Matemática 1 BGU PDF

Matemática 1 BGU Serie Ingenios EDITORIAL DON BOSCO Este libro de texto que tienes en tus manos es una herramienta muy importante para que puedas desarrollar los aprendizajes de la mejor manera. Un libro de texto no debe ser la única fuente de investigación y de desc...

Matemática 1 BGU Serie Ingenios EDITORIAL DON BOSCO Este libro de texto que tienes en tus manos es una herramienta muy importante para que puedas desarrollar los aprendizajes de la mejor manera. Un libro de texto no debe ser la única fuente de investigación y de descubrimiento, pero siempre es un buen aliado que te permite descubrir por ti mismo la maravilla de aprender. El Ministerio de Educación ha realizado un ajuste curricular que busca mejores oportunidades de aprendizaje para todos los estudiantes del país en el marco de un proyecto que propicia su desarrollo personal pleno y su integración en una sociedad guiada por los principios del Buen Vivir, la participación democrática y la convivencia armónica. Para acompañar la puesta en marcha de este proyecto educativo, hemos preparado varios materiales acordes con la edad y los años de escolaridad. Los niños y niñas de primer grado recibirán un texto que integra cuentos y actividades apropiadas para su edad y que ayudarán a desarrollar el currículo integrador diseñado para este subnivel de la Educación General Básica. En recibirán textos que contribuirán al desarrollo de los aprendizajes de las áreas de Ciencias Naturales, Ciencias Sociales, Lengua y Literatura, Matemática y Lengua Extranjera-Inglés. Además, es importante que sepas que los docentes recibirán guías didácticas que les facilitarán enriquecer los procesos de enseñanza y aprendizaje a partir del contenido del texto de los estudiantes, permitiendo desarrollar los procesos de investigación y de aprendizaje más allá del aula. Este material debe constituirse en un apoyo a procesos de enseñanza y aprendizaje que, para cumplir con su meta, han de ser guiados por los docentes y protagonizados por los estudiantes. Esperamos que esta aventura del conocimiento sea un buen camino para alcanzar el Buen Vivir. Ministerio de Educación 2018  Presentación Matemática 1 BGU ahora mismo es una página en blanco que, como tú, posee un infinito potencial. Te presentamos Ingenios, el nuevo proyecto de Editorial Don Bosco que hemos diseñado para impul- sar lo mejor de ti y que te acompañará en tu recorrido por el conocimiento. Ingenios: Fomenta un aprendizaje práctico y funcional que te ayudará a desarrollar destrezas con criterios de desempeño. Propone una educación abierta al mundo, que se integra en un entorno innovador y tecnológico. Apuesta por una educación que atiende a la diversidad. Refuerza la inteligencia emocional. Refleja los propósitos del Ministerio de Educación que están plasmados en el currículo nacional vigente. Deja aflorar la expresividad de tus retos. Incorpora Edibosco Interactiva, la llave de acceso a un mundo de recursos digitales, flexibles e integrados para que des forma a la educación del futuro. Es sensible a la justicia social para lograr un mundo mejor. Matemática 1 BGU te presenta los contenidos de forma clara e interesante. Sus secciones te involucra- rán en proyectos, reflexiones y actividades que te incentivarán a construir y fortalecer tu propio aprendi- zaje. Las ilustraciones, fotografías, enlaces a páginas web y demás propuestas pedagógicas facilitarán y clarificarán la adquisición de nuevos conocimientos. Construye con Ingenios tus sueños. Índice Herramientas matemáticas un 0 temidad Contenidos átic a Revisión (pág.10) Operaciones con radicales Ecuaciones de primer grado Error Sistemas lineales de dos ecuaciones Notación científica Funciones y estadísticas Intervalos de números reales Probalidad y combinatoria Operaciones con polinomios Factorización 2  un 1 Lo números reales Objetivos temidad átic Producir, comunicar y generalizar informa- país y tomar decisiones con responsabili- a ción de manera escrita, verbal, simbólica, dad social. gráfica y/o tecnológica mediante la apli- Valorar el empleo de las TIC para realizar cación de conocimientos matemáticos y cálculos y resolver, de manera razonada el manejo organizado, responsable y ho- y crítica, problemas de la realidad nacio- nesto de las fuentes de datos para com- nal, argumentado la pertinencia de los prender otras disciplinas, entender las ne- métodos utilizados y juzgando la validez cesidades y potencialidades de nuestro de los resultados. Contenidos Algebra y funciones (16 - 55) Conjunto de números reales Operaciones con polinomios Propiedades de los números Suma, resta y multiplicación reales. de polinomios Operaciones con reales Método de Ruffini, Teorema del Operaciones con potencias y residuo y Método de Hörner. radicales Ecuaciones e inecuaciones Intervalos de números reales Suma, resta y multiplicación Valor absoluto y distancia de polinomios Logaritmos Inecuaciones fraccionarias Cálculo de logaritmos con una incógnita Propiedades de los logaritmos Ecuaciones irracionales un 2 Funciones reales y racionales temidad Objetivos átic a Valorar sobre la base de un pensamiento Desarrollar la curiosidad y la creatividad crítico, creativo, reflexivo y lógico la vincu- en el uso de herramientas matemáticas lación de los conocimientos matemáticos al momento de enfrentar y solucionar pro- con los de otras disciplinas científicas y los blemas de la realidad nacional demos- saberes ancestrales para plantear solucio- trando actitudes de orden, perseverancia nes a problemas de la realidad y contri- y capacidades de investigación. buir al desarrollo del entorno