §rØAiÀiÁUÀÄwÛvÀÄÛ. F jÃwAiÀiÁV ¤UÀ¢üvÀ C¸À°UÉ ¯ÉQ̸ÀĪÀ §rØAiÀÄ£ÀÄß ‘¸ÀgÀ¼À §rØ’ J£ÀÄßvÉÛêÉ. ¸Á® vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀ CªÀ¢üAiÀÄÄ ºÉaÑzÀAvÉ §rØAiÀÄÄ ºÉZÀÄÑvÀÛzÉ. ` 100 £ÀÄß ªÀÄÆgÀÄ ªÀµÀðUÀ½UÉ 18% §rØAiÀÄ zÀgÀzÀ°è vÉUÉzÀÄPÉÆArzÀÝgÉ, 3£Éà ªÀµÀðzÀ CAvÀåzÀ°è ¥ÁªÀw¸À¨ÉÃPÁzÀ §rØ 18 + 18 + 18 = 3 × 18 = ` 54. ED MAzÀÄ ªÀµð À zÀ CªÀ¢U ü É ¸Àg¼ À À §rØAiÀÄ£ÀÄß ¯ÉQ̸ÄÀ ªÀ ¸ÁªÀiÁ£Àå gÀÆ¥Àª£ À ÄÀ ß PÀAqÀÄ»rAiÀħºÀÄzÀÄ. H C¸À®Ä ` P UÉ R% §rØAiÀÄ zÀgÀzÀ°è MAzÀÄ ªÀµÀðzÀ CªÀ¢üUÉ ¥ÁªÀw¸À¨ÉÃPÁzÀ §rØAiÀÄÄ IS R× P BL EP S JAzÀÄ w½¢zÉ. DzÀÝjAzÀ, T ªÀµÀðUÀ½UÉ ¥ÁªÀw¸À¨ÉÃPÁzÀ §rØAiÀÄÄ (I) R TB 100 U T  R  P P  R T PRT  BE @K CxÀªÁ 100 100 100 T ªÀµÀðUÀ¼À CAvÀåzÀ°è ¥ÁªÀw¸À¨ÉÃPÁzÀ ªÉÆvÀÛ A = P + I EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ TO 1. ` 10,000ªÀ£ÀÄß ¸Á°AiÀiÁ£À 5% §rØAiÀÄ zÀgÀzÀ°è ºÀÆrPÉ ªÀiÁqÀ¯ÁVzÉ. MAzÀÄ ªÀµÀðzÀ CAvÀåPÉÌ zÉÆgÉAiÀÄĪÀ §rØAiÀÄ£ÀÄß ¯ÉPÁÌZÁgÀ ªÀiÁr. T O 2. ` 3,500£ÀÄß ¸Á°AiÀiÁ£À 7% §rØAiÀÄ zÀgz À ° À è ¤ÃqÀ¯ÁVzÉ. JgÀqÄÀ ªÀµð À UÀ¼À N CAvÀåPÉÌ zÉÆgÉAiÀÄĪÀ §rØ JµÀÄÖ ? 3. ` 6,050£ÀÄß ªÁ¶ðPÀ 6.5% gÀAvÉ vÉUÉzÀÄPÉƼÀî¯ÁVzÉ. ªÀÄÆgÀÄ ªÀµÀðUÀ¼À CAvÀåzÀ°è ¤ÃqÀ¨ÉÃPÁzÀ §rØ ªÀÄvÀÄÛ MlÄÖ ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ »r¬Äj. 4. ` 7,000ªÀ£ÀÄß ¸Á°AiÀiÁ£À 3.5% §rØAiÀÄ zÀgÀzÀ°è 2 ªÀµÀðUÀ½UÉ vÉUz É ÄÀ PÉƼÀî¯ÁVzÉ. JgÀqÄÀ ªÀµð À UÀ¼À CAvÀåz° À è ¥ÁªÀw¸À¨ÃÉ PÁzÀ ªÉÆvÀª Û µ É ÄÀ Ö? MAzÀÄ ªÀ¸ÀÄÛ«UÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ JgÀqÀÄ ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃrzÁUÀ, ºÉÃUÉ ªÀÄÆgÀ£Éà ¥ÀjªÀiÁt PÀAqÀÄ »rAiÀÄÄwÛzÉÝêÉAiÉÆà CzÉà jÃw, I  P  T  R ¸ÀA§AzsÀzÀ £Á®ÄÌ CA±ÀUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ 100 ªÀÄÆgÀÄ CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃrzÁUÀ, G½zÀ CA±ÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀħºÀÄzÀÄ. 18 GzÁºÀgÀuÉ 15. `4,500 ªÉƧ°VUÉ 2 ªÀµð ü É ªÀÄ£ÉÆúÀgï `750 §rØ ¥ÁªÀw¹zÀg,É À UÀ¼À CªÀ¢U §rØAiÀÄ zÀgÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj ? ¥ÀjºÁgÀ - 1 ¥ÀjºÁgÀ - 2 P T  R 2 ªÀµÀðzÀ CªÀ¢üUÉ ¥ÁªÀw¹zÀ §rØ ` 750 I 100 DzÀÝjAzÀ, MAzÀÄ ªÀµÀðPÉÌ ¥ÁªÀw¹zÀ §rØ ` 750 4500  2  R 2 DzÀÝjAzÀ, 750  = ` 375 100 750 ` 4,500 PÉÌ ¥ÁªÀw¹zÀ §rØ ` 375 CxÀªÁ R 45  2 DzÀÝjAzÀ, ` 100 PÉÌ ¥ÁªÀw¹zÀ §rØAiÀÄ zÀgÀ DzÀÝjAzÀ, §rØAiÀÄ zÀgÀ = 8 1 % 3 375 100 1  8 % ED 4500 3 H EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ IS 1. ¤ªÀÄä SÁvÉAiÀÄ°è ` 2,400 EzÉ, CzÀPÉÌ 5% §rØ zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ. JµÀÄÖ BL EP S ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀ ` 240 §rØ ¥ÀqÉAiÀÄÄ«j? R