אלגברה לינארית 2 - משפטים וטענות PDF

‫אלגברה לינארית ‪ 2‬־ משפטים וטענות‬ ‫סוכם ע"פ הרצאות פרופ' מ‪.‬קריבלביץ'‬ ‫אידאלים של פולינומים‬ ‫‪1.2‬‬...

‫אלגברה לינארית ‪ 2‬־ משפטים וטענות‬ ‫סוכם ע"פ הרצאות פרופ' מ‪.‬קריבלביץ'‬ ‫אידאלים של פולינומים‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪ 1‬פולינומים‬ ‫‪!n‬‬ ‫‪ ,‬הגדרה ‪ 1.13‬יהי ‪ F‬שדה‪.‬קבוצת פולינומים ]‪ I ⊆ F [x‬נקראת אידיאל ב־]‪F [x‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫שדה‪ ,‬פולינום הינו ביטוי מהצורה ‪αi xi‬‬ ‫הגדרה ‪) 1.1‬פולינום( יהי‬ ‫אם מתקיים‪:‬‬ ‫כאשר ‪ αi ∈ F‬ו־‪ x‬הינו משתנה‪.‬‬ ‫‪.0 ∈ I.1‬‬ ‫הגדרה ‪) 1.2‬מעלת הפולינום( נניח כי קיים ‪ 0 ≤ i ≤ n‬כך ש־‪ ,αi ̸= 0‬במקרה‬ ‫‪.2‬לכל ‪ f1 , f2 ∈ I‬מתקיים ‪.f1 + f2 ∈ I‬‬ ‫זה נסמן את מעלת הפולינום }‪.deg(p) = max{0 ≤ i ≤ n| αi ̸= 0‬אחרת‪,‬‬ ‫אם ‪ p(x) = 0‬נסמן ∞ = )‪.deg(p‬‬ ‫‪.3‬לכל ‪ f ∈ I‬ולכל ]‪ g(x) ∈ F [x‬מתקיים‪.f g ∈ I :‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.3‬יהי )‪ p(x‬פולינום ממעלה ‪ ,k ≥ 0‬המקדם ‪ αk‬נקרא המקדם המוביל טענה ‪ 1.14‬יהיו ]‪ f1 ,..., fk ∈ F [x‬אזי הקבוצה המוגדרת על ידי‪:‬‬ ‫‪!k‬‬ ‫של )‪.p(x‬פולינום אשר המקדם המוביל שלו הינו ‪ 1‬נקרא פולינום מתוקן‪.‬‬ ‫}]‪ I = { i=1 gi fi |∀1 ≤ i ≤ k gi ∈ F [x‬הינה אידיאל ב־]‪.F [x‬הקבוצה ‪I‬‬ ‫כנ"ל נקראת האידיאל שנוצר על ידי ‪ f1 ,..., fk‬ומסומנת > ‪.I =< f1 ,..., fk‬‬ ‫משפט ‪ 1.4‬נסמן ב־ ]‪ (Fn [x]) F [x‬את אוסף הפולינומים במשתנה ‪) x‬ממעלה‬ ‫לכל היותר ‪ (n‬עם מקדמים בשדה ‪.F‬אזי ]‪ F [x‬יחד עם פעולות החיבור והכפל משפט ‪) 1.15‬כל אידיאל בחוג הפולינומים הוא ראשי( יהי ]‪ I ⊆ F [x‬אידיאל‪.‬‬ ‫אזי קיים פולינום ]‪ f (x) ∈ F [x‬כך ש־ > ‪.I =< f‬‬ ‫בסקלר הוא מרחב וקטורי ממימד אינסופי )מימד ‪.(n‬‬ ‫הערה‪ :‬נניח כי ]‪ I ⊆ F [x‬אידיאל ו־ > ‪.I =< f1 >=< f2‬אז ‪ f1 , f2‬הם‬ ‫כפולות אחד של השני‪ ,‬כלומר קיים ‪ 0 ̸= λ ∈ F‬כך ש־ ‪.f1 = λf2‬‬ ‫טענה ‪ 1.5‬לכל שני פולינומים ]‪ p(x), q(x) ∈ F [x‬מתקיים כי‪:‬‬ ‫)‪.deg(pq) = deg(p) + deg(q‬‬ ‫מחלקים משותפים‬ ‫‪1.3‬‬ ‫משפט ‪ 1.6‬יהיו ]‪ f, g ∈ F [x‬פולינומים כאשר ‪.g(x) ̸= 0‬אזי קיימים פולינומים‬ ‫הגדרה ‪ f1 , f2 ∈ F [x] 1.16‬פולינומים‪ ,‬פולינום ]‪ g(x) ∈ F [x‬נקרא מחלק‬ ‫יחידים ]‪ q(x), r(x) ∈ F [x‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫משותף מירבי של ‪ f1 , f2‬אם מתקיים‪:‬‬ ‫‪ g.1‬מחלק את ‪ f1‬ואת ‪.f2‬‬ ‫)‪f (x) = q(x)g(x) + r(x) & deg(r) < deg(q‬‬ ‫‪.2‬אם ]‪ h ∈ F [x‬מחלק את ‪ f1 , f2‬אזי ‪ h‬מחלק את ‪.g‬‬ ‫סימון‪ :‬קבוצת כל המחלקים המשותפים של ]‪ f1, f2 ∈ F [x‬מסומנת ב־‬ ‫הגדרה ‪ 1.7‬אם ]‪ f, g ∈ F [x‬פולינומים כך שקיים ]‪ q(x) ∈ F [x‬עבורו ‪gcd(f1 , f2 ) ⊆ F [x] ,f = qg‬‬ ‫נאמר כי ‪ f‬מתחלק ב־‪ g‬ו־‪ g‬מחלק את ‪.f‬‬ ‫משפט ‪ 1.17‬יהיו ]‪ f1 , f2 ∈ F [x‬אזי ]‪ g ∈ F [x‬מקיים > ‪ < g >=< f1 , f2‬אם‬ ‫ורק אם ) ‪.g ∈ gcd(f1 , f2‬כלומר‪.gcd(f1 , f2 ) = {g :< g >=< f1 , f2 >} :‬‬ ‫‪ 1.1‬שורשים של פולינומים‬ ‫טענה ‪ λ ∈ F 1.8‬הוא שורש של פולינום ]‪ p(x) ∈ F [x‬אם ורק אם )‪ p(x‬הגדרה ‪ g ∈ F [x] 1.18‬הוא מחלק משותף מקסימלי של ]‪ f1 ,.., fn ∈ F [x‬אם‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫מתחלק ב־)‪.(x − λ‬‬ ‫‪ g.1‬מחלק את ‪.f1 ,..., fn‬‬ ‫הגדרה ‪) 1.9‬ריבוי של שורש( יהי ]‪ 0 ̸= p(x) ∈ F [x‬פולינום ונניח כי ‪λ ∈ F‬‬ ‫‪.2‬אם ]‪ h ∈ F [x‬מחלק את ‪ f1 ,..., fn‬אזי ‪ h‬מחלק את ‪.g‬‬ ‫הינו שורש של )‪.p(x‬המספר השלם ‪ s ≥ 1‬הגדול ביותר עבורו )‪ p(x‬מתחלק‬ ‫ב־ ‪ (x − λ)s‬נקרא הריבוי של ‪ λ‬כשורש של )‪.p(x‬‬ ‫משפט ‪ 1.19‬לכל ]‪ f1 ,..., fn ∈ F [x‬קיים‪:‬‬ ‫משפט ‪ 1.10‬יהי ]‪ p(x) ∈ F [x‬פולינום ממעלה ‪ n ≥ 1‬ו־ ‪.gcd(f1 ,..., fn ) = {g ∈ F [x] :< g >=< f1 ,..., fn >} λ ,..., λ ∈ F‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫שורשים שונים של )‪.p(x‬אזי )‪ p(x‬מתחלק ב־) ‪.(x − λ1 )...(x − λk‬‬ ‫‪ 1.4‬פולינומים אי פריקים ופירוק לפולינומים אי־פריקים‬ ‫הגדרה ‪ 1.20‬פולינום ]‪ p ∈ F [x‬נקרא אי־פריק אם‪:‬‬ ‫מסקנה ‪ 1.11‬לכל פולינום )‪ p(x‬ממעלה ‪ n ≥ 1‬יש לכל היותר ‪ n‬שורשים‪.‬‬ ‫‪.deg(p) ≥ 1.1‬‬ ‫טענה ‪) 1.12‬תרגיל( אם ‪ r ∈ Q‬שורש של פולינום ∈ ‪f (x) = an xn +.. + a0‬‬ ‫‪.2‬אם קיימים פולינומים ]‪ f, g ∈ F [x‬כך ש־‪ p = f g‬אזי ‪ g‬או ‪ f‬הוא קבוע‬ ‫]‪ Z[x‬ונסמן ‪ r = pq‬כאשר ‪ p, q ∈ Z‬ו־ ‪ gcd(p, q) = 1‬אזי מתקיים כי ‪ q‬מחלק‬ ‫≠ ‪) 0‬כלומר ‪ deg(g) = 0‬או ‪.(deg(p) = 0‬‬ ‫את ‪ an‬ו־‪ p‬מחלק את ‪.a0‬‬ ‫‪1‬‬  ‫הפולינום האופייני של העתקה ליניארית‪/‬מטריצה‬ ‫‪2.1‬‬ ‫משפט ‪) 1.21‬קיום ויחידות פירוק לגורמים אי פריקים(‬ ‫יהי ]‪ p(x) ∈ F [x‬פולינום כך ש־‪ ,deg(p) ≥ 1‬אזי קיימים פולינומים אי־פריקים‬ ‫טענה ‪ 2.10‬תהי ) ‪ A ∈ Mn (F‬מטריצה‪ ,‬אזי ‪ λ ∈ F‬הוא ע"ע של ‪ A‬אם ורק‬ ‫]‪ p1 ,..., pn ∈ F [x‬כך ש־ ‪.p = p1 p2...pn‬‬ ‫אם ‪.det(λI − A) = 0‬‬ ‫יתרה מזאת אם ‪ p = p1 p2...pn‬וכן ‪ p = q1 q2...qm‬כאשר‬ ‫]‪ p1 ,..., pn , q1 ,..., qm ∈ F [x‬אזי ‪ m = n‬וקיימת תמורה ‪ σ ∈ Sn‬וקבועים‬ ‫הגדרה ‪ 2.11‬תהי ) ‪ A ∈ Mn (F‬מטריצה אזי המטריצה ‪ t)B = tI − A‬משתנה(‬ ‫‪ λ1 ,..., λn ∈ F‬כך ש־ )‪.∀1 ≤ i ≤ n : pi = λi qσ(i‬‬ ‫נקראת המטריצה האופיינית של ‪.A‬הפונקציה )‪ det(tI − A‬נקראת הפולינום‬ ‫מסקנה‪ :‬יהי ]‪ f ∈ F [x‬פולינום ממעלה ‪ 1‬לפחות‪.‬אזי קיים ייצוג יחיד האופייני של ‪ A‬ומסומנת ב־)‪.PA (t‬‬ ‫‪ f = λp1...pn‬כאשר ]‪ p1 ,..., pn ∈ F [x‬אי ־פריקים ומתוקנים ו־ ‪.