social, natu- ral y cultural. Contenidos Algebra y funciones (56 - 87) Concepto de función Función valor absoluto de la Prohibida su reproducción Función afín función afín. Función afín a trozos Operaciones con funciones Función potencia entera ne- reales gativa con n= -1, -2. Modelos matemáticos con Función raíz cuadrada. funciones cuadráticas. Función raíz cuadrada. Traslaciones 3  un 3 Límite y derivadas de funciones Objetivos temidad átic a Proponer soluciones creativas a situaciones ven a juzgar con responsabilidad la validez de concretas de la realidad nacional y mundial procedimientos y los resultados en un contexto. mediante la aplicación de las operaciones bá- sicas de los diferentes conjuntos numéricos, el Desarrollar estrategias individuales y grupales que permitan un cálculo mental, escrito, exac- uso de modelos funcionales, algoritmos apro- to o estimado y la capacidad de interpreta- piados, estrategias y métodos formales y no ción y solución de situaciones problemáticas formales de razonamiento matemático que lle- del medio. solución de situaciones concretas. Contenidos Algebra y funciones (88 - 139) Noción intuitiva de límite Derivada de una función en un Límite de funciones polinómicas y punto racionales en un punto Función derivada. Límites laterales Función derivada y operaciones Límites en el infinito Aplicación de las derivadas. Mono- Cálculo de límites tonía Indeterminaciones. Problemas de optimización Continuidad de funciones. Derivadas y las Tic Operaciones Tasa de variación y tasa de variación instantánea 4 Vectores un Objetivo temidad átic Proponer soluciones creativas a situaciones con- responsabilidad la validez de procedimientos y a cretas de la realidad nacional y mundial me- los resultados en un contexto. diante la aplicación de las operaciones básicas de los diferentes conjuntos numéricos, el uso de Desarrollar estrategias individuales y grupales que permitan un cálculo mental, escrito, exacto o es- modelos funcionales, algoritmos apropiados, es- timado y la capacidad de interpretación y solu- trategias y métodos formales y no formales de ra- ción de situaciones problemáticas del medio. zonamiento matemático que lleven a juzgar con Contenidos Geometría y medida (140 - 167) Vectores fijos Componentes de un vector deter- Vectores equipolentes minado por dos puntos Operaciones con vectores expre- Prohibida su reproducción Vectores libres Operaciones con vectores sados por sus componentes Base de v² Ángulo entre dos vectores Dependencia de vectores Vector unitario Componentes de un vector en una base 4  un 5 Elementos del plano temidad Objetivos átic a Producir, comunicar y generalizar información Desarrollar la curiosidad y la creatividad en el de manera escrita, verbal, simbólica, gráfica y/o uso de herramientas matemáticas al momento tecnológica mediante la aplicación de conoci- de enfrentar y solucionar problemas de la reali- mientos matemáticos y el manejo organizado, dad nacional demostrando actitudes de orden, responsable y honesto de las fuentes de datos perseverancia y capacidades de investigación. para comprender otras disciplinas, entender las necesidades y potencialidades de nuestro país y tomar decisiones con responsabilidad social. Contenidos Geometría y medida (168 - 203) Ecuaciones de la recta. Lugares geométricos. Mediatriz Ecuación vectorial, ecuación de un segmento paramétrica, ecuación general Bisectriz de un ángulo y explícita de la recta Matemáticas y tic`s. Geogebra Rectas secantes Distancias. Distancia entre dos puntos un 6 El proceso estadístico Objetivos temidad átic Producir, comunicar y generalizar información Desarrollar la curiosidad y la creatividad en el a de manera escrita, verbal, simbólica, gráfica y/o uso de herramientas matemáticas al momen- tecnológica mediante la aplicación de conoci- to de enfrentar y solucionar problemas de la mientos matemáticos y el manejo organizado, realidad nacional demostrando actitudes de responsable y honesto de las fuentes de datos orden, perseverancia y capacidades de inves- para comprender otras disciplinas, entender las tigación.el entorno social y económico, con un necesidades y potencialidades de nuestro país y pensamiento crítico y reflexivo. tomar decisiones con responsabilidad social. Contenidos Estadística y probabilidad (204 - 263) Repaso de conceptos básicos Medidas de dispersión Tablas estadísticas datos no Medidas de posición agrupados y de datos agru- Uso de TIC Prohibida su reproducción pados Estrategias de resolución de Gráficos estadísticos problemas Tablas y gráficos con TIC Análisis de datos. Medidas de tendencia central 5  Unidades Destrezas con criterios de desempeño: 1 2 3 4 5 6 Aplicar las propiedades algebraicas de los números reales en la resolución de productos notables y en la factorización de expresiones algebraicas. ✓ Identificar la intersección gráfica de dos rectas como solución de un sistema de dos ecuaciones ✓ lineales con dos incógnitas. Resolver analíticamente sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas utilizando diferen- ✓ tes métodos (igualación, sustitución, eliminación). Aplicar las propiedades de orden de los números reales para realizar operaciones con intervalos (unión, intersección, diferencia y complemento) de manera gráfica (en la recta numérica) y de ✓ manera analítica. Aplicar las propiedades de orden de los números reales para resolver ecuaciones e inecuaciones ✓ de primer grado con una incógnita y con valor absoluto. Descomponer funciones racionales en fracciones parciales resolviendo los sistemas de ecuacio- ✓ nes correspondientes. Graficar y analizar el dominio, el recorrido, la