공학수학의 기초 PDF

공학수학의 기초 행렬 행렬(行列, matrix)은 수나 기호, 수식 등을 네모꼴로 배열한 것으로, 괄호로 묶어 표시한다. Ex) 2 × 3 행렬 2 3 −1 ( ) −2 1 5 행렬 안에 배열된 구성원들을 성분(entry) 또는 원소(element)라고 한다. 행렬의 가로줄을 행(row), 세로줄을 열(co...

공학수학의 기초 행렬 행렬(行列, matrix)은 수나 기호, 수식 등을 네모꼴로 배열한 것으로, 괄호로 묶어 표시한다. Ex) 2 × 3 행렬 2 3 −1 ( ) −2 1 5 행렬 안에 배열된 구성원들을 성분(entry) 또는 원소(element)라고 한다. 행렬의 가로줄을 행(row), 세로줄을 열(column)이라고 한다. 𝑚 개의 행, 𝑛 개의 열로 이루어진 행렬을 𝑚 × 𝑛 행렬이라고 한다. 위에서 아래로 𝑖 번째인 행을 𝑖 행, 왼쪽에서 오른쪽으로 𝑗 번째인 열을 𝑗 열이라고 한다. 𝑖 행, 𝑗 열에 위치한 성분을 (𝑖, 𝑗) 성분이라고 한다. 행렬은 주로 대문자로 나타내고, 다른 대상과의 구별을 위해 굵은 글씨체를 자주 사용한다(예: 𝑨). - 정방 행렬(square matrix) : 행과 열의 수가 동일한 행렬 - 단위 행렬(identity matrix) : 𝑛 차 정방행렬에서 주대각선의 원소가 모두 1 이고, 다른 원소는 모두 0 인 행렬 1 0 0 Ex) 𝑰 = (01 0) 0 0 1 1 - 전치 행렬(transposed matrix) : 임의의 행렬 𝑨 가 주어졌을 때 그 행렬 𝑨 에서 행과 열을 바꾼 행렬을 행렬 𝑨 의 전치행렬이라 하고, 보통 𝑨𝑇 로 나타낸다. - 행렬의 연산 주어진 두 𝑚 × 𝑛 행렬 𝑨와 𝑩에 대해, 덧셈과 뺄셈은 각각 성분별 덧셈과 뺄셈으로 정의된다. 크기가 다른 행렬들에 대해서는 덧셈과 뺄셈이 정의되지 않는다. 주어진 𝑚 × 𝑛 행렬 𝑨 의 스칼라곱 연산은 성분별로 스칼라를 곱한 것으로 정의된다. Ex) - 행렬의 곱셈 Ex) 2 - 역행렬 (inverse matrix) 가역 행렬(可逆行列, invertible matrix)은 그와 곱한 결과가 단위 행렬인 행렬을 갖는 행렬이다. 이를 그 행렬의 역행렬(逆行列, 영어: inverse matrix)이라고 한다. 𝑨 ⋅ 𝑨−1 = 𝑨−1 ⋅ 𝑨 = 𝑰 2 × 2 행렬에 대해서 역행렬은 다음과 같이 구할 수 있다. 𝑎 𝑏 −1 1 𝑑 −𝑏 ( ) = ( ) 𝑐 𝑑 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 −𝑐 𝑎 Ex) - 행렬식 (determinant) 행렬식이란 정방행렬에 하나의 수를 대응시키는 일종의 함수로서 행렬의 가역성을 판별하 는 지표로서 사용될 수 있다. 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 Ex) 𝑑𝑒𝑡 ( )=| | = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 3 벡터 유클리드 벡터(Euclidean vector) 또는 벡터(vector)는 유클리드 공간에서 크기와 방향을 모두 포함하는 기하학적 대상이다. 주로 유향 선분 또는 화살표로 표현한다. 주로 힘이나 자기장, 전기장, 변위와 같이, 방향과 크기를 둘 다 가지는 물리적 개념을 설명할 때 이용된다. 물리적 현상을 나타낼 때는 주로 2차원 또는 3차원 벡터를 사용한다. - 벡터의 차원 스칼라량은 단지 하나의 크기 만을 표현할 수 있지만, 벡터는 방향과 크기를 모두 표현할 수 있다. 2차원 벡터는 x축과 y축의 성분 a, b를 이용하여 (a, b)로 나타낼 수 있고 3차원 벡터는 z축의 성분 c까지 포함하여 (a, b, c)로 표현할 수 있다. 이와 같이 이론적으로는 n차원 벡터를 표현하는 것이 가능하지만, 물리학이나 화학 등 실제 자연현상에 대해 배우는 학문에서는 2차원 벡터와 3차원 벡터로 충분하다. Ex) 2차원 벡터 Ex) 3차원 벡터 4 - 벡터의 연산 Ex) 벡터 공간 선형대수학에서 벡터 공간(vector space)은 원소를 서로 더하거나 주어진 배수로 늘이거나 줄일 수 있는 공간이다. 5 삼각함수 6 삼각함수 공식 𝑠𝑖𝑛2 𝐴 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝐴 = 1 𝑠𝑖𝑛( 𝐴 + 𝐵) = 𝑠𝑖𝑛 𝐴 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝐵 + 