Системы счисления PDF

Раздел 2 Представление данных 1 Системы счисления Какие виды систем счисления известны?  Как люди научились считать? Какие системы счисления вы знаете?  Какая система счисления применяется...

Раздел 2 Представление данных 1 Системы счисления Какие виды систем счисления известны?  Как люди научились считать? Какие системы счисления вы знаете?  Какая система счисления применяется в компьютере?  Можно ли перевести число из одной системы счисления в другую? Новые знания Понятие «число» важно как в математике, так и в информатике. Число выражается символом или последовательностью символов некоторого ал- фавита. Такие символы называют цифрами. С понятием числа связано поня- тие «системы счисления». Система счисления – совокупность правил записи чисел с по- мощью определенного набора цифр. Все системы счисления древности и настоящего времени делятся на две большие группы – позиционные и непозиционные (схема 1). Системы счисления Позиционные Непозиционные В этой системе счисления значение В этой системе счисления значение цифры зависит от ее положения в цифры не зависит от ее положения числе. На сегодняшний день можно в числе. Эти системы можно привести огромное количество использовать для нумерации. В примеров таких счислений: 2-я, качестве примера можно привести 8-я, 10-я и т.д. римскую систему счисления. ы Схема 1. Системы счисления ас Непозиционные системы счисления Непозиционными системами счисления пользовались древние египтя- сп не, греки, римляне и другие народы. Среди непозиционных систем счис- ба ления наиболее распространена римская система счисления. Например, число 36 записывается следующим образом: XXXVI = 10 + 10 + 10 + 5 + 1 а п Недостатки непозиционных систем счисления: кiт При записи больших чисел каждый раз приходится добавлять новые ы знаки. т ма 32 Ал  Невозможно записывать дробные и отрицательные числа. Ввиду отсутствия алгоритма вычислений трудно выполнять ариф- метические действия. Позиционные системы счисления В позиционной системе счис­ления значение каждой цифры зави- сит от позиции этой цифры в записи числа. В настоящее время наиболее распространенными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. В каждой позиционной системе счисле- ния имеется определенное количество цифр – это основание системы счисления. В позиционной системе счисления значе- ние каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения в последовательности цифр, изображающих число. Рисунок 1. Арабские цифры Привычная нам система счисления на- зывается десятичной, она состоит из 10 араб ских цифр (рис. 1). Для записи цифры используются 10 цифр от 0 до 9-ти, основание – 10; в двоичной системе используются только цифры 0 и 1, основание – 2; восьмеричная система счисления состоит из восьми цифр, основание – 8; в шестнадцатеричной системе счисления используют- ся десять цифр десятичной системы и для оставшихся шести чисел буквы латинского алфавита, основание – 16 (таблица 1). Таблица 1 Системы счисления Наименование системы счисления Цифры системы счисления Двоичная 0,1 Восьмеричная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Десятичная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А(10), B(11), Шестнадцатеричная ы C(12), D(13), E(14), F(15) ас Десятичная система счисления сп Десятичная система является позиционной, так как значение цифр зависит от их положения в последовательности записи числа. Например, ба число 658 состоит из шести сотен, пяти десятков и восьми единиц. 658= 6*102+5*101+8*10 0 п Позиция цифры при записи числа называется разрядом. а Двоичная система счисления кiт В двоичной системе счисления «2» является основанием системы. ы В этой системе любое число записывается цифрами 0, 1 и называется т ма 33 Ал двоичным числом. Каждый разряд (каждую цифру) двоичного числа называют битом информации. 1011012 = 1 * 25 + 0 * 2 4 + 1 * 23 + 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 = 4510 Значимость двоичной системы счисления определяется тем, что пред- ставление любой информации в компьютере является двоичным. Недо- статок двоичной системы – необходимость записи большого количества знаков, а именно цифр – 0 и 1. Это затрудняет восприятие человеком двоич- ной системы счисления. Поэтому двоичная система используется компью- тером «для внутреннего использования». Для работы же человека с ком- пьютером выбирается система счисления с большими основаниями. Это восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Перевод и способы, облегчающие такой перевод между этими двумя системами счис- ления и двоичной системой, будут рассмотрены в следующих параграфах. Восьмеричная система счисления Восьмеричная система относится к позиционной системе счисления. В восьмеричной системе счисления количество цифр равно 8-ми. В этой системе наибольшая цифра 7. 