monotonía, ceros, extremos y paridad de las diferen- tes funciones reales (función afín a trozos, función potencia entera negativa con n= -1, -2, función ✓ raíz cuadrada, función valor absoluto de la función afín) utilizando TIC. Realizar la composición de funciones reales analizando las características de la función resultante ✓ (dominio, recorrido, monotonía, máximos, mínimos, paridad). Resolver (con o sin el uso de la tecnología) problemas o situaciones reales o hipotéticas con el empleo de la modelización con funciones reales (función afín a trozos, función potencia entera ✓ negativa con n= -1, -2, función raíz cuadrada, función valor absoluto de la función afín), identifican- do las variables significativas presentes y las relaciones entre ellas; juzgar la pertinencia y validez de los resultados obtenidos. Realizar las operaciones de adición y producto entre funciones reales, y el producto de números ✓ reales por funciones reales aplicando propiedades de los números reales. Resolver (con o sin el uso de la tecnología) problemas o situaciones reales o hipotéticas que pue- den ser modelizados con funciones cuadráticas identificando las variables significativas presentes ✓ y las relaciones entre ellas; juzgar la pertinencia y validez de los resultados obtenidos. Calcular de manera intuitiva el límite cuando h→ 𝟎 de una función cuadrática con el uso de cal- culadora como una distancia entre dos número reales. ✓ Calcular de manera intuitiva la derivada de funciones cuadráticas a partir del cociente incremental. ✓ Interpretar de manera geométrica (pendiente de la secante) y física el cociente incremental (ve- ✓ locidad media) de funciones cuadráticas con apoyo de las TIC. Interpretar de manera geométrica y física la primera derivada (pendiente de la tangente, veloci- ✓ dad instantánea) de funciones cuadráticas con apoyo de las TIC. Realizar operaciones de suma, multiplicación y división entre funciones polinomiales y multiplica- ✓ ✓ ción de números reales por polinomios en ejercicios algebraicos de simplificación. Aplicar las operaciones entre polinomios de grados ≤4, esquema de Hörner, teorema del residuo y ✓ ✓ sus respectivas propiedades para factorizar polinomios de grados ≤4 y reescribir los polinomios. Resolver problemas o situaciones que pueden ser modelizados con funciones polinomiales iden- tificando las variables significativas presentes y las relaciones entre ellas y juzgar la validez y perti- ✓ ✓ nencia de los resultados obtenidos. Graficar funciones racionales con cocientes de polinomios de grado ≤3 en diversos ejemplos y ✓ determinar las ecuaciones de las asíntotas si las tuviera con ayuda de la TIC. Prohibida su reproducción Determinar el dominio, rango, ceros, paridad, monotonía, extremos y asíntotas de funciones racio- ✓ nales con cocientes de polinomios de grado ≤3 con apoyo de las TIC. Realizar operaciones de suma y multiplicación entre funciones racionales y de multiplicación de ✓ números reales por funciones racionales en ejercicios algebraicos para simplificar las funciones. Resolver aplicaciones, problemas o situaciones que pueden ser modelizados con funciones ra- cionales identificando las variables significativas presentes y las relaciones entre ellas y juzgar la ✓ validez y pertinencia de los resultados obtenidos con apoyo de las TIC. 6  Unidades 1 2 3 4 5 6 Calcular de manera intuitiva la derivada de funciones polinomiales de grado ≤4 a partir del co- ciente incremental. ✓ Interpretar de manera geométrica y física la primera derivada (pendiente de la tangente, veloci- dad instantánea) y geométrica (pendiente de la secante) y física el cociente incremental (veloci- ✓ dad media) de funciones polinomiales de grado ≤4 con apoyo de las TIC. Calcular de manera intuitiva la derivada de funciones racionales cuyos numeradores y denomina- ✓ dores sean polinomios de grado ≤2 para analizar la monotonía, determinar los máximos y mínimos de estas funciones y graficarlas con apoyo de las TIC (calculadora gráfica, software, applets). Reconocer y graficar funciones exponenciales analizando sus características: monotonía, conca- ✓ vidad y comportamiento al infinito. Aplicar las propiedades de los exponentes y los logaritmos para resolver ecuaciones e inecuacio- nes con funciones exponenciales y logarítmicas con ayuda de las TIC. ✓ Reconocer y resolver aplicaciones, problemas o situaciones reales o hipotéticas que pueden ser modelizados con funciones exponenciales o logarítmicas identificando las variables significativas ✓ presentes y las relaciones entre ellas y juzgar la validez y pertinencia de los resultados obtenidos. Graficar vectores en el plano (coordenadas) identificando sus características: dirección, sentido y longitud o norma. ✓ Sumar, restar vectores y multiplicar un escalar por un vector de forma geométrica y de forma ana- lítica aplicando propiedades de los números reales y de los vectores en el plano. ✓ Resolver y plantear problemas de aplicaciones geométricas y físicas (posición, velocidad, acelera- ✓ ción, fuerza, entre otras) de los vectores en el plano e interpretar y juzgar la validez de las solucio- nes obtenidas dentro del contexto del problema. Calcular el producto escalar entre dos vectores y la norma de un vector para determinar distancia ✓ → entre dos puntos A y B en R como la norma del vector AB. Reconocer que dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es cero y aplicar el teo- rema de Pitágoras para resolver y plantear aplicaciones geométricas con operaciones y elemen- ✓ tos de R2 apoyándose en el uso de las TIC (software como Geogebra, calculadora gráfica, applets en internet). ✓ Escribir y