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# Fonction logarithme népérien ## I. Définition La fonction logarithme népérien, notée $ln$, est définie sur $]0; +\infty[$ et est la primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ qui s'annule en $1$. ## II. Propriétés algébriques Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$ et pour tout en...

# Fonction logarithme népérien ## I. Définition La fonction logarithme népérien, notée $ln$, est définie sur $]0; +\infty[$ et est la primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ qui s'annule en $1$. ## II. Propriétés algébriques Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$ et pour tout entier relatif $n$: - $ln(ab) = ln(a) + ln(b)$ - $ln(\frac{1}{b}) = -ln(b)$ - $ln(\frac{a}{b}) = ln(a) - ln(b)$ - $ln(a^n) = n \cdot ln(a)$ - $ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} ln(a)$ ## III. Étude de la fonction ### 1. Sens de variation La fonction $ln$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ et sa dérivée est la fonction inverse, c'est-à-dire que pour tout réel $x > 0$, $ln'(x) = \frac{1}{x} > 0$. On en déduit que la fonction $ln$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$. ### 2. Limites - $\lim_{x \to +\infty} ln(x) = +\infty$ - $\lim_{x \to 0} ln(x) = -\infty$ ### 3. Valeurs remarquables - $ln(1) = 0$ - $ln(e) = 1$ ### 4. Courbe représentative La courbe représentative de la fonction $ln$ est donnée ci-dessous: *Image: A graph of the natural logarithm function, labeled ln(x), which passes through the points (1,0) and (e,1). It starts from negative infinity on the y-axis as it approaches x=0 from the right, and slowly increases towards positive infinity as x increases.* ### 5. Dérivées $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ ## IV. Exercices types ### 1. Résolution d'équations et d'inéquations a) $ln(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ b) $ln(x) > 0 \Leftrightarrow x > 1$ c) $ln(2x - 1) = ln(x + 3) \Leftrightarrow 2x - 1 = x + 3 \Leftrightarrow x = 4$ d) $ln(x + 2) < 3 \Leftrightarrow 0 < x + 2 < e^3 \Leftrightarrow -2 < x < e^3 - 2$ ### 2. Étude de fonctions Soit $f$ la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = x - ln(x)$. a) Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. - $\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty$ - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ b) Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. $f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ c) Dresser le tableau de variation de $f$. *Table:* | x | 0 | 1 | $+\infty$ | | ---- | -------- | ----- | -------- | | f'(x) | - | 0 | + | | f(x) | $+\infty$ | 1 | $+\infty$ | d) En déduire le minimum de $f$. La fonction $f$ admet un minimum en $x = 1$ qui vaut $1$.