동아 고등 수학교과서 1단원 PDF

1 다항식의 연산 고대에는 수의 계산을 중시했지만 르네상스 이후 비에트를 비롯한 수학자들이 수학에 문자를 도입하면서 수학자들의 관심은 문자를 사용한 식으로 옮겨졌다. 이에 따라 수학이 매우 빠른 속도 로 발전하였고, 사회 현상이나 자연 현상을 문자를 사용한 식으로 나타낼 수 있게 되면서 수학은 여러 학문 발...

1 다항식의 연산 고대에는 수의 계산을 중시했지만 르네상스 이후 비에트를 비롯한 수학자들이 수학에 문자를 도입하면서 수학자들의 관심은 문자를 사용한 식으로 옮겨졌다. 이에 따라 수학이 매우 빠른 속도 로 발전하였고, 사회 현상이나 자연 현상을 문자를 사용한 식으로 나타낼 수 있게 되면서 수학은 여러 학문 발전의 토대가 되었다. 출처 Eves, H., 『수학사』 학습 목표 다항식의 사칙연산을 할 수 있다. 항등식의 성질과 나머지정리의 리의 의미를 이해하고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다. 다항식의 인수분해를 할 수 있다. 비에트 (ViÀａte, F., 1540~1603) 이 단원을 시작하며 나의 학습 계획을 세우고, 학습해 가면서 나만의 포트폴리오를 만들어 보세요. 학습 계획 서두르지 않고 꼼꼼하게 문제를 풀어 보겠다. 학습 내용 요약 카드 탐구 과제 해결 모음집 수학 학습 계획표 포트폴리오  다항식의 연산 폴리노미오그래피(QPMZOPNJPHSBQIZ)는 다항식의 값을 구하는 방법을 이용하여 만든 그림을 뜻한다. 폴리노미오그래피를 그릴 때 사용하는 컴퓨터 프로그램에 다항식과 수를 입력하면 그림이 화면에 나타나는데, 이때 그림의 색을 바꿀 수도 있다. 폴리노미오그래피 작품에는 다항식의 연산 원리가 숨어 있다. 출처 『수학동아』, 2016년 2월호 준비 학습 다항식의 연산 1 다음 식을 간단히 하시오. 자신 있음 ⑴ YZ Y Z ⑵ Y Z  YZ 복습 필요 ⑶ Y Z YZ ⑷ Y ZYZ –YZ  인수분해 2 다음 식을 인수분해하시오. 자신 있음 ⑴ Y ⑵ Y Y  복습 필요   ⑶Y Y  ⑷ Y Y  10 │Ⅰ. 다항식  다항식의 연산 학습 목표 다항식의 사칙연산을 할 수 있다. 개념 1 ‫⧔݋‬ᝄᮧᨛਢóᱼณ⧇ʳ" 생각 열기 오른쪽 그림은 컴퓨터에 저장된 파일들의 이름을 오름 차순으로 정렬한 것이다. 이와 같이 어떤 규칙에 따라 파일들을 정렬해 놓으면 필요한 파일을 쉽게 찾을 수 있다. 물음에 답하여 보자. 1 파일들의 이름을 내림차순으로 정렬하면 어떤 결과가 나올지 말하여 보자. 2 다항식  YY Y을 어떤 기준으로 로 정리하면 효율적일지 생각해 보자. 다항식을 특정한 문자에 대하여 차수가 높은 항부터 낮아지는 순서로 정리하는 배웠어요! 중1 문자를 포함한 항에서 문 것을 그 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다라고 하고, 차수가 낮은 항부터 높아 자가 곱해진 개수를 그 문자에 대한 항의 차수라 지는 순서로 정리하는 것을 그 문자에 대하여 오름차순으로 정리한다고 한다. 고 한다. 예를 들어 문자 Y에 대한 YZ의 차수는 , 문자 Z에 대한 YZ의 보기 다항식 YZY Z를 차수는 이다. Y에 대하여 내림차순으로 정리하면 Y YZ Z  Y에 대하여 오름차순으로 정리하면 Z YZY 참고 다항식은 보통 내림차순으로 정리한다. 문제 1 다항식 Y YZYZ Z를 다음과 같이 정리하시오. ⑴ Y에 대한 내림차순 ⑵ Z에 대한 내림차순 1. 다항식의 연산 │ 11  개념 2 ‫⧔݋‬ᝄᮿߎᖯţያᖯᮧᨛਢó⧇ʳ" 중1 다항식의 덧셈은 동류항끼리 모아서 정리한다. 