λ ∈ F‬‬ ‫טענה ‪ 2.12‬תהי ) ‪ A ∈ Mn (F‬מטריצה אז הביטוי )‪ PA (t‬הינו פולינום מתוקן‬ ‫משפט ‪ 1.22‬יהי ]‪ p(x) ∈ F [x‬פולינום ממעלה ‪ 1 ≤ n‬ונניח כי ‪ λ1 ,..., λk ∈ F‬ממעלה ‪ n‬במשתנה ‪.t‬‬ ‫הם שורשים שונים של )‪ p(x‬עם ריבויים ‪ s1 ,..., sk‬בהתאמה‪.‬אזי )‪ p(x‬מתחלק‬ ‫מסקנה מההגדרה‪ :‬תהי ) ‪ A ∈ Mn (F‬מטריצה אזי ‪ λ ∈ F‬הוא ע"ע של ‪ A‬אם‬ ‫בפולינום ‪.(x − λ1 )s1...(x − λk )sk‬‬ ‫ורק אם ‪ λ‬הוא שורש של הפולינום האופייני )‪.PA (t‬‬ ‫משפט ‪) 1.23‬המשפט היסודי של האלגברה( יהי ]‪ p(x) ∈ C[x‬פולינום ממעלה ‪1‬‬ ‫לפחות‪.‬אזי ל־‪ p‬קיים שורש ‪.λ ∈ C‬‬ ‫משפט ‪ 2.13‬למטריצות דומות יש את אותו הפולינום האופייני‪.‬‬ ‫מסקנה‪ :‬הפולינומים האי־פריקים ב־]‪ C[x‬הם בדיוק הפולינומים הליניאריים‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 2.14‬תהי ‪ T : V → V‬העתקה ליניארית‪.‬הפולינום האופייני של ‪T‬‬ ‫טענה ‪ 1.24‬הפולינומים האי־פריקים ב־]‪ R[x‬הם בדיוק פולינומים ליניאריים המסומן ב־ )‪ PT (t‬הוא הפולינום האופייני של מטריצת הייצוג של ‪ T‬על פי‬ ‫בסיס כלשהו של ‪.V‬‬ ‫ופולינומים ריבועיים ללא שורשים )ממשיים(‪.‬‬ ‫‪ 2.2‬פולינום אופייני וליכסון‬ ‫‪ 2‬ערכים עצמיים וליכסון‬ ‫משפט ‪) 2.15‬תנאי הכרחי לליכסון( אם העתקה ליניארית ‪ T : V → V‬לכסינה‪,‬‬ ‫הגדרה ‪ 2.1‬יהיה ‪ V‬מרחב וקטורי ‪ n‬מימדי )‪ (n ≥ 1‬מעל שדה ‪.F‬העתקה‬ ‫אז הפולינום האופייני )‪ PT (t‬מתפרק לגורמים ליניאריים‪.‬‬ ‫ליניארית ‪ T : V → V‬נקראת לכסינה אם קיים בסיס ‪ B‬של ‪ V‬בו מטריצת‬ ‫הייצוג ‪ [T ]B‬היא מטריצה אלכסונית‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 2.16‬תהי ‪ T : V → V‬העתקה לינארית של מ"ו ‪ V‬מעל שדה ‪.F‬יהי‬ ‫הגדרה ‪) 2.2‬מקבילה למטריצות( מטריצה ) ‪ A ∈ M (F‬נקראת ניתנת ללכסון ‪ λ ∈ F‬ערך עצמי של ‪.T‬‬ ‫‪n‬‬ ‫או לכסינה אם ‪ A‬דומה למטריצה אלכסונית‪.‬כלומר אם קיימת מטריצה הפיכה‬ ‫‪.1‬הריבוי האלגברי של ‪ λ‬הוא הריבוי של ‪ λ‬כשורש של הפולינום האופייני‬ ‫) ‪ P ∈ Mn (F‬ומטריצה אלכסונית ‪ D‬כך שמתקיים ‪.D = P −1 AP‬‬ ‫)‪.PT (t‬‬ ‫‪.2‬הריבוי הגיאומטרי של ‪ λ‬הוא המימד של המרחב העצמי ‪.Vλ‬‬ ‫משפט ‪ 2.3‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי ממימד ‪ n ≥ 1‬ותהי ‪ T : V → V‬העתקה‬ ‫ליניארית‪ T.‬לכסינה אם ורק אם קיים בסיס סדור } ‪ B = {v1 ,..., vn‬וקבועים‬ ‫‪ λ1 ,..., λn ∈ F‬כך שמתקיים‪.∀1 ≤ i ≤ n : T vi = λi vi :‬‬ ‫משפט ‪ 2.17‬תהי ‪ T : V → V‬העתקה ליניארית ו־ ‪ λ ∈ F‬ערך עצמי של ‪ ,T‬אזי‬ ‫הריבוי הגיאומטרי של ‪ λ‬אינו עולה על ריבויו האלגברי‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 2.4‬נניח כי ‪ T (v) = λv‬עבור ‪ λ ∈ F‬ו־ ‪.0 ̸= v ∈ V‬אזי ‪ λ ∈ F‬נקרא‬ ‫ערך עצמי של ‪ T‬ו־ ‪ v ∈ V‬נקרא וקטור עצמי של ‪ T‬השייך לערך עצמי ‪.λ‬‬ ‫משפט ‪) 2.18‬תנאי מספיק והכרחי לליכסון( תהי ‪ T : V → V‬העתקה ליניארית‪,‬‬ ‫טענה ‪ 2.5‬תהי ‪ T : V → V‬ה"ל‪ ,‬כאשר ‪ V‬מ"ו מעל שדה ‪ ,F‬ויהי ‪ λ ∈ F‬ערך אזי ‪ T‬לכסינה אם ורק אם‪:‬‬ ‫עצמי של ‪ ,T‬אזי הקבוצה }‪ Vλ = {v ∈ V : T v = λv‬הינה תת מרחב של ‪.V‬‬ ‫‪.1‬הפולינום האופייני )‪ PT (t‬מתפרק לגורמים ליניאריים‪.‬‬ ‫קבוצה זאת נקראת תת המרחב העצמי של ‪ T‬השייך לערך עצמי ‪.λ‬‬ ‫‪.2‬לכל ע"ע ‪ λ ∈ F‬של ‪ T‬הריבוי הגיאומטרי של ‪ λ‬שווה לריבוי האלגברי‪.‬‬ ‫משפט ‪) 2.6‬ו"ע השייכים לע"ע שונים( תהי ‪ T : V → V‬ה"ל ) ‪ V‬מ"ו ‪ n‬מימדי‬ ‫מעל ‪.(F‬נניח כי ‪ λ1 ,..., λk ∈ F‬הם ע"ע שונים של ‪ T‬ו־ ‪ v1 ,..., vk‬הם ו"ע‬ ‫השייכים לערכים העצמיים הנ"ל בהתאמה‪ ,‬אזי הקבוצה } ‪ x = {v1 ,..., vk‬בת"ל ‪ 2.3‬אלגוריתם הליכסון‬ ‫ב־ ‪.V‬‬ ‫נתונה‪ T : V → V :‬העתקה ליניארית‪.‬‬ ‫מסקנה‪ :‬אם ‪ dim V = n‬ולהעתקה ליניארית ‪ T : V → V‬יש ‪ n‬ע"ע שונים‪ ,‬המטרה‪ :‬להכריע האם ‪ T‬לכסינה‪ ,‬ובמידה וכן למצוא בסיס מלכסן‪.‬‬ ‫השיטה‪:‬‬ ‫אזי ‪ T‬לכסינה‪).‬זהו תנאי מספיק אך לא הכרחי(‪.‬‬ ‫‪.1‬מצא את הפולינום האופיינו )‪.PT (t‬‬ ‫טענה ‪ 2.7‬תהי ‪ T : V → V‬העתקה לינארית‪ B ,‬בסיס של ‪ V‬ו־ ∈ ‪A = [T ]B‬‬ ‫‪.2‬אם )‪ PT (t‬לא מתפרק לגורמים ליניאריים‪ ,‬עצרי! ‪ T‬אינה לכסינה ‪):‬‬ ‫) ‪ Mn (F‬מטריצת הייצוג של ‪ T‬לפי בסיס ‪.B‬אזי ל־ ‪ T‬ול־‪ A‬יש את אותם‬ ‫ערכים עצמיים ויתרה מזאת ‪ v ∈ V‬הוא ו"ע של ‪ T‬השייך לע"ע ‪ λ‬אם ורק אם‬ ‫‪.3‬נניח כי ‪λi ̸= λj ) PT (t) = (t − λ1 )s1...(t − λk )sk‬עבור ‪ ,(i ̸= j‬עבור‬ ‫הווקטור ‪ [v]B ∈ F n‬הוא ו"ע של ‪ A‬השייך לע"ע ‪.λ‬‬ ‫‪ 1 ≤ i ≤ k‬מצא את המימד של המרחב העצמי ‪ Vλi‬ובסיסו ‪.Bi‬‬ ‫מסקנה ‪ 2.8‬למטריצות דומות אותם ערכים עצמיים‪.‬‬ ‫‪.4‬אם קיים ‪ 1 ≤ i ≤ k‬עבורו ‪ ,dim Vλi < si‬עצרי! ‪ T‬אינה לכסינה ‪):‬‬ ‫‪"k‬‬ ‫משפט ‪ T : V → V 2.9‬ו־) ‪ A = [T ]B ∈ Mn (F‬מטריצת הייצוג של ‪ T‬על פי‬ ‫= ‪ ,B‬זהו הבסיס המלכסן ‪(:‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪.5‬אחרת ) ‪ (si = dim Vλi‬הגדירו ‪Bk‬‬ ‫בסיס ‪.B‬אזי ‪ T‬לכסינה אם ורק אם ‪ A‬לכסינה‪.‬‬ ‫‪2‬‬  ‫‪.1‬תהיינה ) ‪ A, B ∈ Mn (F‬מטריצות דומות‪ ,‬אזי )‪.MA (t) = MB (t‬‬ ‫‪ 2.4‬שילוש של העתקות מרוכבות‬ ‫‪.2‬נניח כי מטריצה ) ‪ A ∈ Mn (F‬לכסינה אזי ) ‪.MA (t) = (t−λ1 )...(t−λk‬‬ ‫תזכורת‪ :‬מטריצה ) ‪ A ∈ Mn (F‬נקראת משולשית עליונה אם מתקיים‬ ‫כאשר ‪ λ1 ,..., λk‬כל הע"ע השונים של ‪.A‬‬ ‫‪.∀1 ≤ i, j ≤ n : j < i ⇒ aij = 0‬‬ ‫‪.3‬נניח כי למטריצה ) ‪ A ∈ Mn (F‬יש ‪ n‬ע"ע שונים ‪.λ1 ,.., λn ∈ F‬אזי‬ ‫טענה ‪ 2.19‬אם ) ‪ A ∈ Mn (F‬משולשית עליונה עם הערכים ‪ λ1 ,..., λn‬באלכסון‬ ‫) ‪.MA (t) = PA (t) = (t − λ1 )...(t − λk‬‬ ‫אזי הפולינום האופייני של ‪ A‬הינו ) ‪.PA (t) = (t − λ1 )...(t − λn‬‬ ‫הגדרה ‪ T : V → V 2.20‬העתקה ליניארית‪ ,‬בסיס ‪ B‬של ‪ V‬נקרא בסיס משלש ‪3.1.1‬‬ ‫מציאת הפולינום המינימלי‬ ‫אם מטריצת הייצוג ‪ [T ]B‬הינה משולשית עליונה‪.