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Tema 3: Ruido y distorsión en sistemas electrónicos Prof.: Dr.-Ing. Saúl Guadamuz Tecnológico de Costa Rica Escuela de Ingenierı́a Electrónica II Semestre 2024 EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión 1 / 87 Contenido 1 Sistemas lineales y ruido 2 Modelos estocásticos 3 Distorsión en sistemas electrónicos 4 Referencias EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión 2 / 87 Resumen 1 Sistemas lineales y ruido 2 Modelos estocásticos 3 Distorsión en sistemas electrónicos 4 Referencias EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión 3 / 87 Ruido El término ruido se usa de forma genérica para designar ondas electromagnéticas que entorpecen la transmisión y procesamiento de sañales en los sistemas de comunicación. Tres de sus caracterı́sticas: i) es un fenómeno siempre presente. ii) es un fenómeno indeseable. iii) es un fenómeno sobre el que se tiene un control incompleto. EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Ruido 4 / 87 Fuentes de ruido Externas al sistema: EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Ruido 5 / 87 Fuentes de ruido Externas al sistema: EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Ruido 5 / 87 Fuentes de ruido Externas al sistema: EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Ruido 5 / 87 Fuentes de ruido Externas al sistema: Internas al sistema: cambios de material, cambios de posición de componentes, fluctuaciones espontáneas de voltaje/corriente en los circuitos. Ruido shot. Ruido térmico. Ruido flicker (transistores, 1/f ). Ruido burst (semiconductores, 1/f 2 ). EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Ruido 5 / 87 Colores de ruido De acuerdo con la rama de estudio existen otros clores de ruido dependiendo de la distribución del espectro de potencia, la potencia se concentra en la parte baja del espectro su color tiende al rojo, de lo contrario al violeta. Escuche los colores del ruido EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Ruido 6 / 87 Ruido blanco (1) Es el ruido descrito por una densidad de potencia que tiende a ser constante para todas las frecuencias, es decir, dicho espectro de potencia es plano y contiene todas las componentes de frecuencia en igual proporción de potencia... se denomina “ruido blanco” (White Noise) en analogı́a con la luz blanca. EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Ruido 7 / 87 Ruido blanco (2) El comportamiento del ruido blanco se aproxima con una densidad espectral de potencia unilateral constante de N0 W/Hz, ∀ f > 0. SW (f ) N0 f Si se utiliza un modelo bilateral, la densidad de potencia ahora es N0 SW (f ) = , ∀f (1) 2 EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Ruido 8 / 87 Ruido blanco (3) SW (f ) SW (f ) N0 N0 2 f f Cuya función de autocorrelación es: RW (τ ) N0 δ(τ ) 2 τ EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Ruido 9 / 87 Ruido blanco (4) SW (f ) N0 2 f Es fácil mostrar (ver Stremler p. 189) que el ruido blanco, poseyendo un ancho de banda infinito, no puede ser aplicado rigurosamente a ningún sistema real, por lo que en la práctica se habla de ruido blanco de banda limitada o ruido blanco de banda angosta (más sobre esto cuando hablemos de los modelos estocásticos de ruido). EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Ruido 10 / 87 WN de banda limitada Puesto que para cualquier sistema fı́sico |B| < ∞, una señal de ruido con N0 /2 = cte ∀f ∈ B, se percibirá como si fuera ruido blanco, i.e., dentro del rango de operación del sistema, la potencia de ruido será independiente de la frecuencia de operación. Supónga que una señal de ruido n(t) con PSD N0 /2 opera sobre un ancho de banda |B|: Potencia del ruido es Z B N0 Pn = df, (2) −B 2 La tensión cuadrática media del ruido es E[n2 (t)] = n2 (t) = RPn = N0 RB [V 2 ], (3) La corriente cuadrática media del ruido es n2 (t) = Pn /R = N0 GB [A2 ], (4) EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Ruido 