𝑐𝑜𝑠 𝐴 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝐵 𝑐𝑜𝑠( 𝐴 + 𝐵) = 𝑐𝑜𝑠 𝐴 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝐵 − 𝑠𝑖𝑛 𝐴 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝐵 1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝐴 𝑐𝑜𝑠 2 𝐴 = 2 1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝐴 𝑠𝑖𝑛2 𝐴 = 2 1 𝑠𝑖𝑛 𝐴 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝐵 = {𝑐𝑜𝑠( 𝐴 − 𝐵) − 𝑐𝑜𝑠( 𝐴 + 𝐵)} 2 1 𝑠𝑖𝑛 𝐴 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝐵 = {𝑠𝑖𝑛( 𝐴 + 𝐵) + 𝑠𝑖𝑛( 𝐴 − 𝐵)} 2 1 𝑐𝑜𝑠 𝐴 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝐵 = {𝑐𝑜𝑠( 𝐴 + 𝐵) + 𝑐𝑜𝑠( 𝐴 − 𝐵)} 2 𝑏 𝑎 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = √𝑎2 + 𝑏 2 𝑠𝑖𝑛( 𝑥 + 𝛼) (𝑠𝑖𝑛 𝛼 = , 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = ) √𝑎2 + 𝑏 2 √𝑎2 + 𝑏 2 𝑎 𝑏 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = √𝑎2 + 𝑏 2 cos(𝑥 − 𝛽) (𝑠𝑖𝑛 𝛽 = , 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = ) √𝑎2 + 𝑏 2 √𝑎2 + 𝑏 2 7 복소수 𝑖 2 = −1 이라 할 때 임의의 실수 𝑎 를 𝑎 = 𝑎 + 0𝑖 로 나타낼 수 있으며, 이런 의미에서 실수의 집합 𝑹 은 복소수의 집합 𝑪 의 부분집합으로 볼 수도 있다. 대수학의 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙 등과 𝑖 2 = −1 이라는 조건을 이용하여 복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 다음과 같이 정의할 수 있다. 덧셈: (𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖 뺄셈: (𝑎 + 𝑏𝑖) − (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑)𝑖 곱셈: (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑑𝑖 2 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑏𝑐 + 𝑎𝑑)𝑖 𝑎𝑐+𝑏𝑑 𝑏𝑐−𝑎𝑑 나눗셈: (𝑎 + 𝑏𝑖)/(𝑐 + 𝑑𝑖) = ( ) + ( 𝑐 2 +𝑑2 ) 𝑖 𝑐 2 +𝑑 2 복소수 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 의 켤레복소수는 𝑎 − 𝑏𝑖 이며, 𝑧로 표시한다. 𝑧는 𝑧 를 실수축에 대해 반사시킨 상이다. 다음의 성질들이 성립한다는 것은 간단히 확인할 수 있다. 𝑧+𝑤 =𝑧+𝑤 𝑧⋅𝑤 =𝑧⋅𝑤 (𝑧/𝑤) = 𝑧/𝑤 𝑧=𝑧 𝑧 = 𝑧는 𝑧가 실수라는 조건과 동치 |𝑧| = |𝑧| |𝑧|2 = 𝑧 ⋅ 𝑧 𝑧 −1 = 𝑧 ⋅ |𝑧|−2 (𝑧 ≠ 0일 경우). 8 복소수의 극형식 복소수 𝑎 + bi 를 좌표평면 위의 점 𝑃(a,b) 에 대응시킬 때, 이 평면을 복소평면이라 한다. 복소수 𝑧 에 대하여 점 𝑧 와 점 −𝑧 는 원점에 대하여 대칭이며 점 𝑧 와 점 𝑧는 실수축(𝑥 축)에 대하여 대칭이다. 복소수 𝑧 = 𝑎 + bi 에서 √𝑎2 + 𝑏 2 를 𝑧 의 절대값이라 하고 |𝑧| 로 나타낸다. 즉, |𝑧| = |𝑎 + 𝑏𝑖| = √𝑎2 + 𝑏 2 이고 이는 복소평면에서 원점과 점 𝑃(a,b) 사이의 거리를 나타낸다. 두 복소수 𝑧 와 𝑤 사이의 거리 𝑑(𝑧, 𝑤)는 |𝑧 − 𝑤|로 정의한다. 