‬‬ ‫משפט ‪ 3.13‬תהי ) ‪ A ∈ Mn (F‬מטריצה ויהי ‪ λ ∈ F‬ע"ע של ‪ A‬אזי ‪ t − λ‬מחלק‬ ‫טענה ‪ 2.21‬בסיס ‪ B‬של מ"ו ‪ V‬משלש את ההעתקה ‪ T : V → V‬אם ורק אם את הפולינום המינימלי )‪.MA (t‬‬ ‫מסקנה‪ :‬לפולינום האופייני )‪ PA (t‬ולפולינום המינימלי )‪ MA (t‬של מטריצה ‪A‬‬ ‫} ‪T vi ∈ sp{v1 ,..., vi‬לכל ‪.1 ≤ i ≤ n‬‬ ‫אותם גורמים לינאריים‪.‬‬ ‫משפט ‪ 2.22‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי ‪ n‬מימדי )‪ (n ≥ 1‬מעל שדה המרוכבים ‪ C‬ו־ ‪ T‬למעשה נכונה טענה כללית יותר‪ :‬ל־)‪ PA (t‬ול־)‪ MA (t‬אותם גורמים אי־פריקים‪.‬‬ ‫העתקה לינארית‪.‬אזי ל־ ‪ T‬קיים בסיס משלש‪.‬‬ ‫‪ 3.1.2‬הפולינום המינימלי של העתקה ליניארית‬ ‫סימון‪ T : V → V :‬ה"ל של מ"ו ‪ V‬מעל שדה ‪ ,F‬נסמן ‪IT = {p(t) ∈ F [t] :‬‬ ‫הצבה של מטריצה‪/‬העתקה ליניארית לתוך פולינום‬ ‫‪3‬‬ ‫}‪.p(T ) = 0‬‬ ‫!‪ A ∈ Mn (F‬מטריצה ) ‪ T : V → V‬ה"ל( ויהי‬ ‫הגדרה ‪ 3.1‬תהי )‬ ‫‪m‬‬ ‫טענה ‪ 3.14‬באופן דומה למקרה המטריצי‪ ,‬לכל ‪ T‬ה"ל‪ ,‬הקבוצה ‪ IT‬הינה‬ ‫]‪ p(t) = i=0 αi ti ∈ F [t‬פולינום‪.‬‬ ‫אידיאל ב־]‪.F [t‬‬ ‫!ידי‪:‬‬‫! ‪ (P (T )) P‬מוגדרת על‬ ‫ההצבה )‪(A‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪.(P (T ) = i=0 αi T i ) P (A) = i=0 αi Ai‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.15‬בהינתן ‪ T : V → V‬ה"ל‪ ,‬הפולינום המתוקן היחיד שיוצר את‬ ‫כאשר ‪ (T 0 = Id) A0 = In‬ו־ ‪.(T i = T ◦... ◦ T ) Ai = A...A‬‬ ‫האידיאל ‪ IT‬נקרא הפולינום המינימלי של ‪ T‬ומסומן ב־)‪.MT (t‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.2‬מטריצה ‪) A‬העתקה ‪ (T‬מאפסת פולינום )‪ p(t‬אם ‪P (A) = 0‬‬ ‫טענה ‪ 3.16‬תהי ‪ T : V → V‬העתקה ליניארית ו־‪ B‬בסיס של ‪.V‬תהי‬ ‫)‪.(P (T ) = 0‬‬ ‫‪ A = [T ]B‬מטריצת הייצוג של ‪ T‬לפי בסיס ‪.B‬אזי ‪) IA = IT‬ולכן גם‬ ‫טענה ‪ 3.3‬אם ]‪ p1 , p2 ∈ F [t‬ו־ ) ‪ A ∈ Mn (F‬אזי מתקיים = )‪ p1 (A)p2 (A‬למטריצת הייצוג ולההעתקה המיוצגת אותו פולינום מינימלי(‪.‬‬ ‫)‪.p2 (A)p1 (A‬‬ ‫מסקנות‪ :‬כמו במקרה המטריצי‪.‬‬ ‫טענה ‪ T : V → V 3.4‬העתקה ליניארית במרחב וקטורי מעל שדה ‪B ,F‬‬ ‫‪ 3.1.3‬פולינום מינימלי וליכסון‬ ‫בסיס של ‪.V‬אם ]‪ p(t) ∈ F [t‬פולינום אזי‪.[p(T )]B = p([T ]B ) :‬‬ ‫משפט ‪ 3.17‬תהי ‪ T : V → V‬העתקה ליניארית של מ"ו ‪ V‬מעל שדה ‪.F‬אזי‬ ‫טענה ‪ 3.5‬תהי ) ‪ D = diag(λ1 ,..., λn ) ∈ Mn (F‬מטריצה אלכסונית ו־‬ ‫‪ T‬לכסינה אם ורק אם הפולינום המינימלי )‪ MT (t‬מתפרק לגורמים ליניאריים‬ ‫]‪ p(t) ∈ F [t‬פולינום‪.‬אזי‪.p(D) = diag(p(λ1 ),..., p(λn )) :‬‬ ‫שונים‪ ,‬כלומר ) ‪ MT (t) = (t − λ1 )...(t − λk‬כאשר ‪ λi ̸= λj‬עבור כל‬ ‫‪.1 ≤ i ̸= j ≤ k‬‬ ‫טענה ‪ 3.6‬נניח כי ) ‪ A ∈ Mn (F‬מטריצה לכסינה‪ ,‬כלומר קיימת = ‪D‬‬ ‫) ‪ diag(λ1 ,..., λn‬ו־‪ Q‬הפיכה כך ש־‪.D = Q−1 AQ‬יהי )‪ p(t‬פולינום‪ ,‬אזי‪:‬‬ ‫‪ 4‬צורת ז'ורדן‬ ‫‪.p(A) = Qp(D)Q−1‬‬ ‫⎡‬ ‫⎤‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫משפט ‪) 3.7‬קיילי־המילטון‪ ,‬למטריצות( תהי ) ‪ A ∈ Mn (F‬מטריצה‪ ,‬ויהי‬ ‫⎢‬ ‫⎥‬ ‫]‪ PA (t) ∈ F [t‬הפולינום האופייני של ‪ A‬אזי מתקיים ‪).PA (A) = 0‬באופן‬ ‫⎢‬ ‫‪0‬‬ ‫⎥‬ ‫⎢ = ‪ ,Jn‬בלוק ז'ורדן נילפוטנטי‬ ‫⎢‬ ‫הגדרה ‪ 4.1‬יהי ‪ F‬שדה‪ ,‬נסמן ⎥‬ ‫⎥‬ ‫דומה גם להעתקות(‪.‬‬ ‫⎣‬ ‫‪1‬‬ ‫⎦‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 3.1‬הפולינום המינימלי‬ ‫מסדר ‪.n‬‬ ‫סימון‪ :‬בהינתן מטריצה ) ‪ A ∈ Mn (F‬נסמן }‪.IA = {p(t) ∈ F [t] : p(A) = 0‬‬ ‫טענה ‪ 4.2‬לכל ‪ k ≥ 1‬שלם מתקיים‪:‬‬ ‫טענה ‪ 3.8‬לכל ) ‪ A ∈ Mn (F‬הקבוצה ]‪ IA ⊆ F [t‬היא אידיאל‪.‬‬ ‫⎡‬ ‫‪k‬‬ ‫⎤‬ ‫‪) *+ ,‬‬ ‫‪⎢0....0 1‬‬ ‫⎥‪0‬‬ ‫הגדרה ‪ 3.9‬תהי ) ‪ A ∈ Mn (F‬מטריצה‪.‬הפולינום המתוקן היחיד שיוצר את‬ ‫⎢‬ ‫⎥‬ ‫⎢‬ ‫⎥‬ ‫האידיאל ‪ IA‬נקרא הפולינום המינימלי של ‪ A‬ומסומן ב־)‪.MA (t‬‬ ‫⎢‬ ‫⎥‬ ‫⎢ = ‪(Jn )k‬‬ ‫⎥‬ ‫⎢‬ ‫⎥‪1‬‬ ‫⎢‬ ‫⎥‬ ‫טענה ‪ 3.10‬תהי ) ‪ A ∈ Mn (F‬מטריצה‪.‬נניח כי קיים שלם חיובי ‪ k‬כך ש־‬ ‫⎣‬ ‫⎦‬ ‫‪ Ak = 0‬אז ‪.An = 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫טענה ‪ 3.11‬תהי ) ‪ D = diag(λ1 ,..., λn ) ∈ Mn (F‬אזי ‪MA (t) = (t −‬‬ ‫מסקנה‪ :‬אם ‪ A = Jn‬אז ‪PA (t) = MA (t) = tn‬‬ ‫) ‪ λi1 )...(t − λik‬כאשר ‪ λi1 ,..., λik‬הם כל הערכים השונים מבין ‪.λ1 ,..., λn‬‬ ‫הגדרה ‪ 4.3‬מטריצה ) ‪ A ∈ Mn (F‬נקראת נילפוטנטית מאינדקס ‪ s‬אם ‪As = 0‬‬ ‫טענה ‪ 3.12‬אם מטריצות ) ‪ A, B ∈ Mn (F‬דומות אזי ‪.IA = IB‬‬ ‫אבל ‪ Ak ̸= 0‬לכל ‪.k < s‬‬ ‫מסקנות מהטענה‪:‬‬ ‫‪3‬‬  ‫⎡‬ ‫⎤‬ ‫משפט ‪) 4.12‬צורת ז'ורדן למטריצות( )‪ A ∈ Mn (C‬מטריצה אז ‪ A‬דומה‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫למטריצת ז'ורדן ‪.G‬כלומר קיימת מטריצת ז'ורדן ‪ G‬ומטריצה הפיכה ‪P‬‬ ‫⎢‬ ‫⎥‬ ‫⎢‬ ‫‪λ‬‬ ‫⎥‬ ‫⎢ = )‪ Jn (λ‬נקראת בלוק כך ש ־ ‪.A = P −1 GP‬יתרה מזאת צורת ז'ורדן של ‪ A‬נקבעת ביחידות ע"י ‪A‬‬ ‫⎢‬ ‫הגדרה ‪ 4.4‬יהי ‪ λ ∈ F‬המטריצה ⎥‬ ‫⎥‬ ‫עד כדי שינוי סדר הבלוקים‪.‬‬ ‫⎣‬ ‫⎦‪1‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪.Jn (λ) = λIn + Jn‬‬ ‫ז'ורדן מסדר ‪ n‬השייך ל־‪.λ‬נשים לב שנוכל לכתוב‪:‬‬ ‫‪.1‬הכרחי לקיום צורת ז'ורדן ־ )‪ PT (t‬מתפרק לגורמים ליניאריים‪.‬ניתן‬ ‫לטעון קיום ויחידות של צורת ז'ורדן מעל כל שדה ‪ F‬בו כל פולינום‬ ‫טענה ‪ 4.5‬יהי ) ‪ A = Jn (λ) ∈ Mn (F‬בלוק ז'ורדן מסדר ‪ n‬השייך ל־ ‪λ ∈ F‬‬ ‫)ממעלה ≤ ‪ ( 1‬מתפרק לגורמים ליניאריים‪.‬‬ ‫אזי ‪.PA (t) = MA (t) = (t − λ)n‬‬ ‫‪ R.2‬אינו שדה סגור אלגברית‪ ,‬לכן לא תמיד קיימת צורת ז'ורדן מעל‬ ‫‪!k‬‬ ‫‪-k.