reconocer la ecuación vectorial y paramétrica de una recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección o a partir de dos puntos de la recta. Identificar la pendiente de una recta a partir de la ecuación vectorial de la recta para escribir la ✓ ecuación cartesiana de la recta y la ecuación general de la recta. Determinar la posición relativa de dos rectas en R2 (rectas paralelas, que se cortan, perpendicula- ✓ res) en la resolución de problemas (por ejemplo: trayectoria de aviones o de barcos para determi- nar si se interceptan). Calcular la distancia de un punto P a una recta (como la longitud del vector formado por el punto P y la proyección perpendicular del punto en → la recta P´, utilizando la condición de ortogonalidad ✓ del vector dirección de la recta y el vector PP ) en la resolución de problemas (distancia entre dos rectas paralelas). Resolver y plantear aplicaciones de la ecuación vectorial, paramétrica y cartesiana de la recta ✓ con apoyo de las TIC. Calcular e interpretar la media, mediana, moda, rango, varianza y desviación estándar para datos ✓ no agrupados y agrupados con apoyo de las TIC. Prohibida su reproducción Juzgar la validez de las soluciones obtenidas en los problemas de aplicación de las medidas de tendencia central y de dispersión para datos agrupados dentro del contexto del problema, con ✓ apoyo de las TIC. Calcular e interpretar el coeficiente de variación de un conjunto de datos (agrupados y no agrupados). ✓ Determinar los cuantiles (cuartiles, deciles y percentiles) para datos no agrupados y para datos agrupados. ✓ Representar en diagramas de caja los cuartiles, mediana, valor máximo y valor mínimo de un con- ✓ junto de datos. Ministerio de educación. educacion.gob.ec. Extraído el 11 de abril del 2016 desde la página web: http://goo.gl/lp5eV. 7  El proyecto de Matemáticas 1 En contexto Los contenidos conoce tu libro Noticias y enlaces que con- Los contenidos tendrán: textualizarán la temática a Situaciones contextualizadas. abordar. Soporte visual. Uso de regletas y ábacos para facilitar la comprensión. Zona Wifi Proyecto Un alto en el camino En esta página verás cómo el tema de la unidad es tratado en la red. Prohibida su reproducción Actividades de base estructurada. 8  Problemas Resumen resueltos Síntesis de lo aprendido. Énfasis en la presentación clara de los procedimientos. Para finalizar Ejercicios y problemas Evaluando tus destrezas Autoevaluación Para fortalecer tu aprendizaje, Propuesta al final de dispondrás de varios ejercicios. cada bloque. Íconos Prohibida su reproducción ¿Qué significan estos íconos? O : ES RA UP IÉN BL DO Y TAMB REC RTA TIC LCULA EN GR O Conéctate con: CA : ES RA IÉN BL DO Y TAMB REC RTA TIC LCULA O CA Actividades Enlaces Videos Perfiles Documentos Presentaciones Laboratorios interactivas web interactivos multimedia 9  Herramientas http://goo.gl/n1VFbq matemáticas CONTENIDOS: 1. Operaciones con radicales 2. Error Prohibida su reproducción 3. Notación científica 4. Intervalos 5. Operaciones con polinomios 6. Factorización 7. Ecuaciones y sistema de ecuaciones 8. Funciones y estadísticas 9. Probabilidad y combinatoria 10 Repaso y revisión de contenidos 7. A partir de un mapa, hemos calculado que 1 Operaciones con radicales la distancia en línea recta entre Córdoba y Buenos Aires, en Argentina, es aproximada- 1. Simplifica los siguientes radicales; extrae los mente de 650 km, cuando en realidad es factores posibles fuera del radical: de 648,29 km. ¿Qué error absoluto hemos a. 32· 53 a2 b4 c. -12 27 a7 cometido? ¿Cuál es el error relativo? b. 7 · a 10 b9 d. 16 25 5 2 8. Si un año luz corresponde a unos 9,46 · 1012 km, expresa el error absoluto del ejer- 2. Efectúa. cicio anterior en metros, utiliza la nota- ción científica. a. (2 + 7 )· 3 c. 7 · (9 + 2 ) b. 11 · ( 11 + 3 ) d. 5 · (3 + 5 ) 9. Medimos experimentalmente con una técnica propia la distancia a una estre- lla del sistema solar y descubrimos que 3. Racionaliza. es de 6 años luz, cuando en realidad sa- bemos que es de 6,1 años luz. Calcula el a. 6 b. 1 11 error absoluto y el error relativo que he- a7 2 3- 5 mos cometido. 4. Efectúa las siguientes operaciones con 10.La distancia media entre Neptuno y el Sol radicales, simplifica el resultado cuando es de 30,07 unidades astronómicas (UA). sea posible. Exprésala en kilómetros, utiliza la nota- ción científica. 1 a. 2+3 8- 2 11. Halla el valor que se atribuye al diáme- b. 972 + 27 - -3 tro del Sol. Si realizamos una medida 2 2 27 experimental y cometemos un error re- lativo del 1% por encima de la medida c. π 5 5 encontrada en nuestras fuentes de in- 1 - +3π 5· 1 2 25 formación, ¿qué medida habremos lle- 5 π vado a cabo? Exprésala en kilómetros y 1 en años luz. +1 3 3 3 d. 2 21 + + 7 9 12.Medimos la distancia entre el Sol y un planeta, y obtenemos 0,000 60 UA, 5. Calcula. cuando en realidad se sabe que la 9 · 21 - 3 · ( 21 + 8 21 ) - (3 21 + 21 ) distancia exacta es de 0,000 57 UA. Prohibida su reproducción (1 UA = 1,496 · 108 km). 2 Error a. Calcula el error absoluto y el error rela- 6. Una aproximación por truncamiento del tivo cometidos. número 4,56789 es 4,56. Halla el error ab- b. Expresa el error absoluto en kilómetros, soluto y el error relativo. utiliza la notación científica. 