11 / 87 WN a través de un LTI (1) Si se retoma el razonamiento con que se introdujo la PSD, este se puede seguir para la transmisión de un espectro de potencia a traves de un LTI: Figura: Señal f (t) (a) y su versión truncada fT (t) (b). EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Ruido 12 / 87 WN a través de un LTI (2) Si se aplica la función truncada a un LTI con respuesta de frecuencia H(f ), el espectro de salida será: LTI f (t) g(t) H(f ) = F {h(t)} GT (f ) ≈ FT (f )H(f ) por lo que la PSD de salida serı́a: |FT (f )H(f )|2 Sg (f ) = lı́m T →∞ T |FT (f )|2 = lı́m |H(f )|2 T →∞ T = Sf (f )|H(f )|2 (5) EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Ruido 13 / 87 WN a través de un LTI (3) EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Ruido 14 / 87 WN a través de un LTI (4) Si el LTI se somete a señales de ruido f (t) = ni (t), g(t) = no (t) y Sno (f ) = |H(f )|2 Sni (f ); entonces: Z ∞ n2o (t) = Sno (f ) df (6) −∞ que para ruido blanco (unilateral) se reduce a: Z ∞ n2o (t) = N0 |H(f )|2 df (7) 0 EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Ruido 15 / 87 Ejemplo: Ruido blanco (1) Ejemplo Suponga que ruido blanco Gaussiano w(t) con promedio 0 y PSD N0 /2 se aplica a un filtro pasa-baja ideal de ancho de banda B y amplitud 1. a) Determine y bosqueje la PSD del ruido a la salida del filtro. b) ¿A qué frecuencia se deberı́a muestrear n(t) para que las muestras sean estadı́sticamente independientes (no haya correlación) entre ellas? EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Ruido 16 / 87 Ejemplo: Ruido blanco (1) Ejemplo Suponga que el mismo ruido blanco w(t) se aplica a un filtro pasa-baja RC. a) Determine y bosqueje la PSD del ruido a la salida del filtro. b) ¿A qué frecuencia se deberı́a muestrear n(t) para que las muestras sean estadı́sticamente independientes (no haya correlación) entre ellas? EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Ruido 17 / 87 Ruido térmico (1) Siempre presente ∀ T > 0. De consideraciones termodinámicas y de la mecánica cuántica, la PSD de una resistencia: 2h|f | Sn (f ) = h|f | (8) e kT − 1 donde T es la temperatura en [K], k es la constante de Boltzmann 1,38 × 10−23 J/K y h es la constante de Planck 6,625 × 10−34 Js. kT h|f | h|f | A frecuencias de comunicaciones >> f por lo que en (8) e kT ≈ 1 + y entonces: h kT 2h|f | Sn (f ) = ≈ 2kT, ∀ |f | G(f )SNs (f ) y entonces F (f ) > 1 La figura de ruido se suele expresar de forma logarı́tmica: F (f )dB = 10 log(F ) (15) EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión WN en LTI 28 / 87 Figura de ruido (4) △ ! como F es una función de la frecuencia, también se le llama figura de ruido puntual. Se pude ampliar el concepto a una figura de ruido promedio: Z ∞ SNo (f ) df −∞ F0 = Z ∞ (16) G(f )SNs (f ) df −∞ △ ! Si R(f ) = cte y G(f ) = rect(f ), entonces F (f ) = cte = F0 (17) EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión WN en LTI 29 / 87 Ejemplo: Figura de ruido (1) Ejemplo La entrada de una red de dos puertos con ganancia de 10 dB y una figura de ruido constante de 8 dB, se conecta a una resistencia que genera una PSD SN s (f ) = kTo , donde To = 290 K. ¿Cuál es la densidad espectral de ruido a la salida de la red de dos puertos? EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión WN en LTI 30 / 87 Temperatura equivalente de ruido (1) Si se tienen varios dispositivos de bajo ruido, es difı́cil compararlos ya que F ≈ 1 para todos. Para definir una métrica diferente, se supone un dispositivo “ruidoso” que está acoplado a 444 CHAPTER 11 ! SYSTEM AND NOISE CALCULATIONS una resistencia también “ruidosa”: Linear Rs Rin = Rs two-port device: 4kTRsBN noise figure F FIGURE 11.5 Linear tw Available Available device matched to the int noise power noise power resistance of a source con Ns = kTBN Nl = GNs + Nd the input. EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión WN en LTI 31 / 87 resistance is matched to the internal resistance of