다음 관계가 성립한다. |𝑧| = |𝑧|, 𝑧 ⋅ 𝑧 = |𝑧|2 = |𝑧|2 |𝑧| = 0일 필요충분조건은 𝑧 = 0 |𝑧 + 𝑤| ≤ |𝑧| + |𝑤| (삼각 부등식) |𝑧 ⋅ 𝑤| = |𝑧| ⋅ |𝑤| 복소수 𝑧 = 𝑎 + bi 를 나타내는 점 𝑃(a,b) 라 할 때 OP 가 𝑥 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 𝜃 라 할 때 𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜃) (𝑟 = |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏 2 ) 로 나타낼 수 있다. 복소수를 이와 같이 나타낸 것을 복소수의 극형식이라 하고 𝜃 를 복소수 𝑧의 편각이라 하며 𝜃 = 𝑎𝑟𝑔( 𝑧)로 나타낸다. 9 Euler의 공식 𝑒 𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑥2 𝑥2 ( 𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 + + +⋯ 2! 3! 𝑥2 𝑥4 𝑥6 cos 𝑥 = 1 − + − +⋯ 2! 4! 6! 𝑥3 𝑥5 𝑥7 sin 𝑥 = 𝑥 − + − + ⋯ 3! 5! 7! (𝑖𝑥)2 (𝑖𝑥)3 (𝑖𝑥)4 𝑒 𝑖𝑥 = 1 + 𝑖𝑥 + + + +⋯ 2! 3! 4! 𝑥2 𝑥4 𝑥3 𝑥5 = (1 − + − ⋯ ) + 𝑖 (𝑥 − + − ⋯ ) = cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥 ) 2! 4! 3! 5! (Taylor 급수 𝑓 (1) (𝑥0 ) 𝑓 (2) (𝑥0 ) 𝑓 (𝑛) (𝑥0 ) 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) + (𝑥 − 𝑥0 ) + (𝑥 − 𝑥0 )2 + ⋯ + (𝑥 − 𝑥0 )𝑛 + ⋯ 1! 2! 𝑛! if 𝑥0 = 0, 𝑓(1) (0) 𝑓(2) (0) 2 𝑓(𝑛) (0) 𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 1! 𝑥 + 2! 𝑥 + ⋯+ 𝑛! 𝑥 +⋯) 10  복소수의 곱셈과 나눗셈 두 복소수 𝑧1 = 𝑟1 (𝑐𝑜𝑠𝜃1 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃1 ), 𝑧2 = 𝑟2 (𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃2 ) 에 대하여 다음 관계가 성립한다. 곱셈: 𝑧1 ⋅ 𝑧2 = 𝑟1 ⋅ 𝑟2 (𝑐𝑜𝑠(𝜃1 + 𝜃2 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜃1 + 𝜃2 )) (|𝑧1 ⋅ 𝑧2 | = |𝑧1 | ⋅ |𝑧2 |, 𝑎𝑟𝑔( 𝑧1 ⋅ 𝑧2 ) = 𝑎𝑟𝑔( 𝑧1 ) + 𝑎𝑟𝑔( 𝑧2 )) 𝑧1 𝑟 𝑧 |𝑧 | 𝑧 나눗셈: 𝑧2 = 𝑟1 (𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2 )) (|𝑧1 | = |𝑧1 | , 𝑎𝑟𝑔( 𝑧1 ) = 𝑎𝑟𝑔( 𝑧1 ) − 𝑎𝑟𝑔( 𝑧2 )) 2 2 2 2 11 함수의 극한 𝑥 의 함수 𝑓(𝑥)에 대해, 정의역의 원소 𝑥가 어떤 값 𝑎에 한없이 가까워지면 𝑓(𝑥)도 어떤 값 𝑐 에 한없이 가까워질 때, 함수 𝑓(𝑥)가 𝑥 → 𝑎 일 때 𝑐에 수렴한다고 하고 𝑐 를 함수의 극한이라 한다. 이는 𝑥 → 𝑎 일 때 𝑓(𝑥) → 𝑐 또는 더 간단히 𝑙𝑖𝑚𝑓(𝑥) = 𝑐 𝑥→𝑎 의 형식으로 나타낼 수 있다. Ex) 12 미분 미분(微分)은 함수의 순간변화율을 구하는 계산 과정이다. 순간변화율은 평균변화율의 극한으로 생각할 수 있다. 우선, 함수 𝑓(𝑥) 에서 𝑥 의 변화량 𝛥𝑥 에 대한 𝑓(𝑥) 의 변화량 𝑓(𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝑓(𝑥) 의 비 𝛥𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝑓(𝑥) = 𝛥𝑥 𝛥𝑥 를 구할 수 있을 때 이를 평균변화율이라고 한다. 평균변화율의 극한을 취하여 함수 𝑓(𝑥) 의 특정 지점 𝑥 에서 변화량 𝛥𝑥 가 0 으로 수렴할 때의 변화율을 순간변화율 또는 미분계수라고 하고 다음의 수식과 같이 나타낸다. 𝑑 𝑓(𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑑𝑥 𝛥𝑥→0 𝛥𝑥 13 미분은 연속적이고 지속적인 변화량에 대한 순간변화율을 의미한다. 