11  18. Completa el siguiente cuadrado mági- 3 Notación científica co. La suma debe ser : 15x2 + 3 13. Calcula: 2(x2-1) a. 720 · 10 + 0,05 · 10 - 0,72 -3 2 5x2 + 1 b. (1,5 · 104 + 50 · 102 ): 7,5 · 10-12 (2x)2 4(2x2 +1) 14. Efectúa las operaciones y expresa el re- sultado en notación científica: 19. Reescribe las expresiones siguientes, usa a. (3,2 · 10 + 16 · 10 - 5000 · 10 ) + 0,62 · 10 12 3 6 10 las identidades notables: b. (72 · 10-4 - 0,0012) · 0,0000051 a. 9 + 6x + x2 = (…+ …)2 b. y 2 - 2yx + x2 = (…- …)2 4 Intervalos c. … 2- 4 …+ … 2 = (2a - b)2 15. Escribe de forma simbólica y representa d. 9y 2 + 6yx + x 2 = (…+ …) 2 gráficamente estos dos intervalos: e. 9 - x 2 = ( ) (3…x) a. Números reales mayores o iguales que f. 9y 2 - 4x 2 = - 6 y menores o iguales que - 3. b. Números reales mayores que - 2. 20. Dados los polinomios: 16. Calcula el intervalo común a cada una A (x) = 3 x³ − 1 x² + x - 3 de las siguientes parejas de intervalos: 5 10 2 B (x) = 5 x + 105x − 7 4 a. (-6, 2) y (-2, 3] d. [6, 9) y [6, 7] 2 b. (-3, 5] y (0, 3] e. [-5, -3) y (-4, -3] C (x) = 2 x³ − x – 1 5 c. [0, 6] y (1, 4] f. (-11, 1) y (0, 1) Realiza las siguientes operaciones: 5 Operaciones con polinomios a. A (x) · B (x) b. A (x) · C (x) − x2 · B (x) 17. Disponemos del siguiente tapiz. c. [A (x) + B (x)] x + C (x) y ↔ y ↔ 6 Factorización y ↔ y ↔ y ↔ 21. Factoriza estos polinomios. ↔ y ↔ Prohibida su reproducción X a. x3+ x2 - 9x – 9 —Escribe la expresión algebraica de: b. 5x³ + 15x² - 65x – 195 a. El área total del tapiz c. 5 x³ + 5 x² − 20x − 20 b. El área de color verde d. 1 m3 - 27 n3 c. El área de color amarillo 8 64 12  barril resulta a $ 95, ¿cuántos barriles se 7 Ecuaciones y sistema de han comprado a cada compañía? ecuaciones 22.Resuelve estas ecuaciones. 8 Funciones y estadísticas a. 1 - 2x - 5 = x - 4x - 7 + 2 x 27. La gráfica siguiente muestra la altura del 40 10 3 agua en el pluviómetro de la estación meteorológica durante un día. b. 3 (2x - 1) - 4 (x - 3) = 1 x - 2 4 5 2 y c. 1 3x- 1 +x =1-x-2 2 4 3 4 5 d. 5 + 2x = 1 0 3 + 4x 2 x e. 3x - 1 - x - 1 1 - x - 2 - x - 1 = 1 - x 2 3 2 3 4 a. ¿Durante qué horas estuvo lloviendo? b. ¿Durante qué horas llovió con más 23.Disponemos de vino de dos calidades di- intensidad? ferentes a precios de $ 0,35 /l y $ 0,80/l. Si c. ¿Cuántos litros por metro cuadrado se queremos obtener 200 l de mezcla que recogieron entre las 2 y las 6 h? resulte a $ 0,50 /l, ¿cuántos litros de cada Nota: Una variación de 1mm en el nivel clase tenemos que mezclar? del agua equivale a 1 litro por me- tro cuadrado. 24.Al aumentar en 10 m los lados de un cua- drado obtenemos otro cuadrado cuya 28.Representa gráficamente la función dada superficie es 200 m2 mayor. ¿Cuáles son por la siguiente tabla de valores. las dimensiones de los dos cuadrados? Distancia en km (x) 1 2 3 4 25.Realizamos una prueba tipo test de 50 Importe en dólares (y) 3,8 4,6 5,4 6,2 preguntas en la que las respuestas co- rrectas sumaban 0,5 puntos y las no con- a. Indica qué tipo de función has represen- testadas o incorrectas restaban 0,15. Si la tado. nota final fue de 15,25, ¿cuántas pregun- tas se contestaron correctamente? b. Calcula la pendiente y la ordenada en Prohibida su reproducción el origen. 26.Se compran barriles de petróleo a dos grandes compañías A y B, que venden el 29.Las estaturas de los dieciséis jugadores crudo a un precio de $105 el barril y $ 80 de un equipo de fútbol son: el barril respectivamente. Si compramos 1,79; 1,74; 1,83; 1,96; 1,75; 1,68; 1,70; 1,76; 2000 barriles y en total el precio medio del 1,78; 1,82; 1,90; 1,80; 1,65; 1,91; 1,86; 1,89. 13  a. Agrupa estos datos en cuatro intervalos 33.La siguiente tabla muestra el consumo que vayan de 1,65 a 1,97, y elabora una de gasolina de cierto vehículo (en litros tabla de distribución de frecuencias. cada 100 km), calculado en doscientas b. Representa las frecuencias absolutas ocasiones. en un histograma y traza el polígono Intervalo [6, 7) [7, 8) [8, 9) [9, 10) [10, 11) de frecuencias. n1 11 39 67 56 27 30.La gráfica representa la evolución de los Determina manualmente la moda, la beneficios obtenidos durante varios años mediana y la media aritmética de la dis- por dos empresas punteras dentro del tribución de datos. mismo sector industrial. ¿Qué beneficio medio anual correspon- 34.En una escuela se desea conocer el nivel de a cada una de las empresas? ¿Cuál cultural de sus alumnos. Para ello, se reali- es más rentable? za un test a cien estudiantes y se obtienen estos datos. Beneficios Puntos [0, 10) [10, 20) [20, 30) [20, 30) [40, 50) n1 12 34 38 12 4 ¿Qué conclusiones pueden extraerse a partir de estos datos? Empresa A Empresa B —Justifica tu respuesta teniendo en cuen- ta los parámetros de centralización y de 0 Año dispersión. 31.Representa gráficamente las siguientes 35.En un lugar se mide la temperatura du- funciones afines. rante quince días y se obtienen estos va- lores (en °C): a. y = x -6 13, 15, 12, 17, 18, 10, 18, 19, 22, 19, 16, 17, 18, b. y = -2 x +1 18, 18. c. y = 3 x + 2 a. Construye la tabla de frecuencias. —Indica en cada una de ellas la pendiente b. Calcula todos los parámetros estadísti- y la ordenada en el origen. cos que ya conoces. 32.Di si las siguientes variables estadísticas 36.Para estudiar la fiabilidad de dos tipos de son cualitativas (ordinales o nominales) o test de control de alcoholemia, se efec- cuantitativas (discretas o continuas). túan varias pruebas de cada uno de ellos Prohibida su reproducción a una misma persona. Los resultados ob- a. Año de nacimiento tenidos son: b. Opinión sobre una determinada pe- Test A: −x = 0,09 mg/dly σ = 0,02 mg/dl lícula. Test B: −x = 0,09 mg/dl y σ = 0,05 mg/dl c. Peso de los estudiantes de una clase —¿Qué test es más fiable? Justifica tu res- d. Color de la camiseta puesta 14  42.De una baraja de cartas se extraen dos 9 Probabilidad y combinatoria cartas, escribe dos sucesos equiproba- bles. ¿Qué combinación es más proba- 37. Indica si los siguientes experimentos son ble: dos figuras o dos ases? ¿Por qué? aleatorios o deterministas, y explica por qué. ¿Cuál es la probabilidad en cada caso? a. Repartir una mano de bridge y mirar las cartas que nos han tocado. 