the source as shown in F Temperatura equivalente de ruido (2) La potencia de ruido disponible en la entrada es: E[VT2N ] 4kT Rs BN Ps = = = kT BN (18) 4Rs 4Rs La potencia de ruido del dispositivo, se puede modelar como: Pd = GkTe BN (19) donde Te es la temperatura equivalente de ruido del dispositivo. EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión WN en LTI 32 / 87 Temperatura equivalente de ruido (3) La potencia de ruido disponible en la salida, tiene dos contribuciones: Pl = GPs + Pd = GkT BN + GkTe BN = GkBN (T + Te ) (20) Por lo que de (14), Pl GkBN (T + Te ) T + Te F = = = GPs GkT BN T ⇒ Te = T (F − 1) (21) EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión WN en LTI 33 / 87 Temperatura equivalente de ruido (4) △ ! Una red de dos puertos con temperatura equivalente de ruido T e en la entrada, produce una potencia de ruido disponible (en la entrada) de Pa = kTe BN y por definición Pa = N0 BN , entonces, N0 = kTe (22) Por lo que la PSD depende solamente de k y de la temperatura de ruido. EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión WN en LTI 34 / 87 Conexiones en cascada (1) Considerando M dispositivos de dospuertos conectados en cascada: F1 F2 FM Ps1 Te1 Po1 = Ps2 Te2... TeM G1 G2 GM A la salida de la primera etapa: Po1 = [Ps1 + Ps1 (F1 − 1)]G1 = F1 Ps1 G1 (23) A la salida de la segunda etapa: Po2 = [Ps2 + Ps1 (F2 − 1)]G2 = [Po1 + Ps1 (F2 − 1)]G2 = F1 Ps1 G1 G2 + (F2 − 1)Ps1 G2 (24) EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión WN en LTI 35 / 87 Conexiones en cascada (2) A la salida de la tercera etapa: Po3 = F1 Ps1 G1 G2 G3 + (F2 − 1)Ps1 G2 G3 + (F3 − 1)Ps1 G3 (25) Figura de ruido de todo el sistema La razón de la potencia de ruido de salida PoM a la potencia de ruido de salida si las etapas no contribuyeran al ruido (F1 = F2 = · · · = FM = 1). F1 Ps1 G1 G2 G3 + (F2 − 1)Ps1 G2 G3 + (F3 − 1)Ps1 G3 + · · · F = Ps1 G1 G2 G3 · · · (F2 − 1) (F3 − 1) = F1 + + +... (26) G1 G1 G2 EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión WN en LTI 36 / 87 Conexiones en cascada (3) En términos de la temperatura de ruido: Te2 Te3 Te = Te1 + + +... (27) G1 G1 G 2 EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión WN en LTI 37 / 87 Conexiones en cascada (4) △ ! Si G1 ↑, la figura de ruido total es dominada por la figura de ruido de la primera etapa. Si G1 ↑, Te ≈ Te1. Idealemente, la primera etapa debe tener G1 ↑ y Te1 ↓: amplificador de bajo ruido (LNA). EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión WN en LTI 38 / 87 Receptor de teléfono celular EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión WN en LTI 39 / 87 Receptor de antena 5G EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión WN en LTI 40 / 87 Ejemplo: Conexión en cascada (1) Ejemplo Un receptor satelital consiste en una antena con temperatura de ruido de 50 K, seguida por un LNA con ganancia de 30 dB y temperatura de ruido de 70 K que, a su vez, es seguido por un PA (power amplifier) con ganancia 40 dB y temperatura de ruido de 1500 K. ¿Cuál es la temperatura de ruido del sistema? EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión WN en LTI 41 / 87 Resumen 1 Sistemas lineales y ruido 2 Modelos estocásticos 3 Distorsión en sistemas electrónicos 4 Referencias EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión 42 / 87 Ruido de banda angosta ¿Cómo se introduce el efecto del ruido en un sistema de comunicaciones? El paso fundamental es caracterizar dicho ruido y modelarlo de forma que se pueda incorporar a una señal ideal sin ruido. El tipo de ruido que generalmente se considera es el llamado ruido de banda angosta, es decir, un ruido que sin importar su ancho de banda original, es reducido por el receptor a una banda delimitada alrededor de una frecuencia definida. EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Modelado 43 / 87 Ruido de banda angosta (1) Que de manera canónica es n(t) = nI (t) cos(2πfc t) − nQ (t) sin(2πfc