따라서 연속적이지 않은 변화량에서나 첨점과 같은 특이점에서는 미분이 불가능하다. 함수의 그래프에서 미분은 함수 곡선의 특정 지점에서 접선으로 나타낼 수 있다. 함수 𝑓(𝑥) 의 특정 구간을 정의역으로 하고 미분계수를 치역으로 하는 함수 𝑓 ′ (𝑥) 를 𝑓(𝑥) 에 대한 도함수라고 한다. 따라서, 미분에 의해 도함수를 구하는 과정은 𝑓(𝑥) → 𝑓 ′ (𝑥) 로의 사상이다. 함수 𝑓(𝑥)에 대한 도함수 𝑓 ′ (𝑥)를 구하는 것을 “𝑓(𝑥)를 𝑥에 대해 미분한다”고 한다. Ex) 고차 미분 𝑓 ′′ (𝑥) = {𝑓 ′ (𝑥)}′ 𝑓 (𝑛) (𝑥): 𝑓(𝑥)를 n번 미분 14 합성함수의 미분 (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) => (𝑓 ∘ 𝑔)′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑔(𝑥)) ⋅ 𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = ∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 곱과 몫의 미분 {𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)}′ = 𝑓 ′ (𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔′ (𝑥), 𝑓(𝑥) ′ 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑓 ′ (𝑥) − 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔′ (𝑥) { } = 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥)2 15 음함수의 미분 - 음함수 : 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 형태로 주어진 함수 역함수의 미분법 𝑦 = 𝑓(𝑥) 의 역함수 𝑥 = 𝑔(𝑦)는 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑥, 𝑓(𝑔(𝑦)) = 𝑦 를 만족 1 1 𝑔′ (𝑦) = = 𝑓 ′ (𝑥) 𝑓 ′ (𝑔(𝑦)) 16 삼각함수의 도함수 지수함수와 로그함수의 미분 𝑑 𝑑 1 𝑑𝑥 (𝑙𝑛 𝑥) = 𝑑𝑥 (𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑥) = 𝑥 , 𝑥 > 0 𝑑 𝑥 𝑒 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 17  부정적분 부정적분은 미분의 역과정을 수행하면 된다. 기호  은 이러한 연산을 가리키는 연산자가 된다. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 이때, 𝑑 𝐹 ′ (𝑥) = 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 가 된다. 여기서 𝐶 는 적분상수(Constant of integration)가 된다. 부정적분은 미분의 역과정이므로 미분 공식과 밀접한 연관이 있다. 유용한 공식으로는 다음과 같은 것들이 있다. 상수배한 함수의 부정적분은 부정적분한 함수의 상수배와 같다. ∫ 𝑎𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 같은 구간에 정의된 두 함수의 합을 부정적분한 것은 각각 부정적분한 함수의 합과 같다. ∫[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 𝑛 이 실수일 때 단항식은 다음과 같이 적분된다. 𝑥 𝑛+1 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = {𝑛 + 1 + 𝐶, 𝑛 𝑖𝑓 𝑛 ≠ −1 𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶, 𝑖𝑓 𝑛 = −1 Ex) 18 치환 적분과 부분 적분 𝑑𝑡 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥 ( 𝑡 = 𝑔(𝑥) ) 𝑑𝑥 ∫ 𝑓 ′ (𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) − ∫ 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 19 부정적분은 미적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus)를 이용하여 정적분(definite integral)을 계산할 때 매우 유용하다. 