43.Al realizar una extracción de una urna con números del 1 al 20 se obtienen los b. Mezclar pinturas amarilla y azul, y ob- siguientes resultados: servar qué color obtenemos. 1, 1, 2, 6, 8, 10, 3, 15, 12, 20, 12, 11, 12, 1, 7, 5, c. Determinar la presión a la que se en- 4, 2, 1, 2, 9, 10,11, 14, 17, 19, 9, 8, 19, 17, 16, 12, contrará un submarinista a 25 m de 12, 1, 19, 2, 5, 6, 8, 12. profundidad. a. Escribe los resultados anteriores en una tabla. 38.Escribe el espacio muestral de los experi- mentos a continuación. b. Indica cuál o cuáles son los resultados más probables. a. Lanzar una moneda. c. ¿Hay algún resultado que no haya sa- b. Lanzar dos monedas. lido en las extracciones? c. Lanzar un dado con forma de dode- d. Si realizáramos más extracciones, ¿po- caedro. demos asegurar que no saldrán? d. Extraer una bola de una bolsa que con- 44.En un candado de una cadena hay tres tiene cinco bolas numeradas del 1 al 5. ruedas: la primera con números del 0 al 9, la segunda con números del 0 al 4 y la úl- 39.Cogemos una carta de la baraja espa- tima del 0 al 2. ¿Cuántas combinaciones ñola. Indica los resultados favorables a puedes hacer? ¿Cuál es la probabilidad cada uno de los siguientes sucesos. de acertar la combinación? A: Obtener oros. 45.En una carrera compiten solo tres corre- B: No obtener una figura. dores, ¿de cuántas maneras posibles C: Obtener un 5. pueden llegar a la meta? D: Obtener una figura que no sea un rey 46.Completa la tabla siguiente con las —Indica el suceso contrario al suceso A. frecuencias absolutas y relativas del experimento: 40.Si lanzamos dos lados al aire, ¿qué suma tie- xi ni fi ne más posibilidades de salir, par o impar? 1 23 ¿Qué suma tiene más posibilidades 4 o 8? 2 0,19 Prohibida su reproducción 4 5 0,20 41. En una bolsa con 10 bolas, 6 rojas y 4 blancas, calcula la probabilidad de los 6 17 siguientes sucesos: N 100 a. Sacar una bola roja a. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 6? b. Sacar una bola amarilla b. ¿Y de sacar par? 15  1 Números reales CONTENIDOS: 1. Conjunto de números reales 1.1. Propiedades de los números reales 1.2. Propiedades de orden de los números reales 1.3. Potenciación de números reales con exponente entero 1.4. Raíz enésima de un número real 1.5. Radicales. Signos y radicales semejantes 1.6. Operaciones con radicales 1.7. Operaciones combinadas 1.8. Potenciación de números reales con exponente racional 1.9. Intervalos de números reales 1.10. Operaciones con intervalos, unión e intersección 1.11. Operaciones con intervalos, diferencia y complemento 1.12. Valor absoluto y distancia 2. Logaritmos 2.1. Cálculo de logaritmos 2.2. Propiedades de los logaritmos 2.3. Logaritmos en bases distintas de 10 3. Operaciones con polinomios 3.1. Suma, resta y multiplicación de polinomios 3.2. División de polinomios 3,3. Método de Ruffini Prohibida su reproducción 3.4. Teorema del residuo 3.5. Método de Hörner 4. Ecuaciones e inecuaciones 4.1. Ecuaciones de primer grado con una incógnita y con valor absoluto 4.2. Inecuaciones fraccionarias con una incógnita 4.3. Inecuaciones de primer grado con una incógnita y con valor absoluto 4.4. Ecuaciones irracionales 16  https://goo.gl/MtFhvH Noticias: El 14 de marzo se celebra el Día del Número Pi El físico Larry Shaw fue quien, en 1988, creó este día conmemorativo, que en aquel entonces tuvo su primera celebración en el Museo Explorato- rium de San Francisco, en California (EE. UU.), donde Shaw trabajaba. El Día Nacional de Pi fue reconocido por la Cámara de Representantes de los Estados Unidos en el año 2009. RPP noticias, 14/03/2012 http://links.edebe.com/ftikke Películas: En el cine hay diversas películas en las que el número adquiere protagonismo. Un ejemplo es Cortina rasgada (Alfred Hitchcock, 1966), pero encontrarás otras referencias en el siguiente enlace: http://links.edebe.com/uita Web: En esta página web encontrarás diversas curiosi- dades sobre el número: http://links.edebe.com/4hypw En contexto: 1. Investiga en Internet sobre cuál ha sido la evolución de la cantidad de cifras conoci- das del número π a lo largo de la historia. 2. Los números reales e y son tan conocidos como el número π. ¿Qué tienen en común? —Busca en la Red alguna curiosidad sobre el nú- mero e relacionada con el cálculo financiero. —¿En qué edificios de la Antigüedad está pre- sente el número ? 3. En el artículo “A vueltas con pi” cuyo enlace se incluye más arriba (en el apartado Pelícu- la), se cita un diálogo de la serie Person of Interest sobre la infinitud de las cifras decima- les de π a. ¿Qué sabes sobre los números irraciona- les y el número? b. ¿Qué preguntas o inquietudes te sugiere Prohibida su reproducción que en π estén incluidos todos los núme- ros y todas las palabras del mundo? c. ¿Qué te gustaría investigar sobre el tema? Ponga en común sus respuestas en el gru- po de clase y establezcan posibles estra- tegias de investigación. 17  1. Conjunto de los números reales Ya conoces las operaciones de adición y multiplicación en el conjunto de los números ra- cionales y también sus propiedades. En el caso de números irracionales, tomaremos aproxi- maciones decimales de estos números y operaremos con ellas. Es decir, las reduciremos a operaciones con números racionales. Adición de números reales Multiplicación de números reales Para sumar dos números reales, sumamos las sucesi- Para multiplicar dos números reales multiplicamos vas aproximaciones decimales del mismo orden. las sucesivas aproximaciones decimales del mismo orden. 