19 Quantumfysica PDF

# 19 Quantumfysica ## Inhoud: - Introductie Alain en de quantumlamp - De aanloop naar de quantumfysica - Deeltjes en golven - Waarschijnlijkheid en complementariteit - Deeltjes in de put - Quantumtunnelen - Toepassing - Samenvatting - Proefwerkopgaven ## Je leert in dit hoofdstuk: - dat lichtgolve...

# 19 Quantumfysica ## Inhoud: - Introductie Alain en de quantumlamp - De aanloop naar de quantumfysica - Deeltjes en golven - Waarschijnlijkheid en complementariteit - Deeltjes in de put - Quantumtunnelen - Toepassing - Samenvatting - Proefwerkopgaven ## Je leert in dit hoofdstuk: - dat lichtgolven ook deeltjeseigenschappen hebben - dat deeltjes ook golfeigenschappen hebben - dat de energietoestanden in een atoom te maken hebben met de golfeigenschappen van de elektronen - dat de waarschijnlijkheid om een deeltje bij een plaatsmeting ergens aan te treffen wordt bepaald door de amplitude van de quantumgolf - dat quantumdeeltjes kunnen worden aangetroffen op plekken waar klassieke deeltjes niet zouden mogen komen. ## Practica: - De golflengte van een laser - De atomaire afstand in grafiet - QTC-weerstanden ## Introductie Alain en de quantumlamp: - Dit hoofdstuk gaat over quantumfysica, tegenwoordig de basistheorie voor het verklaren van natuurkundige verschijnselen. - Andere theorieën, zoals de mechanica van Newton, blijven in goede benadering bruikbaar, maar vertellen niet het hele verhaal. - Chemische en elektrische eigenschappen van materialen, warmtecapaciteit, kleur, hardheid, allemaal onderwerpen die zonder quantumfysica niet goed begrepen kunnen worden. - Dankzij de quantumfysica zijn nieuwe onderzoeksgebieden toegankelijk geworden, zoals het onderzoek aan atomen, atoomkernen en subatomaire deeltjes. - En veel nieuwe technologieën zouden er zonder quantumfysica niet zijn geweest, bijvoorbeeld alles wat met micro-elektronica te maken heeft. ## 19.1 De aanloop naar de quantumfysica: - Figuur 19.2 gaat over de eigenschap die langs de verticale as is weergegeven als functie van de afstand r tot de kern (ao is de atoomstraal van het waterstofatoom.) - De eigenschap die uitgezet is: de waarschijnlijkheid per volume-eenheid om het elektron aan te treffen. ### 1 Het bohr-atoom: - In 1991 ontdekte Ernest Rutherford dat een atoom een positief geladen atoomkern heeft, die vrijwel alle massa van het atoom bevat. - Daarnaast bevat een atoom een bepaald aantal elektronen. - Door deze ontdekking ontstond een model van het atoom als een soort mini-zonnestelsel, waarin de elektronen als planeetjes rond de atoomkern draaien, in hun baan gehouden door de elektrische aantrekking van de kern. - Dit model had twee grote problemen: - het was volgens de natuurkunde van dat moment niet stabiel omdat de elektronen energie zouden moeten verliezen door elektromagnetische straling uit te zenden - het kon het bestaan van spectraallijnen niet verklaren - In 1913 kwam Niels Bohr met een model waarin ce banen van de elektronen gequantiseerd zijn. - In dit model van het waterstofatoom draait het elektron rond de kern, maar er zijn alleen banen toegestaan die voldoen aan een quantisatieregel. - Deze regel kan in een iets vereenvoudigde vorm worden geschreven als: *2π rme v = nh* - r is de straal van de baan - me is de massa van het elektron - v is de snelheid van het elektron - n is het baangetal (n = 1, 2, 3...) - h is de constante van Planck. - Alle mogelijke elektronbanen kunnen nu worden genummerd met het baangetal n. - Voor toenemende n liggen deze banen steeds verder van de kern. - De binnenste baan heeft baangetal n = 1. - De straal r van deze binnenste baan heet de bohrstraal van het waterstofatoom en wordt meestal