714 8 = 7 * 82 + 1 * 81 + 4 * 80 = 46010 Шестнадцатеричная система счисления Для записи в шестнадцатеричной системе счисления используются десять цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 десятичной системы и для оставшихся шести цифр – 10, 11, 12, 13, 14, 15 – соответствующие заглавные буквы ла- тинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Поэтому в шестнадцатеричной систе- ме, например, возможна запись вида 3Е5А: 3Е5А16 = 3 * 163 + Е * 162 + 5 * 161 + А * 160 Для обозначения принадлежности числа к конкретной системе счисления внизу справа у числа записывается индекс той или иной системы счисления. Применение 1. Расположите числа 879, 3254 и 12354 по разрядам. 2. Переведите числа 11100112; 1010102; 111111102; 10001112 в десятич- ы ную систему счисления. 3. Переведите числа из восьмеричной системы счисления в десятичную: ас 438 = ?; 3258 = ?; 428 = ?; 7368= ?; 12358 = ? 4. Переведите числа из шестнадцатеричной системы счисления в деся- сп тичную: 4А316 =?; 3СВ16 =? ; F4316 =?; E3116 =?; 10D16 = ? ба Оценка п Оцените значение систем счисления в жизни человека. а 1. Что такое система счисления? кiт 2. Что такое позиционная система счисления? 3. Какие примеры непозиционной системы счисления вы можете при- ы вести? т ма 34 Ал Раздел 2 Представление данных Перевод чисел из одной системы 2 счисления в другую Как можно перевести целые числа десятичной системы счисления в дво- ичную и наоборот?  Как переводить числа из одной системы счисления в другую?  Для чего переводим числа из одной системы счисления в другую? Новые знания Существует несколько способов перевода чисел из одной системы счисления в другую. Из десятичной системы счисления – заданное чис- ло нужно делить на основание переводимой системы счисления. Напри- мер, при переводе из десятичной системы счисления в двоичную надо делить на 2. Алгоритм перевода из десятичной системы в двоичную: 1. Целое число десятичной систе- мы счисления делим на 2, запи- сываем остаток. 2. Если полученное частное боль- ше 2, то его берем вместо де- лимого и делим на 2 до тех пор, пока частное не станет равным 1. 3. Число в двоичной системе за- писывается как последователь- Рисунок 1 ность 1 и 0, начиная с последнего частного, и остатков от делений Рисунок 2 в обратном порядке (рис. 1, 2). 2510 =110012 Для перевода дробных чисел десятичной системы в двоичную приме- няется способ, показанный ниже. ы ас сп ба а п 0,62510 = 0,101 0,53210 = 0,1002 30,25 = 11110,012 кiт Как перевести число из двоичной системы счисления в десятичную? т ы ма 35 Ал  Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления записывается по формуле: an-1 pn-1 + an-2 pn-2 +... + a1 p1 + a0 p0 + a -1 p -1 +... + a -m p -m где а – это коэффициенты, р – основание СС и n – разряд (позиция) цифры в числе Пример: Перевод числа 1111001102 из двоичной системы счисления в десятичную. Запишем цифры заданного числа слева направо в виде суммы произве- дений степеней основания двоичной системы счисления на соответствую- щие цифры в разряде числа. Разряды считаются, начиная с нулевого, т.е. в первом слагаемом возводим 2 в степень на единицу меньше числа разря- дов. Например, если число разрядов двоичного числа равно 9, то степень числа 2 в выражении начинается с 8-ми. 1111001102 = 1 · 28 + 1 · 27 + 1 · 26 + 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + + 1 · 20 = 256 + 128 + 64 + 0 + 0 + 32 + 4 + 2 + 0 = 48610 Пример: Переведите дробное число 1101,112 из двоичной системы в де- сятичную. 1 1101,112 = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 +1 · 2-1 + 1 · 2-2 = 8 + 4 + 0 + 1 + 2 + + 1 =13,7510 4 Применение 1. В классе 1000112% мальчиков и 11012 девочек. Сколько учеников в классе? 2. У меня 100 младших братьев. Одному – 1000, а второму – 1111 лет. Старший из них учится в 1001 классе. Возможно ли такое? Объясните. 3. Переведите следующие числа из десятичной системы счисления в двоичную. 1) 29; 2) 36; 3) 74; 4) 46; 5) 124; 6) 37; 7) 128; 8) 64; 9) 245; 10) 189. 4. Переведите числа, приведенные ниже, из двоичной системы счисле- ния в десятичную. 1) 10000 ; 2) 111011; 3) 10011; 4) 111111; 5) 110011; 6) 111001. 7) 100010,01; 8) 111100,10; 9) 1010,1110; 10) 100011,111. ы Синтез ас Составьте две задачи, связанные с числами в двоичной системе счисле- сп ния, и предложите пути их решения. ба Оценка п Оцените роль систем счисления в развитии компьютерной техники. а 1. Какие вы можете привести примеры позиционной системы счисления? кiт 2. Как переводятся числа из десятичной системы в двоичную? 3. Расскажите алгоритм перевода из двоичной системы счисления в ы десятичную. т ма 36 Ал Раздел 2 представление данных Перевод из десятичной в восьмеричную 3 и шестнадцатеричную системы счисления как перевести из десятичной системы счисления в восьмеричную и шест- надцатеричную системы и наоборот?  почему используют именно восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления наряду с двоичной (а не троичную и не семеричную, например)?  