‬‬ ‫= ‪.Ak‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪i‬‬ ‫טענה ‪ 4.6‬אם ) ‪ A = Jn (λ) ∈ Mn (F‬אזי ‪λk−i (Jn )i‬‬ ‫‪.R‬יחד עם זאת אם ‪ T : V → V‬ה"ל כך ש־)‪ PT (t‬מתפרק לגורמים‬ ‫ליניאריים‪ ,‬אזי ל־ ‪ T‬קיימת צורת ז'ורדן וצורה זו יחידה עד כדי סדר‬ ‫הערה‪ :‬אם‪-.‬בטענה הנ"ל ‪ k ≥ n‬אז כיוון ש־ ‪ Jnk = 0‬מקבלים = ‪Ak‬‬ ‫‪!n−1‬‬ ‫הבלוקים‪.‬‬ ‫‪. i=0 ki λk−i (Jn )i‬‬ ‫הגדרה ‪ 4.7‬מטריצת ז'ורדן הינה מטריצת בלוקים אלכסונית בה כל בלוק ‪ 4.2.1‬שימושים של משפט ז'ורדן‬ ‫משפט ‪ 4.13‬תהי )‪ A ∈ Mn (C‬מטריצה אזי ‪ A‬דומה ל־ ‪.At‬‬ ‫באלכסון הוא בלוק ז'ורדן‪:‬‬ ‫⎡‬ ‫⎤‬ ‫מציאת בסיס ז'ורדן של מטריצה‬ ‫‪4.3‬‬ ‫) ‪Jn1 (λ1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫⎢‬ ‫) ‪Jn2 (λ2‬‬ ‫⎥‬ ‫בהינתן )‪ A ∈ Mn (C‬נרצה למצוא בסיס ז'ורדן עבור ‪.A‬‬ ‫⎢‬ ‫⎥‬ ‫⎢=‪G‬‬ ‫⎥‬ ‫⎣‬ ‫⎦‬ ‫‪.1‬מוצאים )‪ PA (t‬ו־)‪ ,MA (t‬וערכים עצמיים של ‪.A‬‬ ‫‪0‬‬ ‫) ‪Jnk (λk‬‬ ‫‪.2‬באמצעות הריבוי האלגברי והגיאומטרי וכן הריבוי של ‪ λ‬כשורש של‬ ‫הפולינום המינימלי‪ ,‬מוצאים את צורת ז'ורדן של ‪.A‬‬ ‫‪.3‬עתה מספיק למצוא בסיס ז'ורדן עבור כל ע"ע בנפרד ולבסוף לאחד את‬ ‫תכונות של מטריצת ז'ורדן‬ ‫‪4.1‬‬ ‫הבסיסים‪.‬‬ ‫תהי )) ‪ G = diag(Jn1 (λ1 ),..., Jnk (λk‬מטריצת ז'ורדן‪ ,‬אזי‪:‬‬ ‫מציאת בסיס ז'ורדן עבור ערך עצמי ‪λ‬‬ ‫‪4.3.1‬‬ ‫‪ G.1‬משולשית עליונה‪.‬‬ ‫נניח כי למטריצה )‪ A ∈ Mn (C‬ערך עצמי ‪ ,λ‬והבלוקים השייכים ל־‪ λ‬הינם‬ ‫‪.2‬הפולינום האופייני של ‪.PG (t) = (t − λ1 )n1...(t − λk )nk :G‬‬ ‫)‪.Jn1 (λ),..., Jnk (λ‬‬ ‫‪.3‬הפולינום המינימלי של ‪ :G‬באופן כללי אם ) ‪ A = diag(B1 ,..., Bk‬נרצה למצוא בסיס ז'ורדן ‪ Bλ‬המתאים לע"ע הנ"ל‪.‬‬ ‫מטריצת בלוקים אלכסונית‪ ,‬אזי ))‪.MA (t) = lcm(MB1 (t),..., MBk (t‬‬ ‫‪.1‬נגדיר ‪.B = A − λI‬‬ ‫זה נכון גם עבור ‪.G‬‬ ‫‪.2‬נמצא עתה את ‪ n1‬הוקטורים הראשונים בבסיס ‪.Bλ‬‬ ‫‪.4‬הערכים העצמיים של ‪ G‬הינם ‪.λ1 ,..., λk‬‬ ‫‪.3‬נשים לב כי הוקטורים ‪ v1 , v2 ,..., vn1 ∈ Bλ‬צריכים לקיים את הקשר‪:‬‬ ‫‪.5‬הריבוי האלגברי של הערך העצמי ‪ λi‬הינו סכום סדרי הבלוקים השייכים‬ ‫ל־ ‪.λi‬‬ ‫)⋆(‬ ‫‪Bv2 = v1‬‬ ‫‪Bv3 = v2‬‬ ‫טענה ‪) 4.8‬תרגול( תהי )‪A ∈ Mn (C‬‬ ‫‪.1‬הריבוי של ‪ λ‬כשורש של הפולינום המינימלי הינו גודל הבלוק הגדול ביותר‬ ‫‪Bvn1 = vn1 −1‬‬ ‫השייך ל־‪ λ‬בצורת ז'ורדן של ‪.A‬‬ ‫וגם‪:‬‬ ‫‪.2‬מספר הבלוקים עם ערך ‪ λ‬בגודל לפחות ‪ k‬בצורת ז'ורדן של ‪ A‬הינו‬ ‫‪.rk(A − λI)k−1 − rk(A − λI)k‬‬ ‫)⋆⋆(‬ ‫‪v2 ∈ ker B 2 \ ker B‬‬ ‫‪v3 ∈ ker B 3 \ ker B 2‬‬ ‫טענה ‪ 4.9‬תהי ‪ G‬מטריצת ז'ורדן‪ ,‬אזי הריבוי הגיאומטרי של ערך עצמי ‪ λi‬של‬ ‫‪ ,G‬הינו מספר הבלוקים השייכים ל־ ‪.λi‬‬ ‫‪vn1 ∈ ker B n1 \ ker B n1 −1‬‬ ‫בסיס ז'ורדן וצורת ז'ורדן של העתקות ומטריצות‬ ‫‪4.2‬‬ ‫הגדרה ‪ T : V → V 4.10‬העתקה ליניארית של מ"ו ‪ n‬מימדי ‪ V‬מעל שדה ‪.F‬‬ ‫בסיס ‪ B‬של ‪ V‬הוא בסיס ז'ורדן עבור ‪ T‬אם מטריצת הייצוג ‪ G = [T ]B‬היא‬ ‫‪.4‬נבחר וקטור ‪.vn1 ∈ ker B n1 \ ker B n1 −1‬‬ ‫מטריצת ז'ורדן‪.‬‬ ‫‪.5‬עתה באמצעות )⋆( ניתן למצוא את שאר הוקטורים‪.‬‬ ‫משפט ‪) 4.11‬ז'ורדן( תהי ‪ T : V → V‬העתקה ליניארית של מרחב וקטורי ‪n‬‬ ‫‪.6‬נחזור על התהליך עבור שאר הבלוקים‪ ,‬כאשר נוודא שאנו בוחרים‬ ‫מימדי ‪ (n ≥ 1) V‬מעל ‪.C‬‬ ‫וקטורים שאינם תלויים ליניארית בוקטורים שכבר בחרנו עבור הבלוקים‬ ‫אזי ל־ ‪ T‬קיים בסיס ז'ורדן‪.‬יתרה מזאת‪ ,‬כל שתי צורות ז'ורדן של ‪ T‬זהות זו‬ ‫הקודמים‪.‬‬ ‫לזו עד כדי שינוי סדר בלוקי ז'ורדן באלכסון‪.‬‬ ‫‪4‬‬  ‫‪At = A.1‬‬ ‫מרחבי מכפלה פנימית‬ ‫‪5‬‬ ‫‪!n‬‬ ‫‪!n‬‬ ‫‪.2‬לכל ‪ α1 ,..., αn ∈ R‬קיים ‪ i=1 j=1 αi αj aij‬מס' ממשי אי שלילי‬ ‫‪ 5.1‬מכפלה פנימית ממשית‬ ‫וכן הביטוי הנ"ל מתאפס אם ורק אם ‪α1 =... = αn = 0‬‬ ‫הגדרה ‪) 5.1‬מעל ‪ (R‬יהי ‪ V‬מ"ו מעל שדה ‪ ,R‬פונקציה ‪) f : V × V → R‬נסמן‬ ‫הגדרה ‪) 5.11‬נורמה( מוגדרת באותו אופן כמו במקרה הממשי‪.‬‬ ‫> ‪ (f (u, v) =< u, v‬נקראת מכפלה פנימית על ‪ V‬אם‪:‬‬ ‫תכונות של נורמה‪ :‬יהי ‪ V‬ממ"פ‪ ,‬ו־|| || נורמה על ‪V‬‬ ‫‪.1‬סימטריות‪ :‬לכל ‪ u, v ∈ V‬קיים־ > ‪.< u, v >=< v, u‬‬ ‫‪.1‬ליניאריות‪ :‬לכל ‪ v ∈ V‬ולכל סקלר ‪ λ‬מתקיים ||‪.||λv|| = |λ| · ||v‬‬ ‫‪.2‬ליניאריות‪ :‬לכל ‪ u, v, w ∈ V‬קיים־ < ‪< u + v, w >=< u, w > +‬‬ ‫> ‪.v, w‬‬ ‫‪.2‬חיוביות‪ ||v|| ≥ 0 :‬והשוויון מתקיים אם ורק אם ‪.v = 0‬‬ ‫‪.3‬הומוגניות‪ :‬לכל ‪ u, v ∈ V‬ולכל ‪ λ ∈ R‬קיים־ > ‪.< λu, v >= λ < u, v‬‬ ‫‪.3‬אי־שוויון משולש‪.||u + v|| ≤ ||u|| + ||v|| :‬‬ ‫‪.4‬חיוביות‪ :‬לכל ‪ v ∈ V‬קיים־ ‪ < v, v >≥ 0‬ויתרה מזאת => ‪< v, v‬‬ ‫‪.0 ⇔ v = 0‬‬ ‫‪ 5.3‬אורתוגונליות‬ ‫משפט ‪) 5.2‬אי שוויון קושי־שוורץ( יהי ‪ V‬מ"ו ממשי עם מכפלה פנימית > ‪ , ‪< a, b >2 ≤< a, a >< b, b‬‬ ‫על ידי‪.U ⊥ = {v ∈ V : ∀u ∈ U < u, v >= 0} :‬‬ ‫משפט ‪) 5.14‬תכונות של המשלים האורתוגונלי( יהי ‪ V‬ממ"פ ו־ֹ ‪ U ⊆ V‬תת‬ ‫או בניסוח שקול דרך נורמה ||‪.< u, v >≤ ||u|| · ||v‬‬ ‫קבוצה‪.‬אזי‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 5.3‬הנורמה של ‪ , v ∈ V‬המסומנת ב־||‪ ,||v‬מוגדרת על ידי = ||‪||v‬‬ ‫√‬ ‫‪ U ⊥.1‬הוא תת מרחב של ‪.V‬‬ ‫> ‪. < v, v‬‬ ‫‪.2‬אם ⊥ ‪ u ∈ U ∩ U‬אזי ‪.u = 0‬‬ ‫‪ 5.2‬מכפלה פנימית מרוכבת‬ ‫‪) U ⊆ (U ⊥ )⊥.3‬אם ‪V‬ממימד סופי ו־ ‪ U‬תת מרחב אזי קיים שוויון(‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ V 5.4‬מ"ו מעל שדה ‪ C‬ו־‪) f : V ×V → C‬נסמן > ‪,(f (u, v) =< u, v‬‬ ‫‪ f‬נקראת מכפלה פנימית על ‪ V‬אם‪:‬‬ ‫הגדרה ‪ 5.15‬יהי ‪ V‬ממ"פ‪ ,‬קבוצת וקטורים ‪ K ⊆ V‬נקראת‬ ‫‪.1‬הרמיטיות‪ :‬לכל ‪ u, v ∈ V‬מתקיים כי > ‪.