TB U 2. MAzÀÄ ªÉÆvÀÛPÉÌ 3 ªÀµÀðUÀ½UÉ 5% §rØAiÀÄ zÀgÀzÀ°è ` 450 §rØ BE @K zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ. ªÉÆvÀÛ PÀAqÀÄ»r¬Äj. C¨sÁå¸À 7.2 TO 1. ªÀÄÄA¢£À ªÀåªÀºÁgÀUÀ¼À°è GAmÁVgÀĪÀ ¯Á¨sÀ CxÀªÁ £ÀµÀÖ JµÀÄÖ w½¹. ºÁUÀÆ ¥Àæw¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°è ±ÉÃPÀqÁ ¯Á¨sÀ CxÀªÁ ±ÉÃPÀqÁ £ÀµÀÖ PÀAqÀÄ T O »r¬Äj. N (a) MAzÀÄ PÉÊvÉÆÃlzÀ PÀvÀÛjAiÀÄ£ÀÄß ` 250 PÉÌ PÉÆAqÀÄ ` 325 PÉÌ ªÀiÁgÀ¯Á¬ÄvÀÄ. (b) MAzÀÄ gɦüædgÉÃlgï£ÀÄß ` 12,000 PÉÌ PÉÆAqÀÄ ` 13,500 PÉÌ ªÀiÁgÀ¯Á¬ÄvÀÄ. (c) MAzÀÄ PÀ¥Ál£ÀÄß ` 2,500 PÉÌ PÉÆAqÀÄ ` 3,000 PÉÌ ªÀiÁgÀ¯Á¬ÄvÀÄ. (d) MAzÀÄ ¸ÀÌmïð£ÀÄß ` 250 PÉÌ PÉÆAqÀÄ ` 150 PÉÌ ªÀiÁgÀ¯ÁVzÉ. 2. ªÀÄÄA¢£À C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß ±ÉÃPÀqÁUÉ ¥ÀjªÀwð¹ : (a) 3 : 1 (b) 2 : 3 : 5 (c) 1 : 4 (d) 1 : 2 : 5 19  3. MAzÀÄ ¥ÀlÖtzÀ d£À¸ÀASÉå 25,000 ¢AzÀ 24,500 PÉÌ E½PÉAiÀiÁVzÉ. ±ÉÃPÀqÁ E½PÉ PÀAqÀÄ »r¬Äj. 4. CgÀÄuï ` 3,50,000 PÉÌ MAzÀÄ PÁgÀ£ÀÄß PÉÆAqÀ£ÀÄ. ªÀÄÄA¢£À ªÀµÀð PÁj£À ¨É¯É ` 3,70,000 PÉÌ KjzÀgÉ, ±ÉÃPÀqÁ KjPÉAiÉĵÀÄÖ? 5. £Á£ÀÄ MAzÀÄ n«AiÀÄ£ÀÄß ` 10,000 PÉÌ PÉÆAqÀÄ 20% ¯Á¨sÀPÉÌ ªÀiÁjzÀgÉ £À£ÀUÉ zÉÆgÉAiÀÄĪÀ ºÀtªÉµÀÄÖ? 6. dÆ» MAzÀÄ ªÁ¶AUï ªÉĶ£ï£ÀÄß ` 13,500 PÉÌ ªÀiÁgÀÄvÁÛ¼É. ªÀåªÀºÁgÀzÀ ZËPÁ²AiÀÄ°è CªÀ¼ÀÄ 20% £ÀµÀÖ C£ÀĨsÀ«¸ÀÄvÁÛ¼É. CªÀ¼ÀÄ CzÀ£ÀÄß JµÀÄÖ ¨É¯ÉUÉ PÉÆArzÀݼÀÄ? 7. (i) ¹ÃªÉÄ ¸ÀÄtÚzÀ°è PÁå°ìAiÀÄA, EAUÁ® ºÁUÀÆ DªÀÄèd£ÀPÀUÀ¼ÀÄ 10:3:12 C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èªÉ. EAUÁ®zÀ ±ÉÃPÀqÁ ¥ÀæªÀiÁtªÉµÀÄÖ? ED (ii) ¹ÃªÉĸÀÄtÚzÀ PÀrØAiÀÄÄ 3g EAUÁ®ªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÝgÉ, ¸ÀÄtÚzÀ PÀrØAiÀÄ vÀÆPÀªÉµÀÄÖ? H 8. C«ÄãÁ ` 275 PÉÌ MAzÀÄ ¥ÀĸÀÛPÀªÀ£ÀÄß PÉÆAqÀÄ 15% £ÀµÀÖPÉÌ ªÀiÁgÀÄvÁÛ¼É. ¥ÀĸÀÛPÀzÀ ªÀiÁjzÀ IS ¨É¯É JµÀÄÖ? BL EP S 9. ªÀÄÄA¢£ÀªÀÅUÀ¼À°è ªÀÄÆgÀÄ ªÀµÀðUÀ¼À CAvÀåzÀ°è ¥ÁªÀw¸À¨ÉÃPÁzÀ ªÉÆvÀ۪ɵÀÄÖ? R TB U (a) ªÁ¶ðPÀ §rØ zÀgÀ 12% = ` 1,200 BE @K (b) ªÁ¶ðPÀ §rØ zÀgÀ 5% = ` 7,500 10. ` 56,000 PÉÌ JgÀqÀÄ ªÀµÀðUÀ½UÉ ` 280 §rØ zÉÆgÉvÀgÉ, §rØAiÀÄ zÀgÀªÉµÀÄÖ? 11. «ÄãÁ ¸Á°AiÀiÁ£À 9% §rØAiÀÄ zÀgÀzÀ°è ` 45 §rØ ¥ÁªÀw¸ÀÄvÁÛ¼É CªÀ¼ÀÄ vÉUÉzÀÄPÉÆArzÀÝ TO ªÉÆvÀ۪ɵÀÄÖ? T O E°èAiÀĪÀgÉUÉ ZÀað¹gÀĪÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ N 1. ¥ÀjªÀiÁtUÀ¼£ À ÄÀ ß ºÉÆð¸ÀĪÀ MAzÀÄ PÀª æ ÄÀ ±ÉÃPÀqÁ bÉÃzÀ 100 EgÀĪÀ ©ü£ßÀ gÁ²UÀ¼° À £ è À CA±ÀªÃÉ ±ÉÃPÀqÁ JAzÀgÉ 100PÉÌ JAzÀxÀð. GzÁºÀgÀuÉUÉ 82% CAPÀ JAzÀgÉ 100PÉÌ 82 JAzÀxÀð. 2. ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ£ÀÄß ±ÉÃPÀqÁPÉÌ ºÁUÀÆ ±ÉÃPÀqÁªÀ£ÀÄß ©ü£ÀßgÁ²UÉ ¥ÀjªÀwð¸À§ºÀÄzÀÄ. 