배웠어요! 다항식에서 문자와 차수 이때 두 다항식의 차 "#는 "에 #의 각 항의 부호를 바꾼 #를 더한 것과 가 각각 같은 항을 동류 항이라고 한다. 같다. 즉, "#" # 이다. 예를 들어 다항식 "YY , #YY Y 에서 동류항의 위치를 아래, 위 " # YY  YY Y  로 맞추어 세로로 계산할 수도 있다. Y  Y   Y   YY  YYY    Y qqY qqY  q Y YY   이고 YY  "# YY   YY Y    Y qqY qqY  q Y YY    YY  Y YY Y   Y  Y  Y YY  이다. 수의 덧셈에서와 같이 다항식의 덧셈에서도 다음 성질이 성립한다. 다항식의 덧셈의 성질 다항식은 보통 다항식 ", #, $에서 ", #, $, U로 나타낸다. 1. 교환법칙 " ## " 2. 결합법칙 " # $" # $ 참고 다항식의 덧셈에서 결합법칙이 성립하므로 " # $와 " # $ 는" # $로 괄호를 생략하여 나타내기도 한다. 문제 2 다항식 ", #, $가 "YY , #Y , $YY일 때, 다음을 구하시오. ⑴ " # $ ⑵" # $# 문제 3 다항식 ", #가 "YYZ, #YZ Z일 때, 다음 등식을 만족시키는 다항식 9를 구하 시오. ⑴ "9# ⑵  9" #9 12 │Ⅰ. 다항식  개념 3 ‫⧔݋‬ᝄᮿŘᖯᮧᨛਢó⧇ʳ" 다항식의 곱셈은 식을 전개한 다음 동류항끼리 모아서 정리한다. 중3 예를 들어 다항식 "Y , #Y Y에서 배웠어요! 두 다항식의 곱 "# Y  Y Y Y Y Y  Y Y B C D E Y YY Y Y BD BE CD CE ① ② ③ ④ Y Y Y 이다. 수의 곱셈에서와 같이 다항식의 곱셈에서도 다음 성질이 성립한다. 다항식의 곱셈의 성질 다항식 ", #, $에서 1. 교환법칙 "##" 2. 결합법칙 "# $" #$ 3. 분배법칙 " # $ "# "$, " # $"$ #$ 참고 다항식의 곱셈에서 결합법칙이 성립하므로 "# $와 " #$ 는 "#$로 괄호를 생략하여 나타 내기도 한다. 문제 4 다음 식을 전개하시오. ⑴ Y  Y Y  ⑵ Y Y Y  중3 다항식의 곱셈의 성질과 중학교에서 배운 곱셈 공식을 이용하면 다음과 같이 다항 배웠어요! 곱셈 공식 식의 곱셈을 할 수 있다.  ① B C B BC C B C D 을 전개하면 다음과 같다. ② BC  B C D \ B C D^ BBC C  ③ B C BC  B C  B C D D BC  B BC C BD CD D B C D BC CD DB 1. 다항식의 연산 │ 13  같은 방법으로 B C 을 전개하면 B C  B C  B C  B BC C B C  B BC C B B BC C C B BC BC BC BC C B BC BC C 이다. 또, BC \B C ^이므로 위의 결과의 C에 C를 대입하면 BC \B C ^ B B C B C  C  BBC BCC 이다. 문제 5 다음 식을 전개하시오. ⑴ B C BBC C ⑵ BC B BC C 이상에서 다음 곱셈 공식을 얻을 수 있다. 곱셈 공식 1. B C D B C D BC CD DB     2. B C B B C BC C      BC BBC BCC 3. B C B BC C B C     BC B BC C BC 예제 1 곱셈 공식을 이용하여 다음 식을 전개하시오.  ⑴ Y ⑵ YZ Y YZ Z 풀이 ⑴ Y Y@Y@ @Y@YY Y    ⑵ YZ Y YZ Z  YZ \Y Y@Z Z ^ Y Z YZ ⑴ YY Y ⑵ YZ 14 │Ⅰ. 다항식  문제 6 곱셈 공식을 이용하여 다음 식을 전개하시오.   ⑴ Y Z [ ⑵ Y  ⑶ Y Y Y  ⑷ Y Z YYZ Z 여러 가지 식의 값을 구할 때 곱셈 공식을 이용할 수 있다. 예제 C, BC일 때, B C의 값을 구하시오. 2 B B C 풀이 B C B BC BC C에서  B C BC B C B C B C BCBC  B C BC B C   @@  문제 7 다음 식의 값을 구하시오. ⑴Y Z [, YZ Z[ [Y일 때, Y Z [의 값 ⑵ YZ, YZ일 때, YZ의 값 생각과 표현 문제 해결 추론 창의·융합 의사소통 다음 대화를 보고 Y, Z 일 때, Y Z의 값을 구해 보자. 또, 그 과정을 친구들에게 설명해 보자. Y, Z의 값을 각각 곱셈 공식을 배웠으니까 먼저 대입해 볼까? 이용해 볼까? Y Z, YZ의 값을 구해 보면 ⋯. 윤미 윤미 지수 지수 준희 준희 1. 다항식의 연산 │ 15  개념 4 ‫⧔݋‬ᝄᮿӿ‫پ‬ᖯᮧᨛਢó⧇ʳ" 다항식의 나눗셈을 할 때에는 두 다항식을 내림차순으로 정리한 다음 자연수의 나눗셈과 같은 방법으로 한다. 예를 들어 Y Y – Y 는 다음과 같이 계산한다. Y  ጻ  Y Ž Y Y   Ž  YY  Y  Ž Y   नወ≐ Ž  다항식의 나눗셈 자연수의 나눗셈 상수항의 차수는 으로 생 여기서 는 Y보다 차수가 낮기 때문에 더 이상 나눌 수 없다. 각한다. 따라서 Y Y를 Y로 나누었을 때의 몫은 Y , 나머지는 이다. 문제 8 다음 나눗셈을 하여 몫과 나머지를 각각 구하시오. ⑴ YY  ÷ Y ⑵ YY Y ÷ Y  2는 몫을 뜻하는 영어 단어 다항식 "를 다항식 # #  로 나누었을 때의 몫을 2, 나머지를 3라고 하면 RVPUJFOU의 첫 문자이고, 3는 나머지를 뜻하는 영어 "#2 3 단어 SFNBJOEFS의 첫 문자 와 같이 나타낼 수 있다. 이때 3의 차수는 #의 차수보다 낮다. 이다. 특히, 3이면 "는 #로 나누어떨어진다고 한다. 보기 ⑴ 나눗셈 YY  ÷ Y  의 몫은 YY, 나머지는 이므로 YY  Y  YY 과 같이 나타낼 수 있다.   ⑵ 나눗셈 Y Y Y ÷ Y 의 몫은 YY , 나머지는 이므로    Y Y Y Y Y Y  와 같이 나타낼 수 있다.   즉, Y Y Y는 Y로 나누어떨어진다. 문제 9 다음 다항식 ", #에서 "를 #로 나누었을 때의 몫 2와 나머지 3를 각각 구하고 "#2 3 꼴로 나타내시오. ⑴ "YY , #Y  ⑵ "YY, #Y  16 │Ⅰ. 다항식  나머지정리 학습 목표 항등식의 성질을 이해한다. 나머지정리의 의미를 이해하고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다. 개념 1 ⧔क़ᝄᮧᨛ਋ᖘḯᯛᯯ᮫ʳ" 탐구하기 다음 등식 중에서 Y에 대한 항등식을 찾아보자. ⷽඁ᭭ တ   ⑴ Y ⑵Y Y  Y    ⑶ Y Y Y  Y Y ⑷Y YY Y 등식 배웠어요! 중1 문자에 어떤 값을 대입해 Y Y Y  Y , B C B BC C 도 항상 참이 되는 등식을 그 문자에 대한 항등식이 은 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하므로 항등식이다. 앞에서 배운 곱셈 공식은 라고 한다. 모두 항등식이지만 Y, Y는 특정한 Y의 값에서만 성립하므로 항등식이 아니다. 등식 BY CY D이 Y에 대한 항등식이 되기 위한 조건을 알아보자. 등식 BY CY D이 Y에 대한 항등식이면 Y에 어떤 값을 대입해도 항상 성립 하므로 Y을 대입하면 D 이다. B, C의 값을 구하기 위해 Y, Y을 각각 대입하면 B C BC 이다. 