< u, v >=< v, u‬‬ ‫הגדרה ‪ 5.16‬קבוצה אורתוגונלית אם‪:‬‬ ‫‪.2‬ליניאריות‪ :‬לכל ‪ u, v, w ∈ V‬מתקיים < ‪< u + v, w >=< u, w > +‬‬ ‫‪/ K.1‬‬ ‫∈‪0‬‬ ‫> ‪.v, w‬‬ ‫‪.2‬לכל ‪ u ̸= v ∈ K‬קיים ‪.< u, v >= 0‬‬ ‫‪.3‬הומוגניות‪ :‬לכל ‪ u, v ∈ V‬ו־‪ λ ∈ C‬מתקיים > ‪< λu, v >= λ < u, v‬‬ ‫)וכן > ‪.(< u, λv >= λ < u, v‬‬ ‫קבוצה אורתונורמלית אם ‪ K‬קבוצה אורתוגונלית וכן ‪ ||v|| = 1‬לכל ‪.v ∈ K‬‬ ‫‪.4‬חיוביות‪ :‬לכל ‪ v ∈ V‬קיים־ ‪ < v, v >≥ 0‬ויתרה מזאת => ‪< v, v‬‬ ‫משפט ‪ 5.17‬יהי ‪ V‬ממ"פ ותהי ‪ K ⊆ V‬קבוצה אורתוגונלית‪ ,‬אזי ‪ K‬היא קבוצה‬ ‫‪.0 ⇔ v = 0‬‬ ‫בלתי תלויה ליניארית‪.‬‬ ‫משפט ‪) 5.5‬אי־שוויון קושי שוורץ( כמו במקרה הממשי‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 5.18‬בסיס ‪ B‬של ממ"פ ‪ V‬נקרא בסיס אורתוגונלי )אורתונורמלי( אם‬ ‫הגדרה ‪) 5.6‬מטריצה של מכפלה פנימית( יהי ‪ V‬מ"ו ‪ n‬מימדי עם מכפלה פנימית ‪ B‬קבוצה אורתוגונלית )אורתונורמלית(‪.‬‬ ‫> ‪ = [u]tB A[v]B‬‬ ‫‪.1‬לכל ‪ u ∈ V‬מתקיים ‪.u = i=1 < u, vi > vi‬‬ ‫‪!n‬‬ ‫הגדרה ‪ 5.9‬מטריצה )‪ [aij ] = A ∈ Mn (C‬נקראת חיובית לחלוטין )מוגדרת‬ ‫‪.2‬לכל ‪ u, w ∈ V‬מתקיים > ‪.< u, w >= i=1 < u, vi >< w, vi‬‬ ‫‪/!n‬‬ ‫חיובית( אם‪:‬‬ ‫= ||‪.||u‬‬ ‫|‬ ‫‬ ‫|‬ ‫‪.3‬לכל ‪ u ∈ V‬מתקיים ‪2‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪A∗ = A.1‬‬ ‫‪.2‬לכל ‪ α ,..., α ∈ C‬קיים ‪ !n !n α α a‬מס' ממשי אי שלילי משפט ‪) 5.21‬היטל אורתוגונלי( יהי ‪ V‬ממ"פ ויהי ‪ U ⊆ V‬תת מרחב לא‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪j=1 i j ij‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫טריוויאלי של ‪.V‬נניח כי ‪.v ∈ V \ U‬‬ ‫וכן הביטוי הנ"ל מתאפס אם ורק אם ‪α1 =... = αn = 0‬‬ ‫‪.1‬קיים ‪ u0 ∈ U‬כך ש־ ‪(v − u0 )⊥u‬‬ ‫הגדרה ‪ 5.10‬מטריצה )‪ [aij ] = A ∈ Mn (R‬נקראת חיובית לחלוטין )מוגדרת‬ ‫‪.2‬וקטור ‪ u0‬כנ"ל הוא יחיד‪ u0.‬נקרא ההיטל האורתוגנלי של ‪ v‬על ‪.U‬‬ ‫חיובית( אם‪:‬‬ ‫‪5‬‬  ‫ההעתקה הצמודה‬ ‫‪6.1‬‬ ‫‪.3‬לכל וקטור ‪ u0 ̸= u ∈ U‬מתקיים כי || ‪.||v − u|| > ||v − u0‬‬ ‫משפט ‪ 6.1‬יהי ‪ V‬מרחב מכפלה פנימית‪.‬תהי ‪ T : V → V‬העתקה לינארית‬ ‫טענה ‪ 5.22‬יהי ‪ V‬ממ"פ‪.‬‬ ‫אזי‪:‬‬ ‫‪.1‬נניח עבור ‪ w, v ∈ V‬מתקיים לכל ‪ ,< u, v >=< u, w > : u ∈ V‬אזי‬ ‫‪ T‬המקיימת ‪T u, v >=< u, T ∗ v‬‬ ‫‪.2‬תהיינה ּ ‪ S, T : V → V‬העתקות )לאו דווקא ליניאריות( אם לכל‬ ‫‪ u, v ∈ V‬קיים‪ < u, Sv >=< u, T v > :‬אזי ‪.S = T‬‬ ‫‪.2‬ההעתקה ∗ ‪ T‬היא ליניארית‪.‬‬ ‫‪.3‬אם ‪ < Su, v >= 0‬לכל ‪ u, v ∈ V‬אז ‪.S = 0‬‬ ‫הגדרה ‪ 6.2‬בהינתן העתקה ליניארית ‪ ,T : V → V‬ההעתקה הליניארית‬ ‫‪ 5.3.1‬מטריצת ‪Gram‬‬ ‫הגדרה ‪ 5.23‬יהי ‪ V‬ממ"פ ויהיו ‪ v ,.., v ∈ V‬וקטורים‪.‬מטריצת גראם של היחידה ‪ T ∗ : V → V‬המקיימת ‪∀u, v ∈ V : < T u, v >=< u, T ∗ v > :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫תקרא ההעתקה הצמודה ל־ ‪.T‬‬ ‫‪ v1 ,.., vk‬היא מטריצה ‪ G‬המוגדרת באופן הבא‪.(G)ij =< vi , vj > :‬‬ ‫הערה‪ :‬במקרה המרוכב ־ ∗‪)G = G‬הרמיטית(‪ ,‬במקרה הממשי = ‪G‬‬ ‫משפט ‪) 6.3‬תכונות של העתקות צמודות( יהי ‪ V‬ממ"פ ו־ּ ‪ S, T : V → V‬ה"ל‪.‬‬ ‫‪)Gt‬סימטרית(‪.‬‬ ‫‪(T ∗ )∗ = T.1‬‬ ‫הגדרה ‪ 5.24‬דטרימננטת גראם של קבוצת וקטורים היא הדטרמיננטה של‬ ‫מטריצת גראם המתאימה לקבוצה‪.‬‬ ‫‪(S + T )∗ = S ∗ + T ∗.2‬‬ ‫משפט ‪ 5.25‬תהי } ‪ {v1 ,..., vk‬וקטורים בממ"פ ‪.V‬אזי } ‪ {v1 ,..., vk‬היא קבוצה‬ ‫תלויה ליניארית אם ורק אם דטרמיננטת גראם של } ‪ {v1 ,..., vk‬היא ‪.0‬‬ ‫‪.3‬לכל סקלר ‪(αT )∗ = αT ∗ : α‬‬ ‫‪ 5.3.2‬משפט הפירוק האורתוגונלי‬ ‫‪.I ∗ = I ,0∗ = 0.4‬‬ ‫משפט ‪ 5.26‬יהי ‪ V‬מרחב מכפלה פנימית ממימד ‪ n ≥ 1‬ונניח כי ‪ U ⊆ V‬הוא‬ ‫תת מרחב של ‪.V‬‬ ‫‪(ST )∗ = T ∗ S ∗.5‬‬ ‫‪.V = U ⊕ U ⊥.1‬‬ ‫‪.6‬אם ‪ T‬הפיכה אז ‪(T −1 )∗ = (T ∗ )−1‬‬ ‫‪.(U ⊥ )⊥ = U.2‬‬ ‫הטלה אורתוגונלית‬ ‫כל ‪ v ∈ V‬ניתן להציג משפט ‪ 6.4‬תהי ‪ T : V → V‬העתקה לינארית‪.‬‬ ‫אם ‪ V‬ממ"פ ו־ ‪ U‬תת מרחב‪ ,‬אזי לפי משפט‬ ‫כ־ ‪ v = u + u′‬כאשר ⊥ ‪.u ∈ U & u′ ∈ U‬‬ ‫‪.1‬אם } ‪ B = {w1 ,..., wn‬בסיס אורתונורמלי של ‪ V‬אזי קיים כי‬ ‫∗) ‪.[T ∗ ]B = ([T ]B‬‬ ‫הגדרה ‪ 5.27‬יהי ‪ U‬תת מרחב של ממ"פ ‪ ,V‬אזי ההטלה האורתוגונלית של ‪V‬‬ ‫על ‪ U‬היא העתקה ליניארית ‪ PU : V → U‬המוגדרת על ידי‪PU (v) = u :‬‬ ‫כאשר ‪ v = u + u′‬כאמור לעיל‪.‬‬ ‫‪.2‬אם עבור העתקה ליניארית ‪ S : V → V‬ועבור בסיס אורתונורמלי ‪B‬‬ ‫כלשהו של ‪ V‬מתקיים ∗) ‪ [S]B = ([T ]B‬אזי ∗ ‪.S = T‬‬ ‫‪!k‬‬ ‫= )‪PU (v‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫טענה ‪ 5.28‬אם } ‪ {u1 ,.., uk‬בסיס אורתונורמלי של ‪ U‬אזי ui‬‬ ‫העתקות צמודות לעצמן‬ ‫‪6.1.1‬‬ ‫תהליך גראם שמידט‬ ‫‪5.3.3‬‬ ‫משפט ‪ 5.29‬יהי ‪ V‬ממ"פ ממימד ‪ n ≥ 1‬ונניח כי } ‪ B = {v1 ,..., vn‬בסיס סדור משפט ‪ 6.5‬יהי ‪ V‬ממ"פ ‪ ,‬העתקה ליניארית ‪ T : V → V‬נקראת צמודה לעצמה‬ ‫של ‪.V‬אז קיים בסיס סדור אורתונורמלי } ∗ ‪ B ∗ = {v ∗ ,..., v‬של ‪ V‬כך שלכל אם ∗ ‪.T = T‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ 1 ≤ k ≤ n‬קיים } ∗‪.sp{v1 , ,., vk } = sp{v1∗ ,..., vk‬‬ ‫אלגוריתם למציאת בסיס אורתונורמלי‬ ‫בסיס אורתונורמלי } ‪){u ,.., u‬המקיים את תנאי המשפט( למרחב וקטורי ‪ V‬משפט ‪ 6.6‬העתקה לינארית ‪ T : V → V‬היא צמודה לעצמה אם ורק אם‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫בבסיס אורתונורמלי ‪ B‬של ‪ V‬מתקיים‪[T ]B = ([T ]B )∗ :‬‬ ‫בהינתן בסיס } ‪ {v1 ,..., vn‬כלשהוא‪ ,‬מוגדר באינדוקציה על ידי‪:‬‬ ‫למה ‪ 6.7‬יהי ‪ V‬ממ"פ ו־ ‪ T : V → V‬העתקה צמודה לעצמה‪ ,‬אם‬ ‫‪i=1:‬‬ ‫|| ‪u1 = ||vv11‬‬ ‫‪ < T v, v >= 0‬לכל ‪ v ∈ V‬אזי ‪.T = 0‬‬ ‫‪!i−1‬‬ ‫‪wi‬‬ ‫‪2≤i≤n:‬‬ ‫‪wi = vi − j=1 < vi , uj > uj‬‬ ‫= ‪ui‬‬ ‫|| ‪||wi‬‬ ‫אם‬ ‫משפט ‪ 6.8‬יהי ‪ V‬ממ"פ מרוכב‪ ,‬ו־ ‪ T : V → V‬העתקה ליניארית‪.