1 1 75 3 GzÁºÀgÀuÉUÉ,  100% ºÁUÀÆ 75= % = 4 4 100 4 3. zÀ±ÀªÀiÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ±ÉÃPÀqÁPÉÌ ºÁUÀÆ ±ÉÃPÀqÁªÀ£ÀÄß zÀ±ÀªÀiÁA±ÀUÀ½UÉ ¥ÀjªÀwð¸À§ºÀÄzÀÄ. GzÁºÀgÀuÉUÉ , 0.25 = 0.25 × 100% = 25% 4. ¢£À¤vÀåzÀ fêÀ£ÀzÀ°è ±ÉÃPÀqÁzÀ §¼ÀPÉ ªÁå¥ÀPÀªÁVzÉ. 20  (a) MlÄÖ ¥ÀæªÀiÁtPÉÌ ±ÉÃPÀqÁ zÀgÀªÀ£ÀÄß ¤ÃrzÁUÀ ¸ÀjAiÀiÁzÀ ªÀiË®åªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄĪÀÅzÀ£ÀÄß PÀ°wzÉÝêÉ. (b) ¥ÀjªÀiÁtzÀ ¨sÁUÀUÀ¼À£ÀÄß C£ÀÄ¥ÁvÀUÀ¼À°è PÉÆmÁÖUÀ, CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ±ÉÃPÀqÁUÉ ¥ÀjªÀwð¸ÀĪÀ «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß PÀ°wzÉÝêÉ. (c) ¥ÀjªÀiÁtzÀ°è£À KjPÉ CxÀªÁ E½PÉAiÀÄ£ÀÄß ±ÉÃPÀqÁzÀ°è ªÀåPÀÛ¥Àr¸À§ºÀÄzÀÄ. (d) MAzÀÄ ªÀåªÀºÁgÀzÀ°è£À ¯Á¨sÀ CxÀªÁ £ÀµÀÖªÀ£ÀÄß ±ÉÃPÀqÁzÀ°è ªÀåPÀÛ¥Àr¸À§ºÀÄzÀÄ. (e) ¸Á®zÀ ºÀtPÉÌ §rØAiÀÄ£ÀÄß ¯ÉPÀÌ ºÁPÀĪÁUÀ, §rØAiÀÄ zÀgÀ ¥Àæw£ÀÆgÀPÉÌ ¤ÃqÀ¯ÁVgÀÄvÀÛzÉ. GzÁºÀgÀuÉUÉ, ` 800£ÀÄß ªÀÄÆgÀÄ ªÀµÀðUÀ½UÉ 12% §rØ zÀgÀzÀ°è ¥ÀqÉAiÀįÁVzÉ. ED H IS BL EP S R TB U BE @K TO T O N 21  CzsÁåAiÀÄ - 8 ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ED 8.1 ¦ÃpPÉ H ¸ÀASÉåUÀ¼À C¨sÁå¸ÀªÀ£ÀÄß ¤ªÀÄä ¸ÀÄvÀÛ°£À ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß Kt¸ÀĪÀÅzÀ- IS BL EP S jAzÀ ¥ÁægÀA©ü¹gÀÄ«j. F GzÉÝñÀPÁÌV §¼À¹gÀĪÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß R TB U JtÂPÉ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ CxÀªÁ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ J£ÀÄßvÉÛêÉ. BE @K CªÀÅUÀ¼ÀÄ 1,2,3,4,... ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ½UÉ “0” AiÀÄ£ÀÄß ¸ÉÃj¹zÁUÀ CªÀÅ ¥ÀÆtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÁUÀÄvÀÛªÉ. CAzÀgÉ 0, 1, 2, 3, 4 £ÁªÀÅ ¥ÀqÉAiÀÄÄvÉÛêÉ. IÄt ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÉÆA¢UÉ ¥ÀÆtð TO ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹, ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄvÉÛêÉ. ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÉAzÀgÉ... −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.... »ÃUÉ ¸ÀASÁå ¥ÀzÀÞwAiÀÄ£ÀÄß ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ½AzÀ ¥ÀÆtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÁV ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀÆtð T O ¸ÀASÉåUÀ½AzÀ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÁV «¸ÀÛj¹zÉÝêÉ. N CA ±À EªÀÅUÀ¼ÉÆA¢UÉ ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼À£ÀÆß ¸ÀºÀ ¤ªÀÄUÉ ¥ÀjZÀ¬Ä¸À¯ÁVzÉ. EªÀÅUÀ¼ÀÄ gÀÆ¥ÀzÀ bÉÃzÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÄÝ CA±ÀªÀÅ ‘0’ CxÀªÁ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ bÉÃzÀªÀÅ MAzÀÄ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ. ¤ÃªÀÅ ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼À£ÀÄß ºÉÆðPÉ ªÀiÁrgÀÄ«j, CªÀÅUÀ¼À ¸ÀªÀiÁ£À gÀÆ¥ÀUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄPÉÆArgÀÄ«j ªÀÄvÀÄÛ EªÀÅUÀ¼À ªÉÄÃ¯É £Á®ÄÌ UÀtÂvÀzÀ ªÀÄÆ®QæAiÉÄUÀ¼ÁzÀ ¸ÀAPÀ®£À, ªÀåªÀPÀ®£À UÀÄuÁPÁgÀ ªÀÄvÀÄÛ ¨sÁUÀPÁgÀUÀ¼À£ÀÄß C¨sÁå¸À ªÀiÁrgÀÄ«j. F CzsÁåAiÀÄzÀ°è ¸ÀASÁå ¥ÀzÞÀ wAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄvÀµ Û ÄÀ Ö «¸Àj Û ¸ÉÆÃt. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåU¼ À À ¥ÀjPÀ®£ à A É iÀÄ£ÀÄß CªÀÅUÀ¼À ¸ÀAPÀ®£À, ªÀåªÀPÀ®£À, UÀÄuÁPÁgÀ ªÀÄvÀÄÛ ¨sÁUÁPÁgÀ QæAiÉÄUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjZÀ¬Ä¸ÉÆÃt. 22 8.2 ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À CUÀvÀåvÉ »AzÉ, ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß M¼ÀUÉÆAqÀ ªÀåwjPÀÛ ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀÆuÁðAPÀ §¼À¹ ºÉÃUÉ ¸ÀÆa¸ÀÄwÛzÀÝgÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß w½¢gÀÄ«j. GzÁºÀgÀuÉUÉ MAzÀÄ eÁUÀ¢AzÀ §®PÉÌ EgÀĪÀ 3km zÀÆgÀªÀ£ÀÄß 3jAzÀ ¸ÀÆa¹zÀgÉ CzÉà eÁUÀ¢AzÀ JqÀ¨sÁUÀQÌgÀĪÀ 5km zÀÆgÀªÀ£ÀÄß -5 jAzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ. ` 150 ¯Á¨sÀªÀ£ÀÄß 150 jAzÀ ¸ÀÆa¸ÀĪÀÅzÁzÀgÉ 100gÀ £ÀµÀÖªÀ£ÀÄß -100 JAzÀÄ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ. ªÉÄð£À ¸À¤ßªÉñÀUÀ½UÉ C£ÀÄgÀÆ¥ÀªÁzÀ ©ü£ÀßgÁ² ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß M¼ÀUÉÆAqÀ ºÀ®ªÁgÀÄ ¸À¤ßªÉñÀUÀ½ªÉ. 3 ¤ÃªÀ Å ¸À ª À Ä ÄzÀ æ ªÀ Ä lÖ ¢ AzÀ ªÉ Ä Ã°£À 750 m zÀ Æ gÀ ª À £ À Ä ß km JAzÀ Ä ¸À Æ a¸À § ºÀ Ä zÀ Ä 4 ºÁUÉAiÉÄà ¸ÀªÀÄÄzÀæªÀÄlÖQÌAvÀ 750m PɼÀV£À zÀÆgÀªÀ£ÀÄß km UÀ¼À°è £ÁªÀÅ ¸ÀÆa¸À§ºÀÄzÉÃ? -3 km JAzÀÄ ¸ÀÆa¸À§ºÀÄzÉÃ? E°è -3 MAzÀÄ 3 ¸ÀªÀÄÄzÀæ ªÀÄlÖQÌAvÀ PɼÀV£À 4 km zÀÆgÀªÀ£ÀÄß 4 4 ED ¥ÀÆuÁðAPÀªÀÇ C®è ªÀÄvÀÄÛ ©ü£ÁßAPÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÆ C®è JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¸ÀÄvÉÛêÉ. F jÃwAiÀÄ H IS ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹PÉƼÀî®Ä ¸ÀASÁå ¥ÀzÀÞwAiÀÄ£ÀÄß E£ÀÆß «¸ÀÛj¸ÀĪÀ CUÀvÀåvÉ EzÉ. BL EP S 8.3 ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ JAzÀgÉãÀÄ? R TB U ‘¨sÁUÀ®§Þ’ ¥ÀzÀªÀÅ (Rational) ¨sÁUÀ (Ratio) JA§ ¥ÀzÀ¢AzÀ DVzÉ. BE @K 3 ¤ªÀÄUÉ w½¢gÀĪÀAvÉ C£ÀÄ¥ÁvÀ 3:2 C£ÀÄß JAzÀÄ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ. E°è 3 ªÀÄvÀÄÛ 2 ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ. 