두 식을 연립하여 풀면 B, C이므로 등식 BY CY D이 Y에 대한 항등식이면 BCD이다. 또한, BCD이면 모든 Y에서 BY CY D이므로 BY CY D은 Y에 대한 항등식이다. 1. 다항식의 연산 │ 17  문제 1 등식 BY CY DBY CY D이 Y에 대한 항등식이면 BB, CC, DD임을 설명하 시오. 또한, BB, CC, DD이면 등식 BY CY DBY CY D은 Y에 대한 항등식 임을 설명하시오. 위의 내용을 정리하면 다음과 같다. 항등식의 성질 1. 등식 BY CY D이 Y에 대한 항등식이면 BCD이다.  또한, BCD이면 등식 BY CY D은 Y에 대한 항등식이다. 2. 등식 BY   CY DBY CY D이 Y에 대한 항등식이면 BB, CC, DD이다. 또한, BB, CC, DD이면 등식 BY CY DBY CY D은 Y에 대한 항등식이다. 항등식의 뜻과 성질을 이용하여 등식에서 미지의 계수를 정하는 방법을 미정계수법 이라고 한다. 미정계수법에는 양변의 동류항의 계수를 비교하는 방법과 양변의 문자에 적당한 수를 대입하는 방법이 있다. 예제  Y CYY 1 등식 B BC Y B 가 Y에 대한 항등식이 되도록 상수 B, C의 값을 각각 정하시오. 풀이 항등식의 성질을 이용하여 양변의 동류항의 계수를 비교하면 B , BC, B C 이 식을 연립하여 풀면 B, C 다른 항등식은 Y에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하므로 풀이 주어진 등식의 양변에 Y, Y을 각각 대입하면 B C, B  이 식을 연립하여 풀면 B, C B, C 문제 2 다음 등식이 Y에 대한 항등식이 되도록 상수 B, C의 값을 각각 정하시오. ⑴ Y  B C Y BC ⑵ YYB Y   C Y   18 │Ⅰ. 다항식  개념 2 ӿຟḧᱼณᪧᯟᙿᱼณ௧ྛᨮᯣʳ" 1 Y 를 Y로 탐구하기 나누었을 때의 나머지와 1  의 값 사이에는 어떤 관계가 있을까? 다항식 1 Y YY 에서 물음에 답하여 보자. 1 다항식 1 Y 를 Y로 나누었을 때의 나머지를 구해 해 보자. 2 1  의 값을 구해 보자. 3 위의 1과 2의 값을 서로 비교해 보자. 보통 Y에 대한 다항식은 다항식 1 Y 를 일차식 Y=로 나누었을 때의 몫을 2 Y , 나머지를 3라고 하면 1 Y 로 나타낸다. 1 Y 에서 1는 다항식을 뜻하는 1 Y  Y= 2 Y 3 (3는 상수) 영어 단어 QPMZOPNJBM의 이다. 이 등식은 Y에 대한 항등식이므로 양변에 Y=를 대입하면 첫 문자이다. 1 =  == 2 = 3 @2 = 33 이다. 즉, 31 = 이다. 위의 내용을 정리하면 다음 나머지정리를 얻는다. Q 나머지정리를 이용하면 어떤 점이 편리할까요? A 다항식을 일차식으로 나머지정리 나눌 때, 나눗셈을 직접 다항식 1 Y 를 일차식 Y=로 나누었을 때의 나머지를 3라고 하면 하지 않고도 나머지를 알 수 있어요. 31 = 보기 다항식 1 Y Y Y 을 일차식 Y로 나누었을 때의 나머지는  1   @  문제 3 다항식 1 Y Y YY 를 다음 일차식으로 나누었을 때의 나머지를 구하시오. ⑴ Y ⑵Y  문제 4 다항식 1 Y Y BY B 를 Y로 나누었을 때의 나머지가 가 되도록 상수 B의 값을 정하시오. 1. 다항식의 연산 │ 19  예제 다항식 1 Y Y YY 2 을 Y 로 나누었을 때의 나머지를 구하시오. 다항식 1 Y 를 일차식 BY C로 나누었을 때의 풀이 다항식 1 Y 를 Y 로 나누었을 때의 몫을 2 Y , 나머지를 3라고 하면 나머지는 1[@!]