‬‬ ‫‪ < T v, v >= 0‬לכל ‪ v ∈ V‬אז ‪.T = 0‬‬ ‫‪ 6‬העתקות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית‬ ‫כל המרחבים הוקטוריים בחלק זה הינם ממימד סופי‪.n ≥ 1 ,‬כמו כן ‪ F = C‬משפט ‪ 6.9‬יהי ‪ V‬ממ"פ מרוכב‪ ,‬ותהי ‪ T : V → V‬העתקה ליניארית‪.‬אזי ‪T‬‬ ‫צמודה לעצמה אם ורק אם לכל ‪ u ∈ V‬מתקיים כי > ‪ < T u, u‬מספר ממשי‪.‬‬ ‫או ‪.F = R‬‬ ‫‪6‬‬  ‫‪.2‬הפולינום האופייני של ‪ T‬מתפרק לגורמים ליניאריים‪.‬‬ ‫‪ 6.2‬העתקות אוניטריות‬ ‫הגדרה ‪ 6.10‬העתקה ליניארית ‪ T : V → V‬נקראת אוניטרית אם מתקיים מסקנות מהמשפט‪:‬‬ ‫‪.T T ∗ = T ∗ T = I‬‬ ‫‪.1‬אם ‪ V‬ממ"פ מרוכב אז ‪ T‬לכסינה אוניטרית אם ורק אם ‪ T‬נורמלית‪.‬‬ ‫)במקרה הממשי העתקה אוניטרית נקראת העתקה אורתוגונלית(‬ ‫‪.2‬אם ‪ T‬צמודה לעצמה אז ‪ T‬לכסינה אוניטרית‪.‬‬ ‫משפט ‪ 6.11‬יהי ‪ V‬מרחב מכפלה פנימית ו־ ‪ T : V → V‬העתקה ליניארית‪ ,‬אז‬ ‫התנאים הבאים שקולים‪:‬‬ ‫משפט ‪) 6.24‬מקביל למטריצות( תהי ) ‪ A ∈ Mn (F‬מטריצה נורמלית‪ ,‬נניח כי‬ ‫הפולינום האופייני של ‪ A‬מתפרק לגורמים ליניאריים אזי ‪ A‬לכסינה אוניטרית‪.‬‬ ‫‪ T.1‬אוניטרית‬ ‫מסקנה ‪) 6.25‬מטריצה סימטרית לכסינה אורתוגונלית( תהי )‪A ∈ Mn (R‬‬ ‫‪.2‬לכל ‪ u, v ∈ V‬קיים‪.< T u, T v >=< u, v > :‬‬ ‫מטריצה סימטרית‪ ,‬אזי ‪ A‬לכסינה אורתוגונלית‪.‬כלומר קיימת מטריצה‬ ‫‪.3‬לכל ‪ u ∈ V‬קיים‪.||T u|| = ||u|| :‬‬ ‫אורתוגונלית )‪ Q ∈ Mn (R‬ומטריצה אלכסונית )‪ D ∈ Mn (R‬כך ש־‬ ‫‪.D = Q−1 AQ = Qt AQ‬‬ ‫משפט ‪ 6.12‬תהי ‪ T : V → V‬העתקה ליניארית‪ ,‬אזי ‪ T‬אוניטרית אם ורק אם‬ ‫‪ T‬מעבירה בסיס אורתונורמלי לבסיס אורתונורמלי‪.‬‬ ‫מציאת בסיס אורתונורמלי מלכסן‬ ‫‪6.4.1‬‬ ‫הגדרה ‪ 6.13‬מטריצה ) ‪) A ∈ Mn (F‬כאשר ‪ F = C‬או ‪ (F = R‬נקראת משפט ‪ 6.26‬תהי ‪ T : V → V‬העתקה נורמלית של ממ"פ ‪.V‬נניח כי ‪λ1 ̸= λ2‬‬ ‫ע"ע של ‪ T‬ו־ ‪ v1 , v2 ∈ V‬ו"ע השייכים לערכים ‪ λ1 , λ2‬בהתאמה‪.‬אזי ‪v1 , v2‬‬ ‫אוניטרית אם ‪.AA∗ = A∗ A = I‬‬ ‫ניצבים זה לזה‪.< v1 , v2 >= 0 ,‬‬ ‫טענה ‪ 6.14‬תהי ) ‪ A ∈ Mn (F‬מטריצה אוניטרית‪.‬אז השורות )העמודות( של‬ ‫אלגוריתם לכסון אוניטרי‬ ‫‪ A‬הן בסיס אורתונורמלי של ‪.F n‬‬ ‫נתון‪ T : V → V :‬העתקה נורמלית‪.‬‬ ‫‪.1‬נמצא את הפולינום האופייני )‪.PT (t‬‬ ‫משפט ‪ 6.15‬א( אם ‪ T : V → V‬העתקה אוניטרית ו־‪ B‬בסיס אורתונורמלי של‬ ‫‪ ,V‬אז מטריצת הייצוג ‪ [T ]B‬מטריצה אוניטרית‪.‬‬ ‫‪.2‬נבדוק האם )‪ PT (t‬מתפרק לגורמים ליניאריים‪ ,‬אם לא ‪ T‬אינה לכסינה‪.‬‬ ‫ב( אם ‪ T : V → V‬העתקה ליניארית ובבסיס אורתונורמלי ‪ B‬של ‪ V‬מקבלים‬ ‫כי ‪ [T ]B‬מטריצה אוניטרית אז ‪ T‬אוניטרית‪.‬‬ ‫‪.3‬נניח כי ‪ PT (t) = (t − λ1 )s1...(t − λk )sk‬כאשר ‪ λi ̸= λj‬עבור‬ ‫‪ ,1 ≤ i ̸= j ≤ k‬ו־ ‪.s1 +... + sk = n = dim V‬‬ ‫‪ 6.3‬ערכים עצמיים של העתקות ליניאריות במרחבי מכפלה פנימית‬ ‫‪.4‬לכל ‪ 1 ≤ i ≤ k‬נמצא בסיס א"נ ‪ Bi‬של מרחב עצמי ‪.Vλi‬‬ ‫טענה ‪ T : V → V 6.16‬העתקה לינארית של ממ"פ ‪.V‬נניח כי ‪ T‬צמודה‬ ‫‪"k‬‬ ‫לעצמה ויהי ‪ λ‬ע"ע של ‪ ,T‬אז ‪ λ‬הוא מספר ממשי‪.‬‬ ‫‪.5‬נגדיר ‪ ,B = i=1 Bk‬זהו הבסיס האורתונורמלי המבוקש‪.‬‬ ‫משפט ‪ V 6.27‬ממ"פ ו־ ‪ T : V → V‬העתקה ליניארית‪.‬אם ‪ T‬נורמלית‬ ‫משפט ‪ 6.17‬תהי ‪ T : V → V‬העתקה ליניארית של מרחב מכפלה פנימית‬ ‫והפולינום האופייני )‪ PT (t‬מתפרק לגורמים ליניאריים‪PT (t) = (t − :‬‬ ‫‪.V‬נניח כי ‪ T‬צמודה לעצמה‪.‬אז הפולינום האופייני )‪ PT (t‬מתפרק לגורמים‬ ‫‪.λ1 )s1...(t − λk )sk‬‬ ‫ליניאריים‪.PT (t) = (t − λ1 )...(t − λk ):‬כאשר ‪ n = dim V‬ו־‪.λ1 ,..., λn ∈ R‬‬ ‫אז‪.V = Vλ1 ⊕... ⊕ Vλk :‬כאשר ‪ Vλi‬המרחב העצמי השייך לע"ע ‪ ,λi‬ו־‬ ‫‪ Vλi ⊥Vλj‬עבור ‪.1 ≤ j ̸= i ≤ k‬‬ ‫משפט ‪ 6.18‬תהי ‪ T : V → V‬העתקה אוניטרית של מרחב מכפלה פנימית ‪.V‬‬ ‫יהי ‪ λ‬ע"ע של ‪ ,T‬אזי ‪.|λ| = 1‬‬ ‫המשפט הספקטרלי‬ ‫‪6.4.2‬‬ ‫ליכסון אוניטרי‬ ‫‪6.4‬‬ ‫משפט ‪ V 6.28‬ממ"פ ו־ ‪ T : V → V‬העתקה ליניארית‪.‬נניח כי‪:‬‬ ‫‪ T (1‬נורמלית‪ ,‬כלומר ‪.T T ∗ = T ∗ T‬‬ ‫הגדרה ‪ 6.19‬יהי ‪ V‬ממ"פ ותהי ‪ T : V → V‬העתקה ליניארית‪ T.‬נקראת‬ ‫‪ (2‬הפולינום האופייני של ‪ T‬מתפרק לגורמים ליניאריים‪PT (t) = (t − :‬‬ ‫לכסינה אוניטרית אם קיים בסיס אורתונורמלי ‪ B‬של ‪ V‬בו מטריצת הייצוג‬ ‫‪.λ1 )s1...(t − λk )sk‬‬ ‫‪ [T ]B‬היא אלכסונית‪.‬‬ ‫עבור ‪ 1 ≤ i ≤ k‬נסמן ‪ Vλi‬את המרחב העצמי של ע"ע ‪.λi‬כמו כן נסמן‬ ‫הגדרה מקבילה למטריצות תהי ) ‪ A ∈ Mn (F‬מטריצה‪ A ,‬לכסינה אוניטרית‬ ‫ב־ַ ‪ Pi : V → V‬את ההטלה האורתוגונלית על תת מרחב ‪ ,Vλi‬אז‪:‬‬ ‫אם קיימת מטריצה אוניטרית ) ‪ Q ∈ Mn (F‬כך שהמטריצה ‪D = Q−1 AQ‬‬ ‫אלכסונית‪.‬‬ ‫‪T = λ1 P1 + λ2 P2 +... + λk Pk.1‬‬ ‫משפט ‪ 6.20‬תהי ‪ T : V → V‬ה"ל של ממ"פ ‪.V‬יהי ‪ B‬בסיס אורתונורמלי של‬ ‫‪.P1 +... + Pk = I.2‬‬ ‫‪ V‬ותהי ‪ A = [T ]B‬מטריצת הייצוג של ‪ T‬לפי ‪.B‬אזי ‪ T‬לכסינה אוניטרית אם‬ ‫‪.3‬לכל ‪ 1 ≤ i ̸= j ≤ k‬מתקיים ‪.Pi Pj = 0‬‬ ‫ורק אם ‪ A‬לכסינה אוניטרית‪.‬‬ ‫משפט ‪) 6.21‬תנאי הכרחי לליכסון אוניטרי( יהי ‪ V‬ממ"פ ו־ ‪ T : V → V‬ה"ל‪.‬שימושים למשפט הספקטרלי‬ ‫נניח כי ‪ T : V → V‬נורמלית וכן ‪.PT (t) = (t − λ1 )s1...(t − λk )sk‬‬ ‫נניח כי ‪ T‬לכסינה אוניטרית‪ ,‬אזי‪.T T ∗ = T ∗ T :‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫הגדרה ‪ 6.22‬תהי ‪ T : V → V‬ה"ל של ממ"פ ‪.V‬אם קיים ‪ T T ∗ = T ∗ T‬אזי‬ ‫‪!k‬‬ ‫‪!k‬‬ ‫‪!k‬‬ ‫‪!k‬‬ ‫‪ T‬נקראת נורמלית‪.