t) (28) EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Modelado 44 / 87 Ruido de banda angosta (2) Caracterı́sticas del ruido n(t) y sus componentes, Ambas componentes tienen valor promedio cero. Si el ruido es Gaussiano, sus componentes son conjuntamente Gaussianas. Si el ruido es estacionario, sus componentes son conjuntamente estacionarias. Las componentes tienen la misma densidad espectral de ruido:  SN (f − fc ) + SN (f + fc ), −B ≤ f ≤ B SNI (f ) = SNQ (f ) = 0, de otra forma Las componentes tienen la misma varianza del ruido. Si el ruido es Gaussiano y la magnitud de su espectro es simétrico, las componentes son estadı́sticamente independientes. EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Modelado 45 / 87 Ruido de banda angosta (3) Una forma alternativa de representar (28) es en términos de su envolvente y fase, n(t) = r(t) cos[2πfc t + ψ(t)] (29) q r(t) = n2I (t) + n2Q (t) (30)   nQ (t) ψ(t) = arctan (31) nI (t) EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Modelado 46 / 87 Distribución de ruido (1) Suponiendo que las componentes en fase y cuadratura se pueden representar como VAs de promedio 0 y varianza σ 2 , la función de probabilidad conjunta es   n2I + n2Q  −  1 2σ 2  fNI ,NQ (nI , nQ ) = e (32) 2πσ 2 o en términos de la envolvente y la fase r2   − r  2σ 2 fR,Ψ (r, ψ) = e (33) 2πσ 2 EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Modelado 47 / 87 Distribución de ruido (2) Notese que en (33) la pdf es independiente del ángulo ψ, esto permite separar la pdf en dos: una para la fase, distribuı́da uniformemente entre 0 y 2π, ( 1 , 0 ≤ ψ ≤ 2π fΨ (ψ) = 2π (34) 0, otra parte y otra para la envolvente,  r2      − r  2σ 2 fR (r) = e , r≥0 (35)   σ 2  0, otra parte que se pueden volver a combinar multiplicándolas. EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Modelado 48 / 87 Distribución Rayleigh La pdf de la envolvente, es un tipo conocido de distribución llamada distribución Rayleigh. Haciendo v = r/σ y fV (v) = σfR (r), se puede escribir la distribución Rayleigh en su forma normalizada,   v  − fV (v) = ve 2 , v≥0 (36)  0, otra parte EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Modelado 49 / 87 Distribución Rice Un tipo de pdf más general es la llamada distribución de Rice que, dependiendo de si la relación señal a ruido es alta o baja, se aproxima a las distribuciones Gaussiana o Rayleigh respectivamente. EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Modelado 50 / 87 Modelo estocástico (1) El modelar el ruido con este tipo de distribuciones es un acercamiento llamado modelo estocástico del canal de comunicaciones y toma en cuenta cuando una antena recibe una señal de forma directa o indirecta por reflexión, refracción y dispersión. x(t) = s(t) + n(t) (37) EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Modelo estocástico 51 / 87 Modelo estocástico (2) El modelo estocástico incluye introduce el hecho de que la interferencia de una misma señal con versiones de ella misma es aveces constructiva y a veces destructiva. Se utiliza el modelo de una distribución de Rayleigh cuando no existe lı́nea vista al receptor y una distribución de Rice cuando sı́ la hay. EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Modelo estocástico 52 / 87 Modelo estocástico (3) En el libro The Mobile Radio Propagation Channel de J. D. Parsons, se presenta una 194 buildings. Simply put, there is no “ line-of-sight” path to the base station. Instead, ra comparación entre la potencia recibida en un ambiente PROBABILITY THEORY AND urbano gation takes place y way mainly by lo que predice of scattering from su modelo the surfaces of thede surrounding la distribución Rayleigh. RANDOM PROCESSES and by diffraction over and/or around them, as illustrated in Figure 5.30. The impo to note from Figure 5.30 is that energy reac Direction ceiving antenna via more than one path. Ac to elevated we speak of a multipath phenomenon in th base station ious incoming radio waves reach their d from different