3 = 1.732 050 80... ; 8 = 2.828 427 12... 6 = 2.449 489 74...; = 3,141 592 65... 1.732 0 < 3 < 1.732 1 2.449 4 < 6 < 2.449 5 + + 2.828 4 < 8 < 2.828 5 x 3.141 5 < < 3.141 6 4.560 4 < 3 + 8 < 4.560 6 7.694 790 1 < 6 < 7.695 349 2 El número real suma de 3 + 8 es: El número real suma de 6 es: 3 + 8 ≈ 4.560 5 6 = 7.694 795 Observa que solo son correctas tres de las cuatro ci- En este caso, solo podemos asegurar las dos primeras fras decimales obtenidas al sumar las aproximacio- cifras decimales del producto. Como en la adición, si nes. Si queremos obtener la suma con un determina- queremos obtener el producto con un determinado do orden de aproximación, debemos tomar algún orden de aproximación, debemos tomar algún orden orden más en los sumandos. más en los factores. Tabla 1 1.1 Propiedades de los números reales Como la adición y la multiplicación de números reales consisten en sumar y multiplicar apro- ximaciones decimales, que son números racionales, las propiedades en ℝ son las mismas que en ℚ. Se cumple: ∀ a, b, c ∈ ℝ ES RA UP O IÉN S BL DO Adición Multiplicación Y TAMB REC RTA TIC LCULA EN GR y también: O CA Asociativa: Elemento neutro: Sustracción y división de nú- a + (b + c) = (a + b) + c a 1=1 a=a meros reales Elemento neutro: Asociativa: La resta de dos núme- a+0=0+a=a a (b c) = (a b) c ros reales la obtenemos Elemento opuesto: Elemento inverso: al sumar al minuendo el a + (-a) = (-a) + a = 0 1 a 1 a = a a=1 opuesto del sustraendo. a - b = a + (-b) Conmutativa: Conmutativa: El cociente de dos números a+b=b+a a·b=b·a Prohibida su reproducción reales lo obtenemos al mul- Distributiva de la multiplicación respecto de la adición: tiplicar uno de ellos por el in- a (b + c) = a b + a c verso del otro (siempre que éste sea diferente de cero). Tabla 2 a 1 Por cumplirse estas propiedades, decimos que el conjunto =a (b = 0) b b ℝ con las operaciones de adición y multiplicación tiene es- tructura de cuerpo conmutativo. 18 1.2. Propiedades de orden de los números reales Hemos visto que los números reales pueden representarse sobre la recta. Esta representación permite establecer un orden en el conjunto ℝ. O ES RA UP IÉN S BL DO Y TAMB REC RTA TIC LCULA EN GR y también: O Dados dos números reales, a y b, decimos que a es menor que b CA y escribimos a < b si, al representarlos sobre la recta real, a queda El signo ↔ se lee si, y sólo si, situado a la izquierda de b.. y significa que las expresiones que aparecen a ambos la- A partir de la relación b↔b 0. Propiedad reflexiva: a ≤ a Propiedad antisimétrica: a ≤ b y b ≤ a ↔ a = b Propiedad transitiva: a ≤ b y b ≤ c → a ≤ c Propiedad de orden total: a ≤ b o b ≤ a Por último, enunciamos dos propiedades que tienen que ver con las operaciones y las des- igualdades: Si sumamos un mismo número a los dos miembros de una desigualdad, esta se mantiene: si a ≤ b ⇔ a ± c ≤ b ± c Si se multiplican o dividimos los dos miembros de una desigualdad por un mismo número real, se mantiene el sentido de la desigualdad si el número es positivo, y se invierte el sentido si es negativo: si a ≤ b y c ⇔ 0 1 c ⋅ a ≤ c ⋅ b si a ≤ b y c ⇔0 1 c ⋅ a ≥ c ⋅ b Actividades 1. Representa gráficamente de forma 4. Ordena los números reales de cada par. geométrica sobre la recta real los a) - 3 y - 1 b) c) y 3,14 y 11 números 5, 7 y 8 2 2. Representa gráficamente sobre la 5. Representa sobre la recta real y ordena de menor a recta real los números siguientes: mayor los números siguientes: Prohibida su reproducción - 3 , 2 5 , -3 6 2 ; -1 ; 0 ; 3,1514 ; - 3 ; 3 3. Al determinar el valor de 10 con la 6. Ordena de menor a mayor el valor numérico de las si- calculadora obtenemos el siguiente guientes expresiones algebraicas si x es un número real número: 3,16227766…. mayor que 1. Representa sobre la recta este nú- 2 x ; x; x 10- 2 ; 0,3 x ; - 1 x ; 4x mero de manera aproximada. 5 5 9 19  1.3. Potenciación de números reales con exponente entero Sabemos que el producto de varios números racionales iguales puede expresarse como una potencia de base racional. 6 1 1 1 1 1 1 = 1 2 2 2 2 2 2 2 La potencia de base a, es un número real y su exponente es un número natural n, la potencia es el pro- ducto del número a por sí mismo, n veces. an = a a a... a n veces a 6 = a a a a a a = a1 a5 aaaaa Pero, ¿qué sucede si el exponente de una potencia es 1? En tal caso no podemos aplicar la definición de potencia, ya que no existen productos con un único factor. En este caso se toma como valor de la potencia la propia base. Así, por ejemplo, π1 = π. a n+1= a1 n ∈ ℕ, a ∈ ℝ an Las operaciones con potencias de base real y exponente natural tienen las mismas propiedades que las de base racional. Consideremos seguidamente el caso en que el exponente sea un número entero. Las potencias de base real y exponente entero positivo son justamente las potencias de base real y exponente natural. Pero ¿qué ocurre si el exponente es 0 o un número entero negativo? A las potencias de exponente 0 o un número entero negativo las definimos de manera que las propiedades de las potencias de exponente natural continúen siendo válidas, en parti- cular la propiedad de la división de potencias de la misma base. Potencias de exponente 0 Potencias de exponente negativo Consideramos la división π 4 : π 4. Consideramos la división π 3 : π 5. π · π· π · π π · π· π · π = 1 = 1 =1 π · π· π · π π · π· π · π π · π π2 1 π4 : π4 π0 = 1 π3 : π5 π -2 = — π2 Si aplicásemos la Si aplicásemos la regla para dividir π4 - 4 = π0 regla para dividir- π 3 - 5 = π -2 potencias potencias Prohibida su reproducción La potencia de base número real a, a ≠ 0, y ex- La potencia de base número real a, a ≠ 0, y ex- ponente 0 es igual a 1. ponente un número entero negativo - es igual al inverso de la potencia de base a y exponen- a 0 = 1, con a ≠ 0 te positivo. 