aangegeven als bo, - De toegestane banen zijn te vinden door de quantisatieregel te combineren met de veronderstelling dat de elektrische kracht dient als middelpuntzoekende kracht. - Dan blijkt (zie opdracht 2) dat de energieniveaus van het waterstofatoom worden gegeven door: *En = -13.6/n² (met E in eV)* - Deze formule is precies in overeenstemming met het waargenomen spectrum van waterstof. - Het oorspronkelijke bohrmodel van het atoom uit 1913 zegt alleen iets over waterstof en, in iets aangepaste vorm, over eenmaal geïoniseerd helium. - Eigenschappen van ingewikkelder atomen, zoals het bestaan van energieschillen, werden pas later beter begrepen, met modellen die gebruikmaken van de echte quantumfysica. - Volgens het atoommodel van Bohr uit 1913 draait het elektron in een waterstofatoom in een baan om de kern. - Alleen bepaalde banen zijn hierbij mogelijk. - Er is een kleinst mogelijke baan en de straal van deze baan heet de bohrstraal. - Het model leverde correcte waarden voor de energieniveau's van het waterstofatoom. ## 19.2 Deeltjes en golven: - Figuur 19.5 is gemaakt met een elektronenmicroscoop. - De reden om hiervoor elektronen te gebruiken in plaats van licht is dat: elektronen door hun lading gevoelig zijn voor andere structuren dan licht. ### 4 Golfverschijnselen en interferentie: - Figuur 19.6 laat een wateroppervlak zien waar net een paar regendruppels op gevallen zijn. Je ziet daar dat de golfpatronen die door verschillende druppels zijn gemaakt door elkaar heen lopen. - Het patroon ontstaat doordat golven elkaar beïnvloeden. - Als golven elkaar tegenkomen gaat elke golf in dezelfde richting door en in ieder punt vind je de resulterende uitwijking door de uitwijkingen van de afzonderlijke golven bij elkaar op te tellen. - Deze interactie tussen golven, waarbij een nieuw golfpatroon ontstaat doordat golven door elkaar heen lopen heet interferentie. - Voorbeelden van interferentie ben je al eerder tegengekomen in hoofdstuk 9 bij het ontstaan van staande golven in muziekinstrumenten. - Na het aanslaan van een snaar planten de golven zich in beide richtingen voort en worden weerkaatst bij de uiteinden. - De golven die vervolgens in tegengestelde richting steeds door elkaar heen lopen interfereren met elkaar. - Hierdoor kan het patroon van knopen en buiken ontstaan zoals afgebeeld in figuur 19.7 - De knoop in het midden ontstaat hier doordat de golf die van links komt op dit punt precies in tegenfase is met de golf die van rechts komt. - Beide golven doven elkaar uit. Er is sprake van destructieve interferentie. - Bij de buik versterken beide golven elkaar. Er is sprake van constructieve interferentie. ## 19.3 Waarschijnlijkheid en complementariteit: - "God dobbelt niet." is een uitspraak van Albert Einstein. ### 11 Intensiteit en waarschijnlijkheid: - Elke golf kent drie onafhankelijke grootheden: de frequentie, de golflengte- waaruit de golfsnelheid is te berekenen- en de amplitude. - Van de golfeigenschappen van deeltjes is de frequentie aan de energie gekoppeld en de golflengte aan de impuls. - De vraag is dus nog welke deeltjeseigenschap overeenkomt met de amplitude van de golf. - Uit de theorie van elektromagnetische straling is bekend dat de intensiteit van het licht evenredig is met het kwadraat van de amplitude van de lichtgolf. - Als we nu ditzelfde licht bekijken als een stroom deeltjes, dan moet intensiteit in termen van deeltjes worden uitgedrukt. - De intensiteit is dan evenredig met het aantal fotonen dat per seconde passeert. - Uit de combinatie van deze twee gegevers volgt dat het aantal fotonen evenredig moet zijn met het kwadraat van de amplitude van de golf. - Maar dit geeft wel een