directions and with diffe Obstructed line-of-sight delays. To understand the nature of the phenomenon, consider first a “ static” environment involving a stationary recei transmitted signal that consists of a narrow nal (e.g., unmodulated sinusoidal carrier) assumed that two attenuated versions of Building mitted signal arrive sequentially at the rec effect of the differential time delay is to in relative phase shift between the two comp FIGURE 5.30 Illustrating the mechanism of radio propagation in urban the received signal. We may then identi areas. (From Parsons, 1992.) two extreme cases that can arise: EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Modelo estocástico 53 / 87 The relative phase shift is zero, in which case the two components add tively, as illustrated in Figure 5.31a.  random variable with a Rayleigh distribution. In Figure 5.33, we plot the Rayleigh distribution on a log-scale for comparison with the experimental measurements of signal power shown in Figure 5.32. From inspection of Figure 5.32, the median power level appears to be about -73 dBm. As a rough approximation , the signal drops 10 dB below this level, that is, below - 83 dBm, about Modelo estocástico (4) that a Rayleigh 10% of the time. From the theoretical curve we find that the probability faded signal is 10 dB or more below the rms value is 10 percent, thus agreeing with the measurements. The signal envelope of Figure 5.32 drops 20 dB below the median level Se observa que el promedio much and , from less often de curve the theoreticales la potencia , this situationde alrededor −73 should onlydBm occur 1 percent y cae 10 dB, es decir, a of the time. This theoretical result agrees qualitatively with the observations. −83 dBm aproximadamente un 10 % de las ocasiones. -60 E m °CD -70 Q. O Cl) > C CD -80 c OJD TD CD > ® o -90 CD cn -100 0 5 10 15 20 Distance in meters FIGURE 5.32 Experimental record of received signal envelope in an urban area. (From Parsons, 1992.) EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Modelo estocástico 54 / 87 Modelo estocástico (5) En la curva de la cdf de Rayleigh, se observa que la probabilidad de que la amplitud de la señal caiga en 10 dB es de aproximadamente un 10 %, coincidiendo con las mediciones experimentales. 196 ° io- t ===== 4 i= ===== l ===== PROBABILITY THEORY AND T i r 7 ^===== l====== 4=====^r " i r i T T -Jn1 r 7 -+I r i T " t -t 1- 1 h 4 RANDOM PROCESSES ' 1 L 1 J. -I J. L 1 1i- I I I I I q i | i i 1i i i I r i I T i lO 1 ” i L 1 i _il. i L J i 1 i J i i L ± ± 4 A 4 d J -i -4 t L 4- (- -i 4 4 — J -4 I i- 4 4- d a 4 4 t i- 4 4- - t 4 4 4 Q. 1 J L i 4 J L 1 I I. I l l l n co I I i I I i I I I I i r--\I I i — i I I I I i I I i I I i i i i i i i i i o icr2 r 4. 4 4 - zrH. r 4. T 4 h - r 4. Q. T r r T T r 1 r r cu T l r 7 r 1 r T > T 1 r T T r r T CO 4 4 tj 4 4 4 -.LI- 4 1 J. i L d 1 3 I i I I E i I i I I T r T r i T i i i i i i o icr3 L J I I L J _ I 1 J I - £ £:£:££ £4 zztzz —- — H -1 U £ 4 4 I 1- 4- 4 4 - 4 1 J. L. -Li L J L 1 i I I I -4 I 1 I — I I I I I 4 I I I [ I I I I I icr4 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 Amplitude R/ Rrm ( dB) FIGURE 5.33 Rayleigh fading distribution function. EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I AUTOCORRELATION Ruido &OF ENVELOPE OF Distorsión Modelo estocástico 55 / 87 FADED NARROWBAND SIGNALS If the radio receiver is moving, then the fading varies with time as well, and the fading Resumen 1 Sistemas lineales y ruido 2 Modelos estocásticos 3 Distorsión en sistemas electrónicos 4 Referencias EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión 56 / 87 Sistema Un sistema transforma la señal de entrada x(t) en la señal de salida y(t): y(t) = T [x(t)] donde el operador T [·] denota la transformación hecha a la señal por el sistema. T x(t) y(t) EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Clasificación de sistemas 57 / 87 Lineales y no lineales Con y1 (t) = T [x1 (t)] y y2 (t) = T [x2 (t)], el sistema se dice aditivo si y1 (t) + y2 (t) = T [x1 (t) + x2 (t)] y se dice homogéneo si αy(t) = T [αx(t)] Sistema lineal El sistema es lineal si es tanto aditivo como homogéneo, lo cual se sintetiza con n " n # X X αi yi (t) = T αi xi (t) i=1 i=1 para n entradas diferentes con yi = T [xi (t)]. De lo contrario el sistema es no lineal. EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Clasificación de sistemas 58 / 87 Invariantes en el tiempo y variantes en el tiempo Sistema invariante Un sistema es invariante en el tiempo si y(t) = T [x(t)] ⇒ y(t − td ) = T [x(t − td )] De lo contrario el sistema es variante en el tiempo. EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Clasificación de sistemas 59 / 87 Causales y no causales Sistema causal Un sistema es causal si su salida en cualquier momento t0 depende de la entrada en momentos previos a t0. y(t0 ) = T [x(t)] : t ≤ t0 De lo contrario el sistema es no causal. Causalidad de sistemas LTI Una condición necesaria y suficiente para que un sistema lineal e invariante en el tiempo (llamados LTI) sea causal, es que su respuesta al impulso sea una señal causal. EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Clasificación de sistemas 60 / 87 Sistemas LTI Para un sistema LTI con respuesta h(t) ante una entrada δ(t) entonces: h(t) es la respuesta al impulso del sistema. H(jω) = F {h(t)} es la respuesta en frecuencia del sistema. H(s) = L {h(t)} es la función de transferencia del sistema. y se cumple: y(t) = h(t) ∗ x(t) ←−◦ ←−◦ ←−◦ Y (s) = H(s)X(s) En comunicaciones se utiliza H(jω) o H(f ) mas comúnmente, y puesto que las señales en cuestión son reales, la respuesta de frecuencia presenta simetrı́a hermı́tica. EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Clasificación de sistemas 61 / 87 TX sin distorsión Sistema sin distorsión 1 Para una transmisión sin distorsión, se Amplitud requiere que la señal de salida sea de la misma forma que la señal de entrada, es 0 decir, se admite: un cambio uniforme en la amplitud y −1 un atraso en la fase. 0 2 4 6 8 10 Tiempo Señal de entrada Señal de salida EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Distorsión 62 / 87 Requistos temporales Dada una señal de entrada x(t) a un LTI, no hay distorsión en la transmisión si en la señal de salida y(t) se cumple que: y(t) = αx(t − td ), (38) donde α (generalmente ⩽ 1) y td (siempre > 0) son constantes. Es decir, la salida difiere de la entrada en un factor de escala y un retardo finito. EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Distorsión 63 / 87 Requisitos espectrales (1) Examinando (38) en el dominio de la frecuencia: Y (f ) = F {αx(t − td )} , −j2πf td = αe | {z } X(f ) (39) H(f ) Por lo que la condición para una transmisión sin distorsión en términos de la respuesta en frecuencia del sistema, H(f ) = |H(f )|ejθH (f ) , es: |H(f )| = α, θH (f ) = −2πf td ± 2kπ (40) EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Distorsión 64 / 87 Requisitos espectrales (2) De (40) se observa que td = cte implica que si f ↑ entonces θH (f ) ↓ para que todas las armónicas “lleguen” a la salida del sistema con la fase correcta, i.e., el desplazamiento de fase debe ser lineal con la frecuencia. H(f ) |H(f )| f θH (f ) EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Distorsión 65 / 87 Tipos de distorsión Distorsión Multi Lineal No lineal trayectoria Amplitud Fase THD IMD Canal con desvanecimiento EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Distorsión 66 / 87 Distorsión lineal Se presenta para señales pequeñas: las componentes de una señal se ven afectadas de forma lineal por alguna constante, pero en proporciones distintas para cada componente de frecuencia. Amplitud: las componentes de frecuencia de salida no están en proporción correcta ya que, en realidad, |H(jω)| no es constante con la frecuencia, ∴ las componentes de frecuencia que se suponı́a debı́an ser multiplicadas por el mismo factor, son multiplicadas por una