이다. 1 Y  Y  2 Y 3[Y Å]2 Y 3 이 등식은 Y에 대한 항등식이므로 양변에 YÅ 을 대입하면 1[Å]@@2[Å] 33 따라서 구하는 나머지는 31[Å]@[Å]A @[Å]A@[Å]   문제 5 다항식 1 Y YY 를 다음 일차식으로 나누었을 때의 나머지를 구하시오. ⑴ Y ⑵ Y  예제 3 다항식 1 Y 를 Y 로 나누었을 때의 나머지는 이고, Y로 나누었을 때의 나머 지는 이다. 다항식 1 Y 를 Y  Y 로 나누었을 때의 나머지를 구하시오. 다항식을 이차식으로 나누 풀이 다항식 1 Y 를 Y  Y 로 나누었을 때의 몫을 2 Y , 나머지를 BY C라고 하면 었을 때의 나머지는 이차 1 Y  Y  Y 2 Y BY C 식보다 차수가 낮아야 하 므로 나머지를 BY C (B, 나머지정리에 따라 1  , 1  이므로 C는 상수)라고 한다. 1  B C 1  B C 이 식을 연립하여 풀면 B, C이므로 구하는 나머지는 Y 이다. Y  문제 6 다항식 1 Y 를 Y로 나누었을 때의 나머지는 이고, Y 로 나누었을 때의 나머지는 이다. 다항식 1 Y 를 Y Y  로 나누었을 때의 나머지를 구하시오. 나머지정리에 따라 다항식 1 Y 를 일차식 Y=로 나누었을 때의 나머지는 1 = 이므로 1 = 이면 다항식 1 Y 는 일차식 Y=로 나누어떨어짐을 알 수 있다. 또한, 다항식 1 Y 가 일차식 Y=로 나누어떨어지면 1 = 이다. 20 │Ⅰ. 다항식  앞의 내용을 정리하면 다음 인수정리를 얻는다. 다항식 1 Y 가 Y=로 인수정리 나누어떨어지면 Y=는 다항식 1 Y 에서 1 = 이면 다항식 1 Y 는 일차식 Y=로 나누어떨어진다. 1 Y 의 인수이다. 또한, 다항식 1 Y 가 일차식 Y=로 나누어떨어지면 1 = 이다. 예제 다항식 1 Y YY 4 BY 이 Y 로 나누어떨어지도록 상수 B의 값을 정하시오. 풀이 다항식 1 Y YY BY 이 Y 로 나누어떨어지면 인수정리에 따라 1  이므로 1  B  따라서 B  문제 7 다항식 1 Y Y  BY Y이 Y로 나누어떨어지도록 상수 B의 값을 정하 시오. 문제 8 다항식 1 Y YY BY C가 Y와 Y로 모두 나누어떨어지도록 상수 B, C의 값을 각각 정하시오. 생각과 표현 문제 해결 추론 창의·융합 의사소통 Y 로 나누었을 때의 나머지가 인 다항식을 개 만들어 보자. 내가 만든 방법을 친구들에게 설명하고, 친구 들이 만든 방 방법과 비교하여 스스로 평가해 평 보자. ॄҐ
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ᒹᔥ 1. 다항식의 연산 │ 21  개념 3 ᳗ฤᲃჼᯛ௧ྛᨮᯣʳ" 다항식 1 Y 를 일차식 Y=로 나누었을 때의 몫과 나머지를 다항식 1 Y 의 각 항의 계수만을 이용하여 구하는 방법을 알아보자. 예를 들어 다항식 1 Y YY Y 를 Y로 나누면 다음과 같다. Y Y  ጻ Y Ž YY Y  ጻῨ YῨ
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ᥑ᪨ⷽ:  Y  नወ≐ 따라서 몫은 Y Y , 나머지는 이다. 이때 다항식 1 Y 의 각 항의 계수만을 이용하여 다음과 같이 몫과 나머지를 간단히 구할 수도 있다.    AAAAA  @  @  @         ጻ: Y Y  नወ≐:  이와 같이 각 항의 계수만을 이용하여 다항식을 일차식으로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구하는 방법을 조립제법이라고 한다. 