probleem. - Stel dat in een tweespletenexperiment de lichtintensiteit zo klein gemaakt wordt dat er maar één enkel foton voorbijkomt. - Hoe kan dan het kwadraat van de amplitude van de golf nog evenredig zijn met het aantal deeltjes? - Uit dit dilemma werd de volgende uitweg gevonden: - Als we van een deeltje gaan meten waar het zich bevindt, dan is het kwadraat van de amplitude op een gegeven plaats evenredig met de waarschijnlijkheid dat een deeltje daar gevonden wordt. - Doen we dit nu met zeer veel deeltjes dan is het percentage deeltjes op de gegeven plek gelijk aan de waarschijnlijkheid op die plek, dus evenredig met het kwadraat van de amplitude. - De dualiteit van golf en deeltje en de waarschijnlijkheidsregel hebben geleid tot veel twijfel en discussie. - Als de uitkomsten van de quantumfysica bestaan uit waarschijnlijkheden, dan betekent dit dat de natuur fundamenteel onvoorspelbaar is. - Voor sommige natuurkundigen, waaronder Einstein, was dit onverteerbaar. - Hij heeft hierover zeer uitgebreide discussies gevoerd, met vooral Niels Bohr. - Eén van zijn uitspraken was "God dobbelt niet", en hij heeft een flink deel van de rest van zijn leven besteed aan het zoeken naar een diepere theorie, die niet dit soort fundamentele onzekerheden zou bevatten. - Hij is daar echter niet in geslaagd. - Als van een quantumdeeltje gemeten wordt waar het zich bevindt, dan wordt de kans om het op een bepaalde plek aan te treffen gegeven door het kwadraat van de amplitude van de quantumgolf op die plek. ## 19.4 Deeltjes in een put: - Elektronen in een atoom vallen niet op de kern omdat: de kern hiervoor te klein is. ### 15 Ruimte en energie: - Zowel in het atoommodel van Bohr uit 1913 als in het model van De Broglie uit 1924 werd gesteld dat elektronen om de atoomkern draaien. - In beide modellen werd de elektrische kracht tussen kern en elektron gelijkgesteld aan de middelpuntzoekende kracht. - Rotatie werd dus gezien als de reden dat de elektronen in een atoom niet op de kern vallen. - Volgens de echte quantumfysica is dit beeld onjuist. - In veel toestanden, onder andere de grondtoestand van het waterstofatoom, draait het elektron helemaal niet om de kern. - Rotatie is dus in ieder geval niet de reden dat de elektronen in een atoom niet op de kern vallen. - Om te begrijpen waarom een atoom toch stabiel is, hoeven we niet eens heel nauwkeurig atoommodellen te bestuderen, want de oorzaak is heel algemeen en betrekkelijk eenvoudig. - We stellen op heel algemeen niveau twee vragen: - Waarom is het elektron gebonden aan het atoom? - Waarom valt het niet op de kern? - Antwoord 1: De elektrische energie is negatief en als de totale energie ook negatief is zit het elektron opgesloten. - Het heeft dan niet genoeg bewegingsenergie om te ontsnappen. - Antwoord 2: De bewegingsenergie wordt groter naarmate de bewegingsruimte afneemt. - Het zou veel te veel energie kosten om het elektron samen te persen in een ruimte zo klein als de atoomkern. - Als een deeltje is opgesloten in een kleine ruimte, dan moet de golffunctie zijn opgebouwd uit kleine golflengten. - Bij een korte golflengte hoort wegens p = h/λ een grote impuls. - Bij een grote impuls hoort wegens Ek = p²/2me een grote bewegingsenergie. - Conclusie: Hoe kleiner de ruimte waarin een quantumdeeltje zich bevindt, hoe groter de minimale bewegingsenergie. - Bijvoorbeeld voor het H-atoom: - De elektrische energie van het elektron is negatief: Ee = -fe/r en stijgt op toenemende afstand r van de kern evenredig met -r-¹. - De bewegingsenergie is positief: Ek = h²/2mλ² en neemt evenredig met λ-² af naarmate λ groter wordt. Als het atoom kleiner wordt, moeten de golflengten in het