2 CzÉà jÃw, JgÀqÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀ p ªÀÄvÀÄÛ q UÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀªÀ£ÀÄß TO p p : q (q ≠ 0) q gÀÆ¥ÀzÀ°è §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ. EzÀÄ J¯Áè ¨sÁUÀ®§Þ T O ¸ÀASÉåUÀ¼£ À ÄÀ ß ªÀåPÀÛ¥r À ¸ÀĪÀ gÀÆ¥ÀªÁVzÉ. MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß N p q gÀÆ¥ÀzÀ°è ªÀåPÀÛ¥Àr¸À§ºÀÄzÁzÀ ¸ÀASÉå JAzÀÄ ¤gÀƦ¸À§ºÀÄzÀÄ. E°è p ªÀÄvÀÄÛ q ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ q≠0 4 »ÃUÉ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå. E°è p = 4 ªÀÄvÀÄÛ q = 5 5 -3 MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÉÄÃ? ºËzÀÄ. KPÉAzÀgÉ p = -3 ªÀÄvÀÄÛ q = 4 ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ. 4 3 4 2 * ¤ÃªÀÅ , , 1 ªÀÄÄAvÁzÀ C£ÉÃPÀ ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃrgÀÄ«j. J¯Áè ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼ÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ 8 8 3 ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ. KPÉ ºÉüÀ§°ègÁ? 23 0.5, 2.3 ªÀÄÄAvÁzÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À ¸ÀASÉåUÀ¼À §UÉÎ K£À£ÀÄß ºÉüÀÄ«j? EAvÀºÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ zÀ±ÀªÀiÁA±ÀªÀ£ÀÄß MAzÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ©ü£ÀßgÁ²AiÀiÁV §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ. ºÁUÁV F ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼Éà 5 333 ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ. GzÁºÀgÀuÉUÉ 0.5 = , 0.333 = EvÁå¢. 10 1000 EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ 2 1. MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÉÄÃ? D¯ÉÆÃa¹. −3 2. ºÀvÀÄÛ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖªÀiÁr. CA±À ªÀÄvÀÄÛ bÉÃzÀ ED p q AiÀÄ°è ¥ÀÆuÁðAPÀ p CA±À ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀÆuÁðAPÀ q (≠ 0) bÉÃzÀªÁVzÉ. H IS -3 BL EP S »ÃUÉ gÀ°è -3 CA±À ªÀÄvÀÄÛ 7 bÉÃzÀªÁVzÉ. R TB 7 U ªÀÄÄAzÉ ¤ÃrgÀĪÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀPÀÆÌ LzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gɬÄj. BE @K (a) CA±À MAzÀÄ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀ ªÀÄvÀÄÛ bÉÃzÀ MAzÀÄ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀ (b) CA±À MAzÀÄ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀ ªÀÄvÀÄÛ bÉÃzÀ MAzÀÄ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀ (c) CA±À ªÀÄvÀÄÛ bÉÃzÀUÀ¼ÉgÀqÀÆ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ (d) CA±À ªÀÄvÀÄÛ bÉÃzÀUÀ¼ÉgÀqÀÆ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ TO ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÆ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÉÃ? T AiÀiÁªÀÅzÉà ¥ÀÆuÁðAPÀªÀ£ÀÄß MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå JAzÀÄ D¯ÉÆÃa¸À§ºÀÄzÀÄ. GzÁºÀgÀuÉUÉ O ¥ÀÆuÁðAPÀ -5 MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå. KPÉAzÀgÉ EzÀ£ÀÄß -5 JAzÀÄ ¤ÃªÀÅ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ. N 0 0 1 ¥ÀÆuÁðAPÀ ‘0’ AiÀÄ£ÀÄß 0 = (CxÀªÁ) EvÁå¢ JAzÀÆ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ. DzÀÝjAzÀ EzÀÆ 2 7 ¸ÀºÀ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå. »ÃUÁV, ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼À£ÀÄß M¼ÀUÉÆArªÉ. ¸ÀªÀiÁ£À ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ CA±À ªÀÄvÀÄÛ bÉÃzÀUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ. GzÁºÀgÀuÉUÉ −2 MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå £ÀÄß ¥ÀjUÀt¹. 3 24  -2 2  2 4 -2 -4 =  E°è ªÀÄvÀÄÛ UÀ¼ÀÄ MAzÉà DVªÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß 3 3 2 6 3 6 UÀªÀĤ¸ÀÄvÉÛêÉ. -2 C®èz,É 2   2    5  10 DzÀÝjAzÀ 10 ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀºÀ MAzÉà DVªÉ. 3 3   5  15 3 -15 »ÃUÉ 2  4  10 MAzÀPÉÆÌAzÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀĪÀ, F jÃwAiÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ 3 6 15 ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ J£ÀߧºÀÄzÀÄ. ¥ÀÄ£ÀB 10  10 (ºÉÃUÉ)? ED 15 15 H MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ CA±À ªÀÄvÀÄÛ bÉÃzÀUÀ¼ÉgÀqÀ£ÀÆß IS EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ ¸ÉÆ£ÉßAiÀÄ®èzÀ MAzÉà ¥ÀÆuÁðAPÀ¢AzÀ UÀÄt¹zÁUÀ PÉÆnÖgÀĪÀ BL EP S ©lÖ ¸ÀܼÀ vÀÄA©j ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÉ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß R TB U 5 25 15 £ÁªÀÅ ¥ÀqÉAiÀÄÄvÉÛêÉ. EzÀÄ ¸ÀªÀiÁ£À ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ    BE @K 1. 4 16 ¸ÀjAiÀiÁzÀ PÀæªÀĪÁVzÉ. UÀÄuÁPÁgÀ jÃwAiÀįÉèà CA±À ªÀÄvÀÄÛ bÉÃzÀUÀ¼ÉgÀqÀ£ÀÆß 3 9 6 2.    ¸ÉÆ£ÉßAiÀÄ®èzÀ MAzÉà ¥ÀÆuÁðAPÀ¢AzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ®Æ ¸ÀªiÀ Á£À 7 14 ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀħºÀÄzÀÄ TO GzÁºÀgÀuÉUÉ T 10   5  2 12 12  12 1 O 10   ,   15 15   5  3 N 24 24  12 2 -2 2 -10 10 £ÀÄß - JAzÀÄ, £ÀÄß - JAzÀÄ £ÁªÀÅ §gÉAiÀÄÄvÉÛêÉ. 3 3 15 15 8.4 zsÀ£À ªÀÄvÀÄÛ IÄt ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 2 ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå £ÀÄß ¥ÀjUÀt¹. F ¸ÀASÉåAiÀÄ CA±À ªÀÄvÀÄÛ bÉÃzÀUÀ¼ÉgÀqÀÆ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ 3 3 5 2 EAvÀºÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß zsÀ£À ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå J£ÀÄßvÉÛêÉ. DzÀÝjAzÀ , , ªÀÄÄAvÁzÀªÀÅ 8 7 9 zsÀ£À ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ. 