예제 5 조립제법을 이용하여 다음 나눗셈의 몫과 나머지를 각각 구하시오. YY  – Y  조립제법에서 다항식의 각 풀이 오른쪽과 같이 조립제법을 이용하면 항의 계수를 나열할 때, 항      YY 를 Y 로 나누었을 때의 몫은 이 없는 경우는 계수가 인    것이므로 을 반드시 표기 YY, 나머지는 이다.     한다. 몫: YY, 나머지:  문제 9 조립제법을 이용하여 다음 나눗셈의 몫과 나머지를 각각 구하시오. ⑴ YY Y ÷ Y ⑵ Y Y ÷ Y  22 │Ⅰ. 다항식  예제 6 조립제법을 이용하여 다음 나눗셈의 몫과 나머지를 각각 구하시오. Y YY – Y 다항식을 BYC로 나누었 풀이 Y[YÅ]이므로 오른쪽과 같이 Å     을 때의 몫은 Y@!로 나   조립제법을 이용하면 Y Y Y을    누었을 때의 몫의 @Å이다.     YÅ로 나누었을 때의 몫은 Y Y, 나머지는 이다. Y YY[YÅ] Y Y   Y Y Y  따라서 Y Y Y을 Y로 나누었을 때의 몫은 Y Y, 나머지는 이다.  몫: Y Y, 나머지:  문제 10 조립제법을 이용하여 다음 나눗셈의 몫과 나머지를 각각 구하시오. ⑴ YY Y – Y  ⑵ YY Y  – Y 생각과 표현 문제 해결 추론 창의·융합 의사소통 다음은 가인이가 조립제법을 이용하여 다항식 YY 을 일차식 Y로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구한 것이다. 가인이의 풀이 중 잘못된 부분을 모두 찾아 바르게 풀어 보자.            

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  1. 다항식의 연산 │ 23  공학 도구 개념 탐구 수학 들여다 하 중 상 보기 ᝇʗ⧃ᙿᮿ႗ᩛ 난이도 규칙에 따라 수를 배열했을 때, 신기한 수의 배열이 나타나는 경우가 있다. 그 까닭을 다항 식을 이용하여 설명해 보자. 활동 "열의 O행의 수를 제곱하여 #열의 O행에, "열의 O 행의 수와 O행의 수를 곱하여 $열의 O행 에 나타내면 다음 그림과 같다. #셀의 수 이 나타나는 까닭을 알아보자. "셀의 수 은      과 같이 나타낼 수 있다. 즉, 은 Y일 때의 다항식 Y Y 의 값이다. #셀의 수 은 "셀의 수 을 제곱한 것이므로 #셀은 Y Y  Y Y  Y Y Y Y Y Y Y     에서 Y일 때의 다항식 Y Y  ,즉Y Y Y Y 의 값이다. 위 식의 양변에 Y을 대입하면         이다. 따라서 @이다. 탐구 $셀의 수  이 나타나는 까닭을 설명해 보자. $셀의 수 은 "열의 행의 수 과 행의 수 을 곱한 거야. 민혁     이니까 ⋯. 가인 출처 권영한, 『재미있는 이야기 수학』 24 │Ⅰ. 다항식  인수분해 학습 목표 다항식의 인수분해를 할 수 있다. 개념 1 ŘᖯŜᝄ᮫ᯛᬐ⦿ᩓ‫⧔݋‬ᝄ᮫ᨛਢóᯟᙿᇫ⧛⧇ʳ" 탐구하기 다음과 같이 의 입체도형 개를 붙여 와 같은 정육면체를 만들었다. 의 입체도형의 부피의 합과 의 입체도형의 부피가 같음을 등식으로 나타내 보자. 이 입체도형의 부피를 한 모서리의 길이가 모두 더하면 ⋯. Y 인 정육면체의 부피는 ⋯. 위의 탐구하기에서 Y Y Y  Y Y Y  Y   인수분해 전개 Y   임을 알 수 있다. 이와 같이 하나의 다항식을 두 개 이상의 인수의 곱으로 나타내는 것을 그 다항식을 인수분해한다고 한다. 다항식의 인수분해는 다항식의 전개를 거꾸로 한 것이므로 곱셈 공식의 좌변과 우변 을 바꾸면 다음과 같은 인수분해 공식을 얻을 수 있다. 배웠어요! 중3 인수분해 공식 인수분해 공식 1. B C D BC CD DB B C D     ① B BC C 2. B B C BC C  B C       B C  ② BBC C BBC BCC BC   BC  3. B C  B C B BC C     ③ BC  B C BC BC BC B BC C 1. 다항식의 연산 │ 25  예제 다항식 Y Z [ YZZ[[Y를 인수분해하시오. 1 풀이 Y Z [ YZZ[[YY Z [  YZ Z [  [ Y   Y Z[  Y Z[ 문제 1 다음 식을 인수분해하시오. ⑴ B C DBCCD DB ⑵ Y Z [ YZ Z[ [Y 예제 2 다음 식을 인수분해하시오. ⑴ Y Y Y  ⑵ B C 풀이 ⑴ Y Y Y Y @Y@ @Y@    Y  ⑵ B CB C   B C BBC C  ⑴ Y  ⑵ B C BBC C 문제 2 다음 식을 인수분해하시오. ⑴ Y Y Y  ⑵ BB B     ⑶ Y Z ⑷ B C 인수분해 공식을 직접 이용하기 어려울 때에는 인수분해 공식을 이용할 수 있도록 다항식을 적절하게 변형하여 인수분해한다. 특히, 공통부분이 있는 다항식을 인수분해 할 때에는 공통부분을 하나의 문자로 바꾸어 인수분해하면 편리하다. 26 │Ⅰ. 다항식  예제 3 다음 식을 인수분해하시오. ⑴ YY  ⑵ YZ YZ  ⑴ Y9로 놓고, 주어진 풀이 ⑴ Y9로 놓으면 식을 9에 대한 이차식 YY 99  으로 나타낸다.  9 9   Y  Y  Y  Y Y  Y ⑵ YZ9로 놓으면 YZ YZ 9 9  99  9  9  YZ  YZ ⑴ Y  Y Y  Y ⑵ YZ  YZ 문제 3 다음 식을 인수분해하시오. ⑴ YY  ⑵ Y Y 문제 4 다음 식을 인수분해하시오. ⑴ Y Y  Y Y  ⑵ Y   Y  생각과 표현 문제 해결 추론 창의·융합 의사소통  인수분해를 이용하여 을 계산해 보고, 나의 풀이 방법을 을 @  친구들에게 설명해 보자. 실마리 적당한 수를 문자로 바꾸어 인수분해 공식을 이용한다. 1. 다항식의 연산 │ 27  개념 2 ᯟᙿᱼณ෣ᯛᬐ⦿ᩓ‫⧔݋‬ᝄ᮫ᨛਢóᯟᙿᇫ⧛⧇ʳ" 삼차 이상의 다항식이 일차식인 인수를 갖는 경우에는 인수정리를 이용하여 인수를 찾고, 조립제법으로 몫을 구하여 다항식을 인수분해하면 편리하다. 예를 들어 다항식 1 Y YY Y가 YY Y YB Y CY D 와 같이 계수가 정수인 두 다항식의 곱으로 인수분해된다고 하자. 이때 이 등식은 항등식이므로 BD, 즉 BD이다. B와 D는 정수이므로 B의 값은 †, †, † 중 하나이어야 한다. 1  이므로 다음과 위의 값 중에서 을 1 Y 의 Y에 대입하여 보면 같이 인수분해할 수도 있다. 1  @ @         이므로 인수정리에 따라 1 Y 는 Y을 인수로 갖는다.     YY Y 따라서 오른쪽과 같이 조립제법을 이용하여       Y YY  1 Y 를 다음과 같이 인수분해할 수 있다.  Y Y     1 Y YY Y      Y YY    Y Y 예제 다항식 Y Y을 인수분해하시오. 4 †, †, †, † 중에 풀이 1 Y Y Y으로 놓으면 서 Y Y을 만족 1    시키는 Y의 값을 찾은 후, 인수정리를 이용하여 인수 이므로 인수정리에 따라 1 Y 는 Y을 인수로 갖는다. 분해한다. 따라서 오른쪽과 같이 조립제법을 이용하여      인수분해하면    Y Y Y Y Y      Y Y Y  문제 5 다음 식을 인수분해하시오. ⑴ YY  ⑵ Y Y Y      ⑶Y Y Y Y ⑷ Y Y Y 28 │Ⅰ. 다항식  공학 도구 개념 탐구 수학 들여다 하 중 상 보기 ࠫ⩼᮫ᯛᬐ⧃ᯟᙿᇫ⧛ 난이도 도형을 이용하여 이용 다항식의 인수분해를 설명할 수 있다. 