1 a -n = a—n Tabla 3 20  O ES RA UP IÉN S BL DO Y TAMB REC RTA TIC LCULA EN GR 1.4. Raíz enésima de un número real TIC O CA Si accedes a la página http:// Los radicales están estrechamente relacionados con las www.josemariabea.com/in- potencias. En este apartado veremos cómo se relacionan y dex.php/tecnicasde-calcu- aprenderemos a trabajar con expresiones en las que apare- lo-mental/5-raices-cuadradas, cen radicales o potencias de exponente racional. encontrarás una estrategia para calcular mentalmente raíces cuadradas de números Las raíces cuadradas de un número real b son los números reales + entre 1 y 1 000. Observarás que a y – a si y solo si: (+a)² = b y (-a)² = b. Se expresa: b = ± a. el resultado que obtienes es aproximado, pero se va acer- Observa que b debe ser un número real mayor o igual que cando más al resultado real 0, ya que es una potencia par de + a y de - a. De este modo: cuanto mayor es el número. Si el radicando es positivo… Si el radicando es negativo … Existen dos raíces cuadradas que son dos números No existe ninguna raíz cuadrada real. reales opuestos. 25 = ± 5 -3 = ? Tabla 4 También conviene observar que si b es un número racional, su raíz cuadrada puede ser un número racional o irracional. Si el radicando es un racional cuadrado perfecto… Si el radicando no es un racional cuadrado perfecto… La raíz cuadrada es un número 9 3 La raíz cuadrada es un número 2 racional. =± irracional. 3 16 4 Tabla 5 A las raíces de índice diferente de 2 las definimos de forma parecida a las raíces cuadradas. Por ejemplo, el número 125 es el resultado de elevar al cubo el número 5. Así, el número 5 es la raíz cúbica de 125. Y el número -125 es el resultado de elevar al cubo el número -5. Así, el número -5 es la raíz cúbica de -125. n b es la raíz enésima de a, es decir, b= a , si y solo si bn = a, donde a, b son reales y n es un natural mayor que 1 n es el signo radical. b= a n n es el índice del radical. a es el radicando. b es la raíz. Prohibida su reproducción Actividades 7. Señala en cuáles de las fracciones siguientes el numerador y el denominador son cuadrados perfectos. 125 ; 9 ; 99 ; 16 ; 111 ; 169 4 16 35 25 38 81 a. Escribe las raíces cuadradas de todas las fracciones. b. Clasifica las raíces obtenidas en números racionales y números irracionales. 21  1.5. Radicales, signos y radicales semejantes Signo de la raíz Para averiguar cuál será el signo de la raíz, observaremos el signo del radicando y la pari- dad del índice. Fíjate en la siguiente tabla: 3 3 16 2 -16 Raíz 343 = 7 -343 = -7 4 = 4 =? 81 3 81 Paridad del índice Impar Impar Par Par Signo del radicando + - + - Número de raíces Una (positiva) Una (negativa) Dos (positiva y negativa) No tiene Tabla 6 O ES RA UP IÉN S BL DO Y TAMB REC RTA TIC LCULA EN GR TIC Podemos concluir: O CA Si accedes a la página http:// Si el índice es impar, la raíz tiene el mismo signo que el d e s c a r te s. c n i c e. m e c. e s / radicando. edad/4esomatematicasB/ radicales/quincena2_con- Si el índice es par y el radicando es positivo, existen dos tenidos_1f.htm, podrás com- raíces que son dos números reales opuestos. probar, mediante diferentes ejemplos, si dos radicales son Si el índice es par y el radicando es negativo, no existe semejantes o no. ninguna raíz real. Expresiones radicales semejantes Observa el resultado de la siguiente suma: 5 + 5 + 5 + 5 = 4 · 5 n El número 4 es el coeficiente. En general, en una expresión de la forma a b llamamos coe- ficiente al número a que multiplica al radical. Observa las expresiones siguientes: 3 · 5 , 2 5 , - 5 , 12 · 5. En todos los casos tenemos un coeficiente que multiplica a un mismo radical. n n Dos expresiones radicales de la forma a by c b son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando. Actividades 8. Indica el signo de las raíces de estos números reales y efectúalas si es posible. Prohibida su reproducción 11 , 4 11 , 3 27 , 3 3 , 8 108, 3 111 , 4 625 , 1 052 , 5 1 - - - - - 13 13 64 24 172 333 81 4 208 2 9. Agrupa las expresiones radicales semejantes. 3 4 3 4 2; - 2 5; 6 5; 7 3; - 6 2 22  1.6. Operaciones con radicales Podemos multiplicar, dividir, elevar a una potencia o extraer la raíz de cualquier radical. Sin embargo, para sumar o restar dos radicales, estos deben ser semejantes. Suma y resta de radicales La suma o resta de radicales semejantes es otro radical semejante a los dados, cuyo coeficiente es igual a la suma o resta de los coeficientes de los radicales sumandos. n n n a b+c b = (a + c) b Calcula: Ejemplo 1 a. - 2 + 3 2 - 4 2 + 8 2 b. 7 5 - 6 3 + 8 5 - 3 3 - 4 3 c. 12 7 - 8 7 + 9 7 Desarrollo: a. - 2 + 3 2 - 4 2 + 8 2 = (-1 + 3 - 4 + 8) 2=6 2 b. 7 5 - 6 3 + 8 5 - 3 3 - 4 3 = (7 + 8) 5 + (-6 - 3 - 4) 3 = 15 5 - 13 3 c. 12 7 - 8 7 + 9 7 = (12 - 8 + 9) 7 = 13 7 Multiplicación de radicales El producto de radicales del mismo índice es igual a otro radical con igual índice cuyo coe- ficiente y cuyo radicando son iguales, respectivamente, a los productos de los coeficientes y los radicandos de los factores. n n n a b c d=a c b d División de radicales El cociente de dos radicales del mismo índice es igual a otro radical con igual índice cuyo coeficiente y cuyo radicando son iguales, respectivamente, al cociente de los coeficientes y los radicandos de los radicales dividendo y divisor. n a b a n b = n c b c d Actividades 10. Efectúa. 11. Expresa como la raíz de un cociente: Prohibida su reproducción a. - 2 7 + 5 7 - 8 7