golfpakket ook ruwweg evenredig kleiner worden, dus ongeveer met r². - De totale energie verandert dus ongeveer als -ar-¹ + br¯² (met a, b > 0). Iedere functie van deze vorm heeft ergens een minimum. - Ook zonder precies te weten welke golflengten de mogelijke golffuncties zijn opgebouwd, kunnen we dus concluderen dat er voor de totale energie ergens een minimale waarde moet bestaan. - Zie verder opdracht 35. - Naarmate het golfpakket van een deeltje kleiner wordt bevat het steeds kleinere golflengten, dus grotere impulswaarden en meer bewegingsenergie. - Als de potentiële energie afneemt naarmate het golfpakket kleiner wordt, dan is er ergens een evenwicht waarbij de totale energie minimaal is. - Een andere manier om tot dezelfde conclusie te komen is door de onbepaaldheidsrelatie tussen plaats en impuls te gebruiken. - Naarmate het golfpakket van het elektron kleiner wordt, wordt de positie scherper bepaald. - Uit Δpx = h/4π Δx volgt dan dat de onbepaaldheid van de impuls groter moet worden als de onbepaaldheid van x kleiner wordt. - Dit kan alleen als het golfpakket steeds grotere waarden van de impuls bevat en daarmee ook steeds grotere waarden voor de kinetische energie. - Ook hieruit volgt dat er ergens een evenwicht bereikt wordt tussen de elektrische energie, die kleiner wordt, en de kinetische energie, die groter wordt naarmate de straal van het atoom afneemt. - Zie verder opdracht 33. - Naarmate het golfpakket van een deeltje kleiner wordt bevat het steeds kleinere golflengten, dus grotere impulswaarden en meer bewegingsenergie. - Als de potentiële energie afneemt naarmate het golfpakket kleiner wordt, dan is er ergens een evenwicht waarbij de totale energie minimaal is. ## 19.5 Quantumtunnelen: - Op een oppervlak van koper is een ring van ijzeratomen aangebracht, die zichtbaar is gemaakt in figuur 19.34. - Binnen de ring zijn nog enkele ringen zichtbaar. - Deze tonen: de posities van koperatomen die door de aanwezigheid van de ijzeratomen in een ringvormig patroon zijn geforceerd. ### 20 Geen scherpe randen: - Het model van een deeltje in een energieput kan gebruikt worden voor schattingen van de grootte van systemen, bijvoorbeeld van moleculen, atomen en atoomkernen (zie bron 18) - De grootte van een atoom komt dan uit op ongeveer 10⁻⁹ m. - Dit is nogal aan de hoge kant, als je bedenkt dat de kans om het elektron buiten deze afstand aan te treffen ongeveer één op een miljoen is. - Aan de andere kant is het wel opmerkelijk dat de kans om het elektron op nog grotere afstanden van de kern te vinden nooit helemaal nul wordt. - Dit laatste is een opmerkelijke eigenschap van eigenlijk alle quantumsystemen. - Een echt quantumdeeltje kun je niet zodanig opsluiten dat de kans om it buiten een scherpbepaalde rand te vinden nul is. - In een beter model houdt de golffunctie van het deeltje niet op bij de rand, maar loopt exponentieel af over de rand, zoals bij de staande golf die in figuur 19.35 is weergegeven. - Naarmate de energieput dieper wordt kan het deeltje minder ver in de rand doordringen en naarmate de afstand buiten de rand toeneemt wordt de kans om het deeltje aan te treffen exponentieel kleiner. - Maar er is nergens een echte grens. - Deze effecten zijn volgens de klassieke fysica onmogelijk en we merken er op macroscopisch niveau ook niets van. - Maar op het niveau van moleculen, atomen, kernen en kleiner speelt dit effect een heel belangrijke rol in een reeks van verschijnselen, van radioactief verval tot het ontstaan van moleculaire bindingen. - Of iets mogelijk of onmogelijk is, heeft in dit verband te maken met de kinetische energie. - In de klassieke fysica is het vanzelfsprekend dat kinetische