как вы думаете, в чем причина использования восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в компьютере? Новые знания Работая с цифровыми устройствами и на компьютере, вы встречали набор символов типа 9EА. Этот набор символов похож на шифр. Но это просто число, только представленное в шестнадцатеричной системе счисления. существуют свои трудности в исполь- зовании двоичной системы счисления в компьютере. при использовании боль- ших чисел в двоичной системе после- довательность из цифр 0 и 1 получается слишком длинной. В таких случаях эффек- тивно использование шестнадцатеричной системы счисления. Шестнадцатеричная система счисления используется при записи кодов ошибок. Эти ошибки возникают во Рисунок 1. представления время работы различных программных про- цветовой палитры дуктов. также эта система применяется для в шестнадцатеричная системе представления цветовой палитры (рис. 1). перевод чисел из одной системы счисления в другую осуществляется несколькими способами. Например, если переводим десятичное число в восьмеричное и шестнадцатеричное, то его делим, соответственно, на ы 8 и 16 (рис. 2 и 3). ас перевод числа из десятичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную. сп ба а п кiт ы Рисунок 2 Рисунок 3 т ма 37 Ал  31510 = 4738 = 13В16 примечание: 1110 = В16 Здесь показан прием пе- ревода дробных чисел деся- тичной системы счисления в восьмеричную и шестнад- цатеричную. В итоге: 0,187510 = 0,14 8 = 0,316 как выполнить обратный перевод чисел 8-й и 16-й систем счисления в десятичную? Для перевода из любой системы счисления в десятичную используется следующая формула. an-1 pn-1 + an-2 pn-2 +... + a1 p1 + a0 + a -1 p -1 +... + a -m p -m где Р – основание системы счисления, а – цифра в числе, n – количество цифр целой части числа, m – количество цифр дробной части числа. при переводе чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную систему и обратно используется тот же способ, что и при переводе из двоичной в десятичную. Разница в том, что вместо основания 2 надо использовать основания 8 и 16. Задание: переведите числа восьмеричной системы 3158 и шест- надцатеричной системы 31516 в десятичную систему счисления. Таблица 1 решение: 3158 = 3 · 82 + 1 · 81 + 5 · 80 = 20510 Соответствие 31516 = 3 · 162 + 1 · 161 + 5 · 80 = 78910 систем счисления ы Двоичная Восьмеричная Перевод чисел двоичной системы в 8-ю ас система система и 16-ю системы счисления 000 0 сп познакомимся с таблицами соответ- 001 1 ствия двоичной и восьмеричной (табл.1) а ба 010 2 также шестнадцатеричной (табл. 2) и двоич- 011 3 ной систем счисления. Остановимся на осо- 100 4 п бенностях использования этих таблиц. так а как 23 = 8, то необходимо поделить двоичное 101 5 кiт число на группы по три цифры при переводе 110 6 из двоичной системы счисления в восьме- 111 7 ы ричную систему. т ма 38 Ал  по три Рисунок 4 Например, рассмотрим чис- Таблица 2 ло 247 восьмеричной системы Соответствие значений счисления. В двоичной системе различных систем счисления счисления это число 101001112. Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная Как видно, при разделении система система система числа 101001112 на группы по три разряда, получается три группы 0000 0 0 в виде 10 100 111. В первой 0001 1 1 группе не хватает одной циф- 0010 2 2 ры. Вместо недостающей циф- 0011 3 3 ры добавляем цифру 0 (рис. 4). 0100 4 4 При переводе двоичного чис- 0101 5 5 ла в восьмеричную систему 0110 6 6 счисления разбиваем по три 0111 7 7 цифры с конца числа, спереди 1000 10 8 можно дополнить нулями, они незначащие. 1001 11 9 Так как 24 = 16, то для пе- 1010 12 A ревода числа двоичной сис- 1011 13 B темы счисления в шестнад- 1100 14 C цатеричную данные табл. 2 ис- 1101 15 D пользуем, как показано на рис. 5, 1110 16 E то есть разделяем в группы по 1111 17 F четыре разряда. ы ас сп ба по четыре (тетрады) а п кiт ы Рисунок 5 т ма 39 Ал  Применение 1. Переведите следующие числа из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. 1) 219 2) 136 3) 79 4) 80 5) 1024 6) 307 7) 3128 8) 64 9) 120 10) 109 2. Переведите следующие числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. 1) 2012 2) 736 3) 729 4) 380 5) 1024 6) 237 7) 428 8) 643 9) 520 10) 21 3. Переведите числа из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. 1) 10010 2) 10011011 3) 11011 4)110111 5) 11110011 6)10101001 4. Переведите числа из двоичной системы счисления в шестнадцатерич- ную систему счисления. 1) 10111010 2) 1110011011 3) 1111011 4) 1100011 5) 11110011 6)1011101001 5. Переведите заданные числа в двоичную систему счисления. 1) 258 2) 768 3)172 8 4) 3810 5) 108 6) 2316 7) 12816 8) 6A3816 9) 15E16 10) 4116 1. Как выполняется перевод числа из десятичной системы счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную и обратно? 2. Для чего применяется в компьютере шестнадцатеричная система счисления? 3. Разъясните формулы перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления. 4. В чем заключается метод перевода чисел из одной системы счисления в другую с помощью соответствующих таблиц? ы ас сп ба а п кiт т ы ма 40 Ал