‬‬ ‫( = ‪T2 = TT‬‬ ‫‪i=1‬‬‫‪λi Pi )( i=1 λi Pi ) = i=1‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫= ‪λi λj P i P j‬‬ ‫‪!k‬‬ ‫‪!k‬‬ ‫‪= i=1 λ2i Pi2 = i=1 λ2i Pi‬‬ ‫משפט ‪) 6.23‬תנאי מספיק והכרחי( יהי ‪ V‬ממ"פ‪ ,‬ו־ ‪ ,T : V → V‬אזי ‪ T‬לכסינה‬ ‫אוניטרית אם ורק אם מתקיים‪:‬‬ ‫‪!k‬‬ ‫= ‪.T n‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫ובאופן יותר כללי‪λni Pi :‬‬ ‫‪ T.1‬נורמלית‬ ‫משפט ‪ 7.5‬תהי ‪ f : V × V → F‬תבנית בילינארית על מרחב וקטורי ‪.V‬יהי‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪ B‬בסיס סדור של ‪.V‬אזי ‪ f‬סימטרית אם ורק אם מטריצת התבנית ‪ [f ]B‬היא‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫סימטרית‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫( = ∗‪T‬‬ ‫= ∗ ) ‪λi P i‬‬ ‫= ∗‪λi Pi‬‬ ‫‪λi Pi‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫הגדרה ‪ 7.6‬תהי ‪ f : V × V → F‬תבנית ביליניארית‪.‬הפונקציה ‪q : V → F‬‬ ‫המוגדרת על ידי )‪ q(v) = f (v, v‬נקראת התבנית הריבועית הקשורה ל־ ‪.f‬‬ ‫)א( בפרט אם הערכים העצמיים של ‪ T‬ממשיים ‪ λi = λi‬אזי ∗ ‪).T = T‬נשים לב כי לאותה תבנית ריבועית ‪ q‬מתאימה יותר מתבנית בילינארית אחת(‪.‬‬ ‫טענה ‪ 7.7‬תהי ‪ q : V → F‬תבנית ריבועית אזי קיימת תבנית ביליניארית‬ ‫‪.3‬אם ‪ |λi | = 1‬לכל ‪ 1 ≤ i ≤ k‬אזי‪:‬‬ ‫סימטרית יחידה כך ש־‪ q‬הינה התבנית הריבועית המתאימה ל־ ‪.f‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪0‬‬ ‫בהינתן ‪ q‬התבנית הסימטרית הינה‪.f (u, v) = 12 [q(u + v) − q(u) − q(v)] :‬‬ ‫∗‬ ‫( = ‪TT‬‬ ‫() ‪λi Pi‬‬ ‫= ) ‪λi P i‬‬ ‫‪|λi |2 Pi = I‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫הגדרה ‪ 7.8‬תהי ‪ q : V → F‬תבנית ריבועית ו־‪ B‬בסיס סדור של ‪.V‬‬ ‫אז המטריצה ‪ [q]B‬מוגדרת על ידי ‪ [q]B = [f ]B‬כאשר ‪ f‬הינה התבנית‬ ‫‪ T‬אוניטרית‬ ‫הביליניארית הסימטרית היחידה המתאימה ל־‪.q‬‬ ‫טענה ‪ 7.9‬תהי ‪ q : V → F‬תבנית ריבועית‪ B ,‬בסיס סדור של ‪ ,V‬אזי‪:‬‬ ‫‪ 6.5‬העתקות אורתוגנליות‬ ‫‪t‬‬ ‫הגדרה ‪ 6.29‬תהי ‪ T : V → V‬העתקה אורתוגונלית‪.‬תת מרחב ‪ U‬של ‪ V‬נקרא ‪.q(v) = [v]B [q]B [v]B‬‬ ‫תזכורת‪ :‬מטריצת המעבר מבסיס ‪ B‬ל־ ‪ B ′‬היא מטריצה ‪ M‬שעמודותיה‬ ‫‪T‬־שמור אם ‪.T (U ) ⊆ U‬כלומר ‪ T u ∈ U‬לכל ‪.u ∈ U‬‬ ‫הם וקטורי ‪ B ′‬בקואורדינטות על פי בסיס ‪ B‬ומקיימת לכל ‪:v ∈ V‬‬ ‫משפט ‪ 6.30‬יהי ‪ V‬ממ"פ ממשי‪.‬תהי ‪ T : V → V‬העתקה אורתוגונלית‪.[v]B = M [v]B ′ ,‬‬ ‫אזי קיים פירוק ‪ V = V1 ⊕... ⊕ Vr‬כאשר ‪ Vi‬תת מרחב ‪T‬־שמור של ‪,V‬‬ ‫משפט ‪) 7.10‬החלפת בסיס( תהי ‪ f : V × V → F‬תבנית ביליניארית המוגדרת‬ ‫}‪ dim Vi ∈ {1, 2‬ו־ ‪ Vi ⊥Vj‬לכל ‪.i ̸= j‬‬ ‫על מרחב וקטורי ‪ n‬מימדי מעל שדה ‪.F‬יהיו ‪ B, B ′‬בסיסים סדורים של ‪,V‬‬ ‫מסקנה ‪ 6.31‬תהי ‪ T : V → V‬העתקה אורתוגונלית של ממ"פ ממשי ‪.V‬אז ותהי ) ‪ M ∈ Mn (F‬מטריצת המעבר מ־‪ B‬ל־ ‪.B ′‬אזי‪.[f ]B ′ = M t [f ]B M :‬‬ ‫משפט זהה קיים גם לתבניות ריבועיות‪.‬‬ ‫קיים בסיס אורתונורמלי ‪ B‬של ‪ V‬בו‬ ‫הגדרה ‪ 7.11‬מטריצות ) ‪ A, B ∈ Mn (F‬נקראות חופפות אם קיימת מטריצה‬ ‫⎡‬ ‫⎤‬ ‫הפיכה ) ‪ M ∈ Mn (F‬כך ש־ ‪.B = M t AM‬‬ ‫] ‪[M1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫⎢‬ ‫] ‪[M2‬‬ ‫⎥‬ ‫⎢‬ ‫⎥‬ ‫⎢ = ‪[T ]B‬‬ ‫⎥‬ ‫טענה ‪ 7.12‬יחס החפיפה הוא יחס שקילות על הקבוצה ) ‪.Mn (F‬‬ ‫⎣‬ ‫⎦‬ ‫‪0‬‬ ‫] ‪[Mr‬‬ ‫טענה ‪ 7.13‬למטריצות חופפות אותה דרגה‪.‬‬ ‫כאשר ‪ Mi‬היא מטריצה ממשית אורתוגנלית מסדר ‪ 1 × 1‬או ‪.2 × 2‬ובמקרה‬ ‫משפט ‪ 7.14‬מטריצות ) ‪ A, B ∈ Mn (F‬חופפות אם ורק אם הן מייצגות אותה‬ ‫ש־ )‪ Mi ∈ M1 (R‬אזי ]‪ Mi = [1‬או ]‪.Mi = [−1‬‬ ‫תבנית ריבועית‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 7.15‬תהי ‪ f : V × V → F‬תבנית בילינארית‪ ,‬הדרגה של ‪ f‬המסומנת‬ ‫תבניות בילינאריות וריבועיות‬ ‫‪7‬‬ ‫ב־) ‪ ρ(f‬הינה הדרגה של מטריצת הייצוג של ‪ f‬לפי בסיס ‪ B‬כלשהו של ‪.V‬‬ ‫הערה‪ :‬בכל הדיון על תבניות ריבועיות אנו מניחים כי ‪.charF ̸= 2‬‬ ‫ליכסון תבניות ביליניאריות וריבועיות‬ ‫משפט ‪ 7.1‬יהי מרחב וקטורי מעל שדה ‪.F‬פונקציה ‪ f : V × V → F‬נקראת ‪7.1‬‬ ‫משפט ‪) 7.16‬תנאי מספיק והכרחי לליכסון( תהי ‪ f : V × V → F‬תבנית‬ ‫תבנית בילינארית אם היא ליניארית בכל אחד מהמשתנים‪ ,‬כלומר‪:‬‬ ‫בילינארית אזי קיים בסיס ‪ B‬של ‪ V‬בו מטריצת הייצוג ‪ [f ]B‬היא אלכסונית‬ ‫‪.1‬לכל ‪ v ∈ U‬מתקיים‪∀u1 , u2 ∈ V : f (α1 u1 + α2 u2 , v) = :‬‬ ‫אם ורק אם ‪ f‬תבנית סימטרית‪.‬‬ ‫)‪ α1 f (u1 , v) + α2 f (u2 , v‬כאשר ‪.α1 , α2 ∈ F‬‬ ‫משפט ‪ 7.17‬תהי ‪ q : V → F‬תבנית ריבועית‪ ,‬אז קיים בסיס ‪ B‬של ‪ V‬בו‬ ‫‪.2‬באופן דומה עבור המשתנה השני‪.‬‬ ‫מטריצת הייצוג ‪ [q]B‬היא אלכסונית‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 7.2‬תהי ‪ f : V × V → F‬תבנית ביליניארית ויהי } ‪ B = {v1 ,..., vn‬ניסוח שקול‪ :‬תהי ‪ q : V → F‬תבנית ריבועית‪ ,‬אז קיים בסיס ‪ B‬של‬ ‫בסיס סדור של ‪.V‬המטריצה של התבנית הבילינארית לפי בסיס ‪ ,B‬המסומנת ‪ V‬שבו ‪.q(v) = q(t1 ,..., tn ) = β1 t21 +.... + βn t2n‬כאשר ‪ βi ∈ F‬ו־‬ ‫) ‪.[v]B = (t1 ,.., tn‬‬ ‫ב־ ‪ [f ]B‬הינה מטריצה ) ‪ A ∈ Mn (F‬המוגדרת על ידי ) ‪.(A)ij = f (vi , vj‬‬ ‫משפט ‪ 7.3‬תהי ‪ f : V × V → F‬תבנית בילניארית המוגדרת על מרחב וקטורי מסקנה ‪ 7.18‬תהי ) ‪ A ∈ Mn (F‬מטריצה סימטרית‪.‬אז ‪ A‬חופפת למטריצה‬ ‫אלכסונית‪ ,‬כלומר קיימת מטריצה הפיכה ) ‪ M ∈ Mn (f‬כך ש־ ‪D = M t AM‬‬ ‫‪.V‬יהי ‪ B‬בסיס סדור של ‪.V‬אז לכל ‪ u, v ∈ V‬מתקיים‪:‬‬ ‫אלכסונית‪.‬‬ ‫אלגוריתם ליכסון תבנית ריבועית‬ ‫‪f (u, v) = [u]tB [f ]B [v]B‬‬ ‫האלגוריתם הכללי ביותר בהוכחת משפט הליכסון‪ ,‬דוגמא לרעיון עבור תבנית‬ ‫‪.q(x, y, z) : R3 → R‬‬ ‫‪.1‬מקבצים את האיברים בהם משתתף משתנה ‪ x‬ומשלימים את הביטוי‬ ‫הגדרה ‪ 7.4‬תבנית בילינארית ‪ ,f : V × V → F‬נקראת סימטרית אם‪:‬‬ ‫שמקבלים לריבוע שלם‪ ,‬נקבל תבנית מהצורה־ ‪q(x, y, z) = (α1 x +‬‬ ‫)‪.∀u, v ∈ V : f (u, v) = f (v, u‬‬ ‫‪.β1 y + γ1 z)2 + λ1 y 2 + λ2 z 2 + λ3 yz‬‬ ‫‪ f‬נקראת אנטי־סימטרית אם‪.∀u, v ∈ V : f (u, v) = −f (v, u) :‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪.2‬מבצעים את אותה פעולה עבור המשתנה ‪ ,y‬קיבלנו תבנית מהצורה‪ :‬מסקנה ‪ 7.25‬א( כל מטריצה ממשית סימטרית )‪ A ∈ Mn (R‬חופפת למטריצה‬ ‫יחידה מהצורה‪.D = diag(1,.., 1, −1,..., −1, 0,..., 0) :‬‬ ‫‪.q(x, y, z) = (α1 x + β1 y + γ1 z)2 + µ1 (β2 y + γ2 z)2 + µ2 z 2‬‬ ‫ב( תהיינה )‪ A, B ∈ Mn (R‬מטריצות ממשיות סימטריות‪.‬אזי ‪ A, B‬חופפות‬ ‫אם ורק אם )‪ ρ(A) = ρ(B‬והסימניות של ‪ A‬ו־‪ B‬שוות‪.‬‬ ‫‪.3‬נגדיר בסיס חדש ‪ B ′‬אשר מוגדר על ידי‪:‬‬ ‫⎧‬ ‫⎪‬ ‫‪′‬‬ ‫‪⎨ x = α1 x + β 1 y + γ 1 z‬‬ ‫‪ 7.1.1‬הסימן של תבנית ריבועית ממשית‬ ‫‪y ′ = β2 y + γ2 z‬‬ ‫⎪‬ ‫‪⎩ ′‬‬ ‫הגדרה ‪ 7.26‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי ממשי ותהי ‪ q : V → R‬תבנית ריבועית‪.‬אזי‬ ‫‪z = z‬‬ ‫‪ q‬נקראת‪:‬‬ ‫ חיובית לחלוטין אם ‪ q(v) > 0‬לכל ‪. 0 ̸= v ∈ V‬‬ ‫‪.4‬בבסיס ‪ B ′‬נקבל כי אכן ‪.q(x′ , y ′ , z ′ ) = (x′ )2 + µ1 (y ′ )2 + µ2 (z ′ )2‬‬ ‫⎛‬ ‫⎞ ⎛⎞‬ ‫ חיובית למחצה אם ‪ q(v) ≥ 0‬לכל ‪.v ∈ V‬‬ ‫‪α1 β 1 γ 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⎝ = ‪.[v]B ′‬‬ ‫‪.5‬נרשום ) ‪ [v]B ′ = (x′ , y ′ , z ′‬ואז ⎠ ‪β2 γ2 ⎠ ⎝y‬‬ ‫ שלילית לחלוטין אם ‪ q(v) < 0‬לכל ‪.0 ̸= v ∈ V‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪.6‬נסמן את המטריצה הנ"ל ‪ ,A‬אזי זוהי מטריצת המעבר מ־ ‪B ′‬אל ‪.E3‬לכן‬ ‫ שלילית למחצה אם ‪ q(v) ≤ 0‬לכל ‪.v ∈ V‬‬ ‫המטריצה שאנו מחפשים הינה ‪ M = A−1‬שהינה מטריצת המעבר מ־ ‪E3‬‬ ‫טענה ‪ 7.27‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי ממשי ‪n‬מימדי ותהי ‪ q : V → R‬תבנית‬ ‫אל ‪.B ′‬‬ ‫ריבועית עם פרמטרים ‪ ρ‬ו־‪.π‬‬ ‫‪.7‬ומתקיים כי ‪ D = M t [q]E3 M‬הינה מטריצה אלכסונית‪.‬‬ ‫‪ q.1‬חיובית לחלוטין אם ורק אם ‪.π = n‬‬ ‫משפט ‪ 7.19‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מרוכב ‪ n‬מימדי ו־‪ f : V × V → C‬תבנית‬ ‫‪ q.2‬חיובית למחצה אם ורק אם ‪.π = ρ‬‬ ‫בילינארית סימטרית‪.‬אזי קיים בסיס ‪ B‬של ‪ V‬שבו‪:‬‬ ‫‪ q.3‬שלילית לחלוטין אם ורק אם ‪ π = 0‬ו־‪.ρ = n‬‬ ‫‪f (u, v) = f (x1 ,..., xn , y1 ,.., yn ) = x1 y1 +... + xρ yρ‬‬ ‫‪ q.4‬שלילית למחצה אם ורק אם ‪.π = 0‬‬ ‫כאשר ) ‪ [v]B = (y1 ,.., yn ) ,[u]B = (x1 ,.., xn‬ו־‪ ρ‬היא הדרגה של ‪.f‬‬ ‫משפט ‪ 7.28‬יהי ‪ V‬מ"ו ממשי סוף מימדי ותהי ‪ q : V → R‬תבנית ריבועית‪.‬‬ ‫מסקנה ‪ 7.20‬תהי )‪ A ∈ Mn (C‬מטריצה סימטרית‪ ,‬אז ‪ A‬חופפת למטריצה‬ ‫נניח כי ‪ B‬הוא בסיס סדור של ‪.V‬אז ‪ q‬חיובית לחלוטין אם ורק אם כל‬ ‫)‪.D = diag(1,...., 1, 0,...., 0‬‬ ‫הערכים העצמיים של ‪ [q]B‬הם חיוביים‪.‬‬ ‫* )‪+ ,‬‬ ‫)‪ρ(A‬‬ ‫‪ 7.1.2‬שיטת הלכסון של יעקובי‬ ‫משפט ‪ 7.21‬יהי ‪ V‬מ"ו מעל ‪ R‬ממימד סופי‪.‬תהי ‪ f : V × V → R‬תבנית‬ ‫ביליניארית סימטרית‪.‬אז קיים בסיס סדור ‪ B‬של ‪ V‬בו מטריצת הייצוג הינה משפט ‪ 7.29‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי ממימד ‪ n ≥ 1‬מעל שדה ‪ F‬ותהי ‪f :‬‬ ‫‪ V × V → F‬תבנית ביליניארית סימטרית‪.‬‬ ‫מהצורה‪:‬‬ ‫יהי ‪ B‬בסיס סדור של ‪ V‬ותהי ‪ A = (αij )ni,j=1‬מטריצת הייצוגת של ‪ f‬לפי‬ ‫)‪[f ]B = diag(1,...., 1, −1,...., −1, 0,..., 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫בסיס ‪1.B‬‬ ‫* )‪+ ,) * + ,‬‬ ‫‪1α11... α1i 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ρ−π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ∆i = 1‬לכל ‪.1 ≤ i ≤ n‬‬ ‫נניח כי ‪1 ̸= 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫כאשר ‪ ρ‬הינה הדרגה של ‪.f‬‬ ‫‪1 αi1... αii 1‬‬ ‫אזי קיים בסיס סדור ‪ B ′‬של ‪ V‬בו למטריצת הייצוג ‪ [f ]B ′‬הצורה הבאה‬ ‫משפט זהה לתבניות ריבועיות‪.‬‬ ‫‪1 ∆1‬‬ ‫‪∆n−1‬‬ ‫משפט ‪) 7.22‬משפט ההתמדה של סילבסטר( יהי ‪V‬מרחב וקטורי סוף מימד‬ ‫(‪[f ]B ′ = diag‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,...,‬‬ ‫)‬ ‫‪∆1 ∆2‬‬ ‫‪∆n‬‬ ‫ממשי‪.‬תהי ‪ q : V → R‬תבנית ריבועית‪.‬נניח ‪ B, B ′‬בסיסים סדורים של ‪V‬‬ ‫בהם מטריצות הייצוג ‪ [q]B‬ו־ ‪ [q]B ′‬הינן אלכסוניות‪.‬‬ ‫אזי מספרי האיברים החיוביים והשליליים בשתי מטריצות הייצוג הנ"ל שווים משפט מקביל קיים גם לתבניות ריבועיות‪.‬‬ ‫אלה לאלה‪ ,‬בהתאמה‪.‬‬ ‫מסקנה ‪) 7.30‬קריטריון סילבסטר( יהי ‪ V‬מרחב וקטורי ‪ n‬מימדי )‪ (n ≥ 1‬מעל‬ ‫‪.R‬‬ ‫מסקנה ‪ 7.23‬לכל תבנית ריבועית ‪ q : V → R‬על מ"ו ממשי סוף מימדי‪ ,‬אז‬ ‫תהי ‪ q : V → R‬תבנית ריבועית המוגדרת על ‪.V‬‬ ‫בכל צורה אלכסונית של ‪ ,q‬מס' האיברים החיוביים באלכסון ‪ π‬ומס' האיברים‬ ‫= ‪.([q]B )ij‬‬ ‫השליליים באלכסון ‪ ρ − π‬לא תלויים בבחירת הבסיס‪.‬על כן הם השמורות‬ ‫היא מהצורה ‪1 αij‬‬‫נניח כי בבסיס סדור ‪ ,B‬מטריצת הייצוג ‪1 [q]B‬‬ ‫)אינווריאנטיות( של ‪.q‬‬ ‫‪1α11... α1i 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ∆i = 1‬לכל‬ ‫אזי ‪ q‬היא חיובית לחלוטין אם ורק אם ‪1 > 0‬‬ ‫הגדרה ‪ 7.24‬ההפרש בין מספר האיברים החיוביים למספר האיברים השליליים‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 αi1... αii 1‬‬ ‫בצורה אלכסונית של תבנית ריבועית ‪ ,π −(ρ−π) ,q‬נקרא הסימנית )סיגנטורה(‬ ‫‪.1 ≤ i ≤ n‬‬ ‫של ‪.q‬‬ ‫‪9‬‬