constante diferente dependiendo de su frecuencia... ∴ la onda reconstruida en la salida del sistema es ligeramente distinta a la original. Fase: un corrimiento de fase que no es una función lineal de la frecuencia ocasiona un retardo distinto para cada componente de frecuencia de la señal. Si el corrimiento de fase no es lineal, las diferentes componentes de frecuencia “llegan” a la salida a destiempo y se da la distorsión de fase. EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Distorsión 67 / 87 Ejemplo: DL (1) Ejemplo Considere un filtro pasabajas cuya función de transferencia está dada por  (1 + α cos 2πf T )e−j2πf td |f | < W H(f ) = 0 |f | > W Si un pulso x(t) de banda limitada W se aplica a la entrada del filtro encuentre la salida y(t). EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Distorsión 68 / 87 Ejemplo: DL (2) Solución: |H(f )| 1+α 1 x(t) −W 0 W f θH (f ) = −2πf td 0 t (a) (b) EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Distorsión 69 / 87 Ejemplo: DL (3) y(t) 0 td t td − T td + T (c) EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Distorsión 70 / 87 Distorsión no lineal Supónga que la salida de un sistema y(t) está relacionada con su entrada x(t) de alguna forma no lineal que puede expresarse como: y(t) = a0 + a1 x(t) + a2 x2 (t) + a3 x3 (t) +... + ak xk (t) +... (41) En los términos x2 (t) y superiores hay una multiplicación de la función con sı́ misma, lo que en la frecuencia se traduce (demuéstrelo) como: X Y (f ) = a0 δ(f ) + ak X(f ) ⊛ X(f ) ⊛... ⊛ X(f ) (42) | {z } k k−1 convoluciones EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Distorsión 71 / 87 DNL: consecuencias W del sistema incrementado por un factor de k para k − 1 convoluciones repetidas, ∴ la señal de salida contendrá componentes de frecuencia que no contenı́a la señal de entrada, problema doble: distorsión e interferencia (inter-canal), problema para sistemas FDM pero no para sistemas TDM, fenómeno conocido como dispersión del espectro. EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Distorsión 72 / 87 Ejemplo: DNL (1) Ejemplo Una señal modulada g(t) cos ωc t, donde ωc = 2πfc , se transmite a través de un canal cuya relación entrada-salida está dada por: y(t) = a1 x(t) + a2 x2 (t) + a3 x3 (t) (43) determine la señal recibida y comente. EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Distorsión 73 / 87 Ejemplo: DNL (2) Solución: EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Distorsión 74 / 87 Ejemplo: DNL (3) EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Distorsión 75 / 87 DNL: distorsión total armónica (1) THD (Total harmonic distortion). Suponga un sistema con una relación entrada-salida: y(t) = a1 x(t) + a2 x2 (t) + a3 x3 (t), (44) al que se aplica x(t) = A cos ω0 t, donde ω0 = 2πf0 , (prueba de un tono); de acuerdo con (44), la señal de salida será: y(t) = a1 A cos ω0 t + a2 A2 cos2 ω0 t + a3 A3 cos3 ω0 t,   a 2 A2 3a3 A3 = + a1 A + cos ω0 t 2 4 a 2 A2 a 3 A3 + cos 2ω0 t + cos 3ω0 t (45) 2 4 EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Distorsión 76 / 87 DNL: distorsión total armónica (2) Las no-linealidades (del canal, de un amplificador, etc.) se pueden caracterizar con la prueba de un tono. Si el sistema fuera perfectamente lineal, en su salida habrı́a un solo tono con la misma frecuencia. En la práctica, la señal de salida tendrá contenido armónico. La razón entre el valor cuadrático medio de los armónicos superiores divido entre el valor cuadrático medio de la armónica fundamental, proporciona la distorsión armónica total (THD) del amplificador. X∞ (a2n + b2n ) n=2 T HD =. (46) a21 + b21 ¡Haga el ejercicio 2.14.1 del Stremler! EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Distorsión 77 / 87 DNL: productos de intermodulación (1) IMD (Intermodulation distortion). Si en (44) la señal de entrada está dada por: x(t) = A1 cos ω1 t + A2 cos ω2 t, (47) donde ω1 = 2πf1 y ω2 = 2πf2 , (prueba de dos tonos), el término de segundo grado será: a2 (A1 cos ω1 t + A2 cos ω2 t)2 = a2 (A21 cos2 ω1 t + 2A1 A2 cos ω1 t cos ω2 t + A22 cos2 ω2 t) (48) Términos 1 y 3: distorsión armónica a 2ω1 y 2ω2. Término 2: IMD (de segundo orden): a2 A1 A2 [cos(ω1 − ω2 )t − cos(ω1 + ω2 )t]. EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Distorsión 78 / 87 DNL: productos de intermodulación (2) De manera análoga el término de tercer grado en (44) producirá: a3 (A1 cosω1 t + A2 cos ω2 t)3 = a3 (A31 cos3 ω1 t + 3A21 A2 cos2 ω1 t cos ω2 t + 3A1 A22 cos ω1 t cos2 ω2 t + A32 cos3 ω2 t) (49) Términos 1 y 4: distorsión armónica a 3ω1 y 3ω2 Término 2: IMD (de tercer orden): 3 2 1 1 2 a3 A1 A2 [cos ω2 t − 2 cos(2ω1 + ω2 )t + 2 cos(2ω1 − ω2 )t] Término 3: IMD (de tercer orden): 3 2 1 1 2 a3 A1 A2 [cos ω1 t − 2 cos(2ω2 + ω1 )t + 2 cos(2ω2 − ω1 )t] EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Distorsión 79 / 87 DNL: productos de intermodulación (3) IMP de segundo orden: (f1 + f2 ) y (f2 − f1 ) IMP de tercer orden: (2f1 + f2 ), (2f1 − f2 ), (2f2 + f1 ) y (2f2 − f1 ) IMP de orden par e impares de suma caen fuera de la banda, mientras que IMP impares de diferencia caen dentro o cerca de la banda, lo cual trae el riesgo de interferencia. |Y (f )| IMP 2do orden IMP 3er orden 2f1 − f2 2f2 − f1 2f1 + f2 2f2 + f1 f2 − f1 f1 + f2 f1 f2 2f1 2f2 3f1 3f2 f EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Distorsión 80 / 87 Distorsión por multi-trayectoria (1) Ocurre cuando la señal transmitida llega al receptor por dos o mas trayectorias con diferentes atenuaciones y retardos. EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Distorsión 81 / 87 Distorsión por multi-trayectoria (2) Se puede modelar como varios canales en paralelo, cada uno con una atenuación y retardo diferentes. Para el caso de dos trayectorias: Señal transmitida X Señal recibida ◦ Retraso td ◦ α Retraso (td + ∆t) La respuesta en frecuencia de cada trayectoria es e−j2πf td para la superior y αe−j2πf (td +∆t) para la inferior. EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Distorsión 82 / 87 Distorsión por multi-trayectoria (3) La respuesta en frecuencia total, H(f ), es la suma de las trayectorias individuales: H(f ) = e−j2πf td + αe−j2πf (td +∆t) = e−j2πf td (1 + αe−j2πf ∆t ) (50) = e−j2πf td (1 + α cos 2πf ∆t − jα sin 2πf ∆t) que, separada en magnitud y fase, se puede reescribir como: p |H(f )| = 1 + α2 + 2α cos 2πf ∆t (51)   α sin 2πf ∆t θH (f ) = −2πf td − arctan 1 + α cos 2πf ∆t De (51) se observa que tanto la magnitud como la fase de H(f ) son periódicas con f , con 1 perı́odo. ∆t EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Distorsión 83 / 87 Distorsión por multi-trayectoria (4) H(f ) |H(f )| f θH (f ) Distorsión lineal (dispersión del espectro). Desvanecimiento selectivo en frecuencia: k Si α ≈ 1, |H(f )| ≈ 0, ∀ f = , k impar. 2∆t k Interferencia constructiva ∀ f = , k par. 2∆t EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Distorsión 84 / 87 Canal con desvanecimiento Hasta ahora, las caracterı́sticas del canal de comunicaciones se han supuesto constantes en el tiempo. En la práctica, se dan variaciones semiperiódicas y aleatorias. Esto hace que la señal transmitida se atenúe aleatoriamente, Este fenómeno se conoce como desvanecimiento. El desvanecimiento puede depender, además, de la frecuencia, por lo que no todo el contenido espectral se atenúa uniformemente. EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión Distorsión 85 / 87 Resumen 1 Sistemas lineales y ruido 2 Modelos estocásticos 3 Distorsión en sistemas electrónicos 4 Referencias EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión 86 / 87 Referencias Haykin, S. Sistemas de Comunicación. Wiley, México, 2002. Stremler, F. G. Introducción a los Sistemas de Comunicación. Pearson Education, 3ra. ed. México, 1998. Lathi, B. P. Sistemas de Comunicación. McGraw-Hill. México, 1986. Carlson, A. B. Sistemas de Comunicación. México, 1975. EL-5513 Comunicaciones Eléctricas I Ruido & Distorsión 87 / 87