energie nooit negatief kan zijn. - In de quantumfysica is dit anders. - Positieve kinetische energie betekent dat de golffunctie periodiek is (in het witte gedeelte in figuur 19.35) - Negatieve energie kan ook, maar dan gaat de golffunctie exponentieel naar nul (in het blauwe gedeelte in figuur 19.35). - Met andere woorden: als je een bal in de lucht gooit is er volgens de quantumfysica een kans dat hij hoger komt dan volgens de klassieke natuurkunde zou kunnen (maar boven de klassiek mogelijke hoogte neemt die kans wel heel snel af). - Quantumdeeltjes kunnen plaatsen bereiken waar ze klassiek niet zouden kunnen komen. ## Samenvatting **Golven en deeltjes** - Alle straling en alle materie bestaat uit quantumdeeltjes/quantumgolven. - Deze twee woorden worden hetzelfde bedoeld. - Quantumdeeltjes gedragen zich al naar gelang de omstandigheden: - Soms als een golfverschijnsel, bijvoorbeeld: - Er treden interferentieverschijnselen op, zoals in een dubbelspleetexperiment. - Elektronen gedragen zich in een atoom als staande golven. - Soms als deeltjes, bijvoorbeeld: - Het foto-elektrisch effect wordt veroorzaakt door fotonen. - Atomen verliezen stapsgewijs energie door het uitzenden van fotonen. - In een atoom is altijd een geheel aantal elektronen aanwezig. - Deeltjesgedrag en golfgedrag zijn aspecten van het gedrag van quantumdeeltjes die elkaar aanvullen en afwisselen. - Bijvoorbeeld: elektronen kunnen stuk voor stuk worden afgeschoten op een dubbelspleetdiafragma, en erachter ook weer stuk voor stuk worden waargenomen. - Punt voor punt verschijnt dan niettemin een patroon dat wijst op interferentie en golfgedrag. - Tussen golf-en deeltjeseigenschappen bestaan de volgende verbanden. |Grootheid | Golf | deeltje | | ---------- | -------- | -------- | | Impuls | p = h/λ | p= mv | | Energie | E= hf | Ek = ½ mv² (als v << c) | | Intensiteit is evenredig met | Kwadraat van de amplitude | waarschijnlijkheid om het deeltje aan te treffen | **Quantumeffecten** - Quantumeffecten bij macroscopische voorwerpen zijn relatief zo klein dat ze niet opvallen. - Duidelijke effecten zijn wel te verwachten op de schaalgrootte van de golflengten van deeltjes en vooral bij systemen die van diezelfde orde van grootte zijn. **Het tunneleffect** - Het tunneleffect houdt in dat deeltjes door een energiebarrière heen kunnen verschijnen op plaatsen die volgens de klassieke fysica verboden zijn. - De waarschijnlijkheid hiervan neemt sterk af naarmate de barrière hoger en breder wordt en de massa van de deeltjes groter. **Nulpuntsenergie** - Nulpuntsenergie is de energie die een deeltje nog heeft in zijn laagste energietoestand. - Voor een deeltje dat wordt opgesloten in een ruimte met omvang L moet voor de onbepaaldheid in plaats gelden dat Δx ≤ L. - Uit Heisenbergs onbepaaldheidsrelatie Δx Δp ≥ h/2π volgt dan dat de impuls, en dus ook de kinetische energie niet nul kunnen zijn. **Meer specifiek geldt voor een deeltje dat wordt opgesloten in een energieput:** * λn = 2L/n * pn = nh/λn = nh/2L; En = (pn)²/2m = n²h²/8mL² **Wetenschap en technologie** - De quantumfysica heeft grote invloed gehad op de ontwikkelingen in wetenschap en technologie. - Een paar voorbeelden: - De kennis van atomen en moleculen is enorm toegenomen, en heeft de ontwikkeling mogelijk gemaakt van de moderne scheikunde, materiaalonderzoek, etcetera. - Quantumfysica en relativiteitstheorie zijn bij uitstek de basis voor de hedendaagse deeltjesfysica. - Apparaten zoals de elektronenmicroscoop en de scanningtunnelingmicroscoop zijn alleen mogelijk door het golfkarakter van elektronen. - De kennis die nodig is voor de fabricage van precisie halfgeleidercomponenten, zoals de microtransistors