25 EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ -3 gÀ CA±À MAzÀÄ IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀ, DzÀgÉ bÉÃzÀ MAzÀÄ 5 1. 5 MAzÀÄ zsÀ£À ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÉÄÃ? zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀ. EAvÀºÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß IÄt -5 -3 -9 2. E£ÀÆß LzÀÄ zsÀ£À ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛêÉ. DzÀÝjAzÀ , , ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ªÀÄÄAvÁzÀªÀÅ IÄt ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ. 7 8 5 ¥ÀnÖªÀiÁr. -8 MAzÀÄ IÄt ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÉÄÃ? £ÀªÀÄUÉ EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ 3 8  1 8 1. - 8 M A z À Ä I Ä t , ªÀÄvÀÄÛ -8 8 w½¢gÀĪÀAvÉ   MAzÀÄ 3 3  1 3 3 ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÉÄÃ? ED 2. E £ À Æß L z À Ä I Ä t H IÄt ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå. DzÀÝjAzÀ 8 MAzÀÄ IÄt ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß IS −3 ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå. BL ¥ÀnÖªÀiÁr EP S R TB 5 6 2 U CzÉà jÃw, , , ªÀÄÄAvÁzÀªÀÅUÀ¼É¯Áè IÄt -7 -5 -9 BE @K ¨s Á UÀ ® §Þ ¸À A SÉ å UÀ ¼ À Ä. EªÀ Å UÀ ¼ À CA±À U À ¼ É ¯ Áè zs À £ À ¥ÀÆuÁðAPÀ ªÀÄvÀÄÛ bÉÃzÀU¼ À ¯ É Áèè IÄt ¥ÀÆuÁðAPÀU¼ À AÉ §ÄzÀ£ÄÀ ß UÀªÀĤ¹. TO ¸ÀASÉå 0 AiÀÄÄ MAzÀÄ zsÀ£À ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄÆ C®è CxÀªÁ IÄt ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄÆ C®è. T , O -3 N gÀ §UÉÎ K£À£ÀÄß ºÉüÀÄ«j? -5 3 3   1 3   JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹. DzÀÝjAzÀ 5 5   1 5 -3 -2 -5 MAzÀÄ zsÀ£À ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå. »ÃUÁV , -5 -5 -3 ªÀÄÄAvÁzÀªÀÅ zsÀ£À ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ. 26 EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ EªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀŪÀÅ IÄt ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ? -2 5 3 (i) (ii) (iii) (iv) 0 3 7 -5 6 -2 (v) (vi) 11 -9 8.5 ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¸ÀĪÀÅzÀÄ ¤ªÀÄUÉ w½¢zÉ. CAvÀºÀ ED MAzÀÄ ¸ÀASÁå gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß gÀa¸ÉÆÃt. H IS BL EP S 0 AiÀÄ §® ¨sÁUÀQÌgÄÀ ªÀ ©AzÀÄUÀ¼£ À ÄÀ ß + aºÉ߬ÄAzÀ ¸ÀÆa¯ÁVzÉ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅ zs£ À À ¥ÀÆuÁðAPÀU¼À ÄÀ. R TB À ÄÀ ß - aºÉ߬ÄAzÀ ¸ÀÆa¸À¯ÁVzÉ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅ IÄt ¥sÆ U 0 AiÀÄ JqÀ¨Ás UÀQÌgÄÀ ªÀ ©AzÀÄUÀ¼£ À uÁðAPÀU¼À ÄÀ. BE @K ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼À£ÀÄß ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¸ÀĪÀÅzÀ£ÀÆß ¤ÃªÀÅ w½¢gÀÄ«j. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¸ÀĪÀÅzÀÄ ºÉÃUÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ w½AiÉÆÃt. TO 1 ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå − £ÀÄß ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¸ÉÆÃt. 2 T zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À «µÀAiÀÄzÀ°è ªÀiÁrzÀ ºÁUÉ zsÀ£À ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß 0 AiÀÄ O §®¨sÁUÀzÀ®Æè ªÀÄvÀÄÛ IÄt ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß 0 AiÀÄ JqÀ¨sÁUÀzÀ®Æè UÀÄgÀÄw¸À¨ÉÃPÀÄ. N 1 0 AiÀÄ AiÀiÁªÀ ¨sÁUÀzÀ°è − £ÀÄß UÀÄgÀÄw¸ÀÄ«j? IÄt ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå DVgÀĪÀÅzÀjAzÀ 2 EzÀ£ÀÄß 0 AiÀÄ JqÀ¨sÁUÀzÀ°è UÀÄgÀÄw¸À¨ÉÃPÀÄ. ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¸ÀĪÁUÀ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀªÀiÁ£À CAvÀgÀzÀ°è UÀÄgÀÄw¸À¨ÉÃPÀÄ JA§ÄzÀÄ ¤ªÀÄUÉ w½¢zÉ. ºÁUÀÆ 1 ªÀÄvÀÄÛ -1 gÀ eÉÆÃrUÀ¼ÀÄ 0 EAzÀ ¸ÀªÀiÁ£À CAvÀgÀzÀ°ègÀ¨ÉÃPÀÄ. CzÉà jÃw 2 ªÀÄvÀÄÛ -2, 3 ªÀÄvÀÄÛ -3gÀ eÉÆÃrUÀ¼ÀÆ 1 1 ¸ÀªÀiÁ£À CAvÀgÀzÀ°ègÀ¨ÉÃPÀÄ. CzÉà jÃw ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ − ¸ÀºÀ 0 ¬ÄAzÀ 2 2 1 ¸ÀªÀÄzÀÆgÀzÀ°ègÀ¨ÉÃPÀÄ. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå £ÀÄß ºÉÃUÉ UÀÄgÀÄw¸À¨ÉÃPÀÄ JA§ÄzÀÄ £ÀªÀÄUÉ w½¢zÉ. 2 27  1 EzÀ£ÀÄß 0 ªÀÄvÀÄÛ 1gÀ £ÀqÀÄ«£À ªÀÄzsÀå ©AzÀÄ«£À°è UÀÄgÀÄw¸À¨ÉÃPÀÄ. DzÀÝjAzÀ − £ÀÄß 0 ªÀÄvÀÄÛ -1gÀ £ÀqÀÄ«£À ªÀÄzsÀå ©AzÀÄ«£À°è UÀÄgÀÄw¸À¨ÉÃPÀÄ. 2 3 £ÀÄß ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¸ÀĪÀÅzÀÄ ºÉÃUÉ JAzÀÄ £ÀªÀÄUÉ w½¢zÉ. EzÀ£ÀÄß 0 AiÀÄ 2 §®¨sÁUÀzÀ°è UÀÄgÀÄw¸À¨ÉÃPÀÄ ªÀÄvÀÄÛ EzÀÄ 1 ªÀÄvÀÄÛ 2gÀ £ÀqÀÄªÉ CzsÀðzÀ ¨sÁUÀzÀ°è EgÀÄvÀÛzÉ. FUÀ £ÁªÀÅ -3 £ÀÄß ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¸ÉÆÃt. EzÀÄ 0 AiÀÄ JqÀ¨sÁUÀzÀ°ègÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ 0 2 ED ¬ÄAzÀ 3 EgÀĪÀ CAvÀgÀzÀ¯Éèà EgÀÄvÀÛzÉ. 2 H 1  2 3  4 -3 , -1 ªÀÄvÀÄÛ -2 gÀ £ÀqÀÄªÉ IS E½PÉ PÀæªÀÄzÀ°è , ( 1) , , (  2) EªÉ. EzÀÄ BL 2 2 2 2 2 EP S R TB EgÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß vÉÆÃj¸ÀÄvÀÛzÉ. »ÃUÉ -3 , -1 ªÀÄvÀÄÛ -2gÀ £ÀqÀÄªÉ ¸ÀjAiÀiÁV CzsÀðzÀ U BE @K ¨sÁUÀzÀ°ègÀÄvÀÛzÉ. 2 4 −3 2 −1 0 1 4 = (0) = ( 2) 2 3  (2)  (1) = (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 TO -5 ªÀÄvÀÄÛ -7 UÀ¼À£ÀÆß CzÉà jÃwAiÀÄ°è UÀÄgÀÄw¹. T O 2 2 N 1 CzÉà jÃw − , 0 AiÀÄ JqÀ¨Ás UÀzÀ°èzÉ ªÀÄvÀÄÛ 0 ¬ÄAzÀ CµÉÖà zÀÆgÀzÀ°è 1 §®¨sÁUÀzÀ°èzÉ. 3 3 1 1 DzÀÝjAzÀ, ªÉÄÃ¯É w½¹gÀĪÀ ºÁUÉ − £ÀÄß ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw?