Análisis Matemático II - Funciones Vectoriales PDF

Análisis Matemático II 7. Funciones vectoriales Definición: Una trayectoria en es una función [ ]. Si tiene derivadas continuas k-ésimas ( decimos que es una trayectoria. Llamamos curva de a la imagen de. Si [ ] , ( ( ( ( ( entonces ( ( ( son las componentes...

Análisis Matemático II 7. Funciones vectoriales Definición: Una trayectoria en es una función [ ]. Si tiene derivadas continuas k-ésimas ( decimos que es una trayectoria. Llamamos curva de a la imagen de. Si [ ] , ( ( ( ( ( entonces ( ( ( son las componentes (o funciones coordenadas) de y a ( se lo denomina vector posición para cada [ ]. Análogamente para el caso de [ ]. ( ( ( ( ( , ( ( ( ( ( 𝜎(𝑡 𝜎(𝑏 𝜎(𝑎 Observaciones: Cuando el parámetro t varía en su dominio, el punto extremo o final del vector (ubicado en posición canónica) genera una curva C llamada curva paramétrica. El sentido de la curva paramétrica C está dado por el sentido en el que se van generando los puntos de la curva a medida que el parámetro t aumenta su valor en su dominio I ⊂ R. El dominio de variación del parámetro muchas veces está restringido a un intervalo finito I = [a, b] ⊂ R. En este caso, la curva C tiene un punto inicial o de partida ( ( ( ( ( (que es el punto extremo del vector (t = a) en posición canónica) y un punto final o de llegada ( ( ( ( )(que es el punto extremo del vector (t = b) en posición canónica). Ejemplo 7.1: a) El movimiento de una partícula en el plano está definido por la siguiente función vectorial ( (. Graficar la curva imaginaria que describe la partícula al moverse, indicando los puntos inicial y final así como el sentido del recorrido. b) Si el movimiento está representado por ( ( ( (. ¿Cuál es la curva determinada? Compare con el caso a) a) Las funciones coordenadas son ( (.Si para algunos valores de t situamos en el plano los puntos ( ( ( o sea ( , su ubicación parece indicarnos que la curva es una circunferencia (evalué ( en ).Si eliminamos el parámetro t entre las ecuaciones ( ( obtenemos la ecuación cartesiana de la curva. 46  Análisis Matemático II ( ( ( ( ( Luego , vemos que el punto ( ( ( con [ ] está en la circunferencia de radio 4 centrada en el origen. El parámetro t corresponde al ángulo entre el semieje +x y el vector ⃗⃗⃗⃗⃗. El punto inicial de la curva es (4,0) a medida que el parámetro aumenta de 0 a , el punto ( da una vuelta a la circunferencia en sentido anti horario, esto es, en sentido contrario al de las agujas del reloj. b) Si eliminamos el parámetro t como hicimos en el inciso anterior , tenemos : ( ( ( ( ( Luego , con lo cual la gráfica de la curva es una circunferencia centrada en el origen de radio 4. Notar ahora que el parámetro corresponde a la mitad del ángulo entre el semieje +y y el vector ⃗⃗⃗⃗⃗. La curva parametrizada por ( comienza en (0,4) y termina en ese mismo punto después de haber girado dos veces sobre la circunferencia en sentido anti horario. Este ejemplo presenta funciones vectoriales distintas, que tienen la misma gráfica. Es necesario distinguir entre una curva, que es un conjunto de puntos, y una curva paramétrica en la cual los puntos son obtenidos mediante una función vectorial, o sea siguiendo un camino, una dirección y un sentido determinados. En ese ejemplo, aunque las gráficas coinciden, las curvas paramétricas son diferentes. Si pensamos en la curva trazada por el movimiento de un objeto, su representación paramétrica nos dice en qué punto está el móvil en cada instante de tiempo, hacia donde va, y con qué velocidad y aceleración se mueve; mientras que la gráfica de la curva solo da información de los puntos por los que pasa el móvil. Ejemplo 7.2: Parametrización de un segmento. Determinar una función vectorial para el segmento rectilíneo orientado que va desde el punto ( hasta el punto ( Sabemos que una ecuación vectorial para el segmento que une el punto final del vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ con el punto final del vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ esta dada por: ( ( 47  Análisis Matemático II Se satisface que ( ( y que para los valores de t intermedios (entre 0 y 1) se obtienen los puntos del segmento entre y. La parametrización dada también se puede escribir de la siguiente forma: ( ( donde reconocemos el punto de referencia por donde pasa la recta y el vector director ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Tomando ( y ( ( ( ( ( ( [( ( ] ( ( En forma paramétrica se expresa como: { ( [ ] ( Ejemplo 7.3: Parametrización de la curva determinada por la intersección entre dos superficies. Considerar la curva determinada por la intersección entre la superficie cilíndrica dada por la ecuación ( (cilindro circular de eje z y radio 1) y la superficie plana dada por (. Encontrar una función vectorial que describa la curva intersección, e indicar el sentido asignado por la parametrización propuesta. A partir de la figura, notamos que la curva intersección C es una curva cerrada y tiene la forma de una elipse sobre el plano dado. 48  Análisis Matemático II Un punto cualquiera ( que está en la curva debe verificar simultáneamente ambas ecuaciones, dado que pertenece a ambas superficies a la vez: ,. Buscamos expresar en términos de un parámetro t de forma de verificar ambas ecuaciones. Vemos que si tomamos ( ( se satisface la ecuación del cilindro. Usando ahora la ecuación del plano tenemos que , se tiene que (. Así, una parametrizacion de la curva intersección C es: ( ( [ ] ( La ecuación de la curva escrita en forma paramétrica es: { ( [ ] ( Finalmente, el sentido en el cual se recorre la curva paramétrica C a medida que aumenta el parámetro t, de acuerdo a la parametrización dada, es sentido antihorario visto desde el semieje z positivo. Parametrización trivial de una curva en el plano que es la gráfica de una función Dada una función escalar de una variable (como las de Análisis Matemático I) ⊂ la gráfica de F es como ya sabemos, el conjunto de puntos {( ( }, que ubicados en el plano xy producen una curva. Podemos usar la variable x como parámetro (“trivial”), es decir que par , definimos ( luego ( (. Y tenemos ( ( ( como una función vectorial que parametriza (trivialmente) la curva que es gráfica de la función. Notar que esa función vectorial le asigna a la curva el sentido de recorrido de izquierda a derecha, pues es el sentido creciente del parámetro. Dado que el parámetro es x (la abscisa de los puntos que forman la curva), es común escribir ( ( ( ). Discuta la siguiente afirmación y de un ejemplo: Tomando como parámetro (esto es definiendo ( ) se obtiene un parametrización de la misma grafica pero recorrida en sentido inverso (de derecha a izquierda), se debe tener en cuenta que si [ ]entonces [ ]. Otro caso trivial es cuando los puntos de una curva satisfacen la ecuación de la forma ( para en un cierto intervalo ⊂ luego podemos parametrizarla trivialmente tomando a y como el parámtetro: ( ( (. ¿Cuál es el sentido asignado para la parametrización? Ejemplo 7.4: Dar una función vectorial que parametrice la gráfica de: a) ( b) ( a) Podemos usar la variable x como parámetro ( ( Así la función vectorial ( ( genera la curva correspondiente a ( , recorrida en el sentido de x creciente (de izquierda a derecha). 49  Análisis Matemático II b) Para describir la curva podemos usar la variable como parámetro ( ( Así la función vectorial ( ( genera la curva correspondiente a ( , recorrida en el sentido de y creciente (de abajo hacia arriba). Actividades: 1) Trace las siguientes curvas paramétricas en el plano xy, indicando el sentido del recorrido. En cada caso escriba la ecuación cartesiana correspondiente. a) ( ( [ ] b) ( ( [ ] ( c) { ( d) ( ( e) ( ( 2) Mencione cinco puntos que pertenezcan a la curva definida por la función vectorial ( ( ́ ́ ́ e indique el valor correspondiente del parámetro. 3) Analice las diferencias que hay entre las curvas descriptas por las tres maneras siguientes: a) { b) ( ( ( c) { ( ( 4) Considere el movimiento de dos objetos en el espacio, tales que en el tiempo t uno de los objetos esta en ( y el otro está en (. Discuta : a) ¿Se cruzan las trayectorias de estos objetos? Si es así, indique en qué punto lo hacen. b) ¿Chocan los objetos? Si es así, indique donde (en qué punto del espacio) y cuando (para que valor de t) lo hacen. Cálculo con funciones vectoriales Una vez definidas las funciones vectoriales necesitamos técnicas para analizarlas. Cuando para una función vectorial ( ( ( ( ( escribimos ( queremos decir que cuando t tiende hacia a, el vector ( se aproxima más y más al vector. Si escribimos ( queremos decir: ( ( ( ( ( ) ( Definición: El límite de una función vectorial ( ( ( ( ( cuando , se define como: 50  Análisis Matemático II ( ( ( ( ( ) ( ( ( ( Siempre que los limites que aparecen en esta expresión existan. Si alguno de los limites no existe, se dice que (. Ejemplo 7.5: Calcular ( Las tres funciones componentes son continuas (para todo t) de modo que sus límites se hallan por sustitución directa. ( ( ( Ejemplo 7.6: Hallar ( ) El límite de la tercera componente no existe. Por lo tanto, y aunque si existen los límites de las otras dos funciones coordenadas, el limite propuesto ni existe. Definición: Una función vectorial es continua en el número si: i. ( está definido. ii. ( existe. iii. ( (. Equivalentemente la función vectorial ( ( ( ( ( es continua en un número si y solo si las funciones coordenadas son continuas en.A menudo afirmamos que una función vectorial es continua en un número si ( (. Ejemplo 7.7: Investigar para que valores de t es continua la función vectorial ( ( ( ( Será continua cuando sus tres componentes lo sean. y son continuas para todo t y ( es continua para. Concluimos que ( es continua para. Definición: La derivada ( de una función vectorial ( se define como: ( ( ( en todo valor de t para el que ese límite existe. Si el limite existe para , decimos que es derivable en. Teorema: Si ( ( ( ( ( con derivables en un cierto valor de t, entonces ( es derivable en ese valor de t y su derivada viene dada por: ( ( ( ( (. Demostración: Aplicando la definición de la derivada de una función vectorial, se obtiene: 51  Análisis Matemático II ( ( ( [(( ( ( ( ) ( ( ( ( ] [( ( ( ( ( ( ( ] ( ( ( ( ( ( ( ) ( ( ( ( Propiedades: Si ( y ( son funciones vectoriales derivables, ( una función escalar derivable y una constante arbitraria. Entonces: i. ( ( ( ) ( ( ii. ( ( ) ( iii. ( ( ( ) ( ( ( ( iv. ( ( ( ) ( ( ( ( v. ( ( ( ( ( ( ( Las partes iii) iv) y v) son las reglas del producto para diversas clases del productos: el producto de una función vectorial por una escalar, el producto escalar y el producto vectorial. En los tres casos, la fórmula es análoga a la ya familiar para el producto de dos funciones escalares. Vamos a dar una interpretación geométrica importante de la derivada de una función vectorial. Para una función escalar, el valor de la derivada daba la pendiente de la recta tangente. Para una función vectorial ( , la derivada en es: ( ( ( ( ( El punto final del vector ( describe una curva C en. Si , el vector apunta en la misma dirección que ( (. Al tomar valores cada vez más pequeños ( ( ( ( de , tendera a (. Cuando , el vector tiende a un vector que es tangente a la curva C en el punto (. Llamaremos a ( el vector tangente a la curva C en el punto. El vector ( es paralelo a la recta tangente a la curva en y apunta en la dirección que marca la orientación de C. ¿Cómo cambiaría si 52  Análisis Matemático II Podemos pensar en como la trayectoria que describe una particula. Entonces podemos suponer:  continua.  Más aún podemos suponer que es una C1 – trayectoria. ( ( ( ( Vector derivado: Si pensamos que t representa el tiempo Representa el vector velocidad promedio. Vector velocidad, rapidez Sea [ ] , C1 trayectoria. El vector velocidad ⃗⃗⃗ ( en el instante t esta dado por ( y la rapidez de la partícula está dada por ( ‖ ( ‖ Definición: Definimos que una curva es suave si [ ] es C1 trayectoria y ( Decimos que una curva es suave a trozos si es unión de un número finito de curvas suaves. Si una curva es suave, ( se denomina vector tangente a la curva en y en este caso, existe la recta tangente a la curva en. La ecuación de la recta tangente a la curva definida por la trayectoria , [ ] , en ( esta dada por : ( ( ( Observación: La condición de suavidad asegura que la curva tiene recta tangente en cada punto y que el vector tangente varía con continuidad con el parámetro t. Definición: Dada una partícula moviéndose sobre una trayectoria ( , llamamos aceleración a la tasa de cambio del vector velocidad respecto del tiempo; luego ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗ ( (. Ley de Newton: Si sobre una partícula de masa m que se mueve sobre una trayectoria ( actúa una fuerza , entonces: ( ( ) (. Ejemplo 7.8: Dada ( √ , halle los vectores ⃗⃗⃗ ( y ( (queda como ejercicio). 53  Análisis Matemático II Definición: Se dice que la función vectorial ( es una primitiva de la función vectorial ( si ( ( Definición: Si ( es una primitiva de ( , la integral indefinida de ( se define como ∫ ( ( donde es un vector constante arbitrario. Notar que ∫ ( ∫( ( ( ( (∫ ( ∫ ( ∫ ( En palabras, una función vectorial se integra componente a componente. Definición: La integral definida de la función vectorial ( ( ( ( ( se define como ∫ ( ∫ ( ( ( ( ) (∫ ( ∫ ( ∫ ( ) Teorema: Si ( es una primitiva de ( en el intervalo [ ], entonces: ∫ ( ( ( La demostración queda como ejercicio. Actividades: 1) Hallar la integral definida o indefinida a) ∫( b) ∫ ( ) 2) Hallar la velocidad y la posición de un objeto en todo instante t sabiendo que su aceleración es ( ( , su velocidad inicial ( ( y su posición inicial ( ( 3) Hallar la fuerza que actúa sobe un objeto que se mueve por una trayectoria circular de radio b centrada en el origen con velocidad angular constante. 4) Un proyectil de 1kg de masa se lanza desde el suelo, hacia el este, a 200m/s con un ángulo de elevación. Sopla viento en dirección norte que ejerce sobre el proyectil una fuerza de 2 newtons. Hallar el lugar y la velocidad (rapidez) del impacto. 54