in de chips van een gsm-toestel, komt vrijwel geheel voort uit de quantumfysica. # Proefwerkopgaven 1. Een elektronenbundel met lage intensiteit wordt gericht op een diafragma met twee spleten. Even later treffen de elektronen één voor één een fotografische plaat. - Maak aan de hand van een viertal beelden uit een 'tekenfilm' duidelijk wat voor beeld er op de fotografische plaat ontstaat en hoe het ontstaat? - Jan zegt dat het experiment aantoont dat elektronen met zichzelf interfereren, en dat dus de individuele elektronen golfgedrag vertonen. Geef commentaar op wat Jan hier zegt. 2. Figuur 19.56 is een voorstelling van de waarschijnlijkheid om bij een plaatsmeting een deeltje op een bepaalde plaats in een energieput te vinden. Uit de figuur blijkt dat het deeltje een klein eindje de wand van de put in tunnelt. - Neem de figuur over en geef zo goed mogelijk aan waar zich de randen van de energieput bevinden. - Schat de kans om het deeltje bij een plaatsmeting buiten de rand van de put te vinden? - Schets in dezelfde figuur ook de golffunctie. - De energieput heeft een lengte van 1,50 nm. Het deeltje heeft een massa van 1,01 u. Bereken de energie van het deeltje in J en in eV. Houd bij hierbij geen rekening met de exponentiële uiteinden van de golffunctie. 3. Een huisvlieg met gemiddelde massa vliegt met maximale snelheid door de huiskamer. - Bereken de golflengte van de vlieg. - Bereken ook de frequentie van de vlieg bij deze snelheid. - De vlieg probeert vervolgens stil te zitten, maar wordt hierbij gehinderd door zijn nulpuntsenergie. De kamer is 8,0 m lang en 4,0 m breed. Leg uit welk van deze twee maten meer bijdraagt aan de nulpuntsenergie, de lengte of de breedte? - De kamer is 2,5 m hoog. Bereken de nulpuntsenergie van de vlieg in deze kamer. Verwaarloos hierbij de bijdrage van de lengte en de breedte. - De nulpuntsenergie kan ook geschat worden door de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg te gebruiken. Vergelijk het resultaat hiervan met het antwoord uit d. 4. Bij een chemische reactie ontstaat een molecuul A waarin twee elektronen vrij kunnen bewegen over een afstand van 0,40 nm. - Bereken de nulpuntsenergie van deze twee elektronen samen. - Een van de twee elektronen komt bij een botsing met een ander molecuul in een hogere energietoestand. Bereken hoeveel energie hier minimaal voor nodig is. - Het elektron valt terug naar de grondtoestand en zendt hierbij een foton uit. Bereken de golflengte van het foton. - Bij een volgende chemische reactie tussen twee moleculen A wordt een molecuul B gevormd, waarin vier elektronen vrij kunnen bewegen over een afstand van 0,80 nm. Vergelijk de nulpuntsenergie van de vier elektronen samen in molecuul B met de oorspronkelijke nulpuntsenergie in de twee afzonderlijke moleculen A. Houdt hierbij rekening met het gegeven dat in iedere energietoestand maximaal twee elektronen passen. 5. (Naar schoolexamen vwo PMN 2009-II) De ultrasnelle elektronenmicroscoop is een apparaat waarmee scherpe foto's op atomaire schaal kunnen worden gemaakt met tussenpozen van ongeveer 100 fs. Hiervoor worden elektronen losgemaakt uit een fotokathode door een laserpuls met een energie van 5,00. 10⁻¹⁰ J. De golflengte van het laserlicht is 400 nm. - Bereken het aantal fotonen in de laserpuls. - Wat is de kleur van het laserlicht? - Met een rode laserpuls zou dit niet werken, hoe groot de energie ook is. Leg uit dat dit een aanwijzing is voor het deeltjeskarakter van licht. - De vrijgekomen elektronen worden versneld tot een energie van 120 keV. Laat zien dat deze energie groot genoeg is om foto's van atomen te maken. Bereken hiervoor eerst de golflengte van de elektronen.