즉, 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎 이런 계산결과의 관계 덕분에 역도함수는 구간이 정해지지 않은 적분이므로 부정적분(indefinite integral) 이라는 용어를 쓰게 된다. 즉, 구간을 정하지 않은 다음과 같은 기호로 표시하게 된다. ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 모든 상수는 미분하면 사라진다. 그러므로 주어진 함수의 역도함수는 어떤 상수항도 취할 수 있게 된다. 따라서 역도함수의 마지막에 임의의 상수가 온다는 의미로 임의의 적분상수 𝐶를 붙여준다. 20 정적분 구간 [𝑎, 𝑏] 에 대하여 𝑛 개로 분할된 하위 구간의 변량을 𝛥𝑘 = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 라 하면, 전체 구간 [𝑎, 𝑏]는 분할 된 각각의 하위 구간들의 합으로 생각할 수 있다. 적분은 하위 구간의 변량 𝛥𝑘 가 0 으로 수렴하는 경우를 구하는 것이다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다. 𝑛 𝑏 𝑏−𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 ∑ 𝑓(𝑥𝑘 )𝛥𝑥(𝑥𝑘 = 𝑎 + 𝑘𝛥𝑥, 𝛥𝑥 = ) 𝑎 𝑛→∞ 𝑛 𝑘=1 Ex) 21 급수 급수(級數)란 수학에서 수열들의 각 항의 합을 의미한다. 즉, 급수란 여러 수들의 합연산으로 표현된다. 급수의 예로는 아래와 같은 등차수열의 합이 있다. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ + 99 + 100 급수에 더해지는 각 항들이 어떤 공식이나 알고리즘에 의해 표현되는 경우도 있다. 난수들로 이루어진 급수도 생각할 수 있다. 급수는 유한 급수와 무한 급수로 나눌 수 있다. 유한 급수의 경우 기초적인 대수학의 법칙들만 사용하여도 그 값을 구할 수 있다. 하지만 무한 급수는 그 정확한 합을 구하기 위해서는 해석학의 여러 정리들이 필요하다. 예를 들어 등차수열들의 합으로 이루어진 급수의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다. 𝑘 ∑(𝑎𝑛 + 𝑏) 𝑛=0 등비수열의 합으로 이루어진 급수의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다. 𝑘 ∑ 𝑎𝑛 𝑛=0 무한급수 𝑆𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 무한급수는 위의 𝑆𝑛 , 즉 급수의 부분합으로 이루어지는 수열의 극한값으로 생각한다. 𝑛 이 무한대로 갈 때 그 극한이 유한한 값을 갖는다면 이 급수가 수렴한다고 한다. 만약 이 값이 무한하거나 존재하지 않는다면, 이 급수는 발산한다고 한다. 무한급수가 발산하는지 여부를 판단하는 가장 쉬운 방법은 급수를 구성하고 있는 수열의 𝑛 번째 항인 𝑎𝑛 이 𝑛 이 무한으로 갈 때 0 으로 수렴하는지 여부를 체크하면 된다. 만약 0 으로 가지 않는다면, 이 급수는 발산한다는 사실을 쉽게 확인할 수 있다. 하지만 그 극한값이 0 으로 간다고 해도, 이 급수가 항상 수렴하는 것은 아니다. 다음의 급수의 경우 수열의 값은 0 으로 수렴하지만, 급수는 수렴하지 않는다. 1 1 1 1 1+ + + + +⋯ 2 3 4 5 22 급수를 구성하고 있는 각 수열들이 0 이 아닌 항으로만 이루어져 있더라도 수렴할 수도 있다. 수렴하는 무한급수의 예는 다음과 같다. 1 1 1 1 + + + +⋯ 2 4 8 16 위의 급수를 등비급수로 표현하면 다음과 같이 쓸 수 있다. ∞ ∑ 2−(𝑛+1) 𝑛=0 일반적인 무한급수를 표시할 때에는 다음과 같이 쓸 수 있다. ∞ ∑ 𝑎𝑛 𝑛=0 여기에서 𝑎𝑛 은 실수(혹은 복소수)이며, 만약 부분합의 극한인 𝑁 𝑙𝑖𝑚 ∑ 𝑎𝑛 𝑁→∞ 𝑛=0 이 어떤 값 S 로 수렴한다면, 이 무한급수의 합은 S 와 같다고 한다. 이런 수 S 가 존재하지 않을 경우 이 급수는 발산한다고 한다. 23