입체도형을 이용하여 인수분해 공식  B C B C BBC C 이 성립함을 설명해 보자. ❶ 한 모서리의 길이가 B인 정육면체와 한 ❷ 입체도형을 변형하여 다음과 같이 두 개 모서리의 길이가 C인 정육면체를 붙여 의 직육면체로 만든다.   부피가 B C 인 입체도형을 만든다. C C C B C B B C B B C C B BC ❸ 에서 두 직육면체의 부피의 합은 B BC B C C B C  B C BBC C 이다. 의 입체도형의 부피 B C은 의 두 직육면체의 부피의 합과 같으므로 인수분해 공식 B C B C BBC C 이 성립함을 알 수 있다. 탐구 다음 도형을 이용하여 인수분해 공식 BC BC B BC C 이 성립함을 설명해 보자. C B B BC C C C B B B BC B BC C C 1. 다항식의 연산 │ 29  자신감을 다항식의 연산 키우는 바탕 다지기 1 곱셈 공식 ⑴ B C D B C D BC CD DB 01 다항식 ", #가 "YY , ⑵ B C B BC BC C #Y Y Y일 때, 다음을 구하시오. BC BBC BCC ⑴" #     ⑶ B C B BC C B C ⑵ " " #     BC B BC C B C 2 항등식의 성질 ⑴ BY CY D이 Y에 대한 항등식이면 02 다음 식을 전개하시오.  BCD ⑴ BC D  ⑵ BY CY DBY CY D이 Y에 대한 항등식 ⑵ YZ 이면 BB, CC, DD 03 등식 BY Y C가 Y의 값에 관계없이 항상 3 나머지정리 성립하도록 상수 B, C의 값을 각각 정하시오. 다항식 1 Y 를 일차식 Y=로 나누었을 때의 나머 지를 3라고 하면 31 = 이다. 4 인수정리 04 다항식 1 Y Y  Y  Y 을 다음 일차식으로 나누었을 때의 나머지를 구하시오. 다항식 1 Y 에서 1 = 이면 다항식 1 Y 는 일차식 Y=로 나누어떨어진다. ⑴Y  또한, 다항식 1 Y 가 일차식 Y=로 나누어떨어지면 ⑵ Y 1 = 이다. 5 인수분해 공식 ⑴ B C D BC CD DB B C D  05 다음 식을 인수분해하시오. ⑴ Y Z [ YZ Z[ [Y ⑵ B BC BC C B C    ⑵ B B B  BBC BCC BC    ⑶ B C ⑶ B C B C BBC C BC BC B BC C 30 │Ⅰ. 다항식  정답 및 해설 277쪽 기본 익히기 10 등식 B Y BCY  C가 Y의 값에 관계없이 항상 성립하도록 상수 B, C의 값을 06   다항식 ", #가 "Y YZ Z, 각각 정하시오.   #Y YZ Z 일 때, " 9#를 만족 시키는 다항식 9를 구하시오.  07 YY일 때, Y Y 의 값을 구하시오. 11 다음 식을 인수분해하시오. ⑴ Y Y ⑵ Y  Y  ⑶ YYY      ⑷ Y Y Z Z 08 다음 다항식 ", #에서 "를 #로 나누었을 때 의 몫과 나머지를 각각 구하시오. ⑴ "Y YY , #Y  ⑵ "Y Y , #Y  09 다항식 "를 Y Y 로 나누었을 때의 몫은 Y이고 나머지는 Y이다. 이때 다항식 " 12 일차식 Y와 Y이 다항식 Y BY YC의 를 구하시오. 인수일 때, 상수 B, C의 값을 각각 구하시오. 확인 학습 문제 │ 31  자신감을 키우는 정답 및 해설 278쪽 13 다음은 다항식 YY Y 을 Y Y로 나 16 오른쪽 그림의 직육 " % 누었을 때의 나머지를 구하는 과정이다. 안에 면체에서 모든 모서 # $ 알맞은 것을 써넣으시오. 리의 길이의 합이 & )  DN이고 대각선 ' ( 다항식 YY Y 을 Y Y로 나누 "(의 길이가  DN일 때, 이 직육면체의 겉넓 었을 때의 몫을 2 Y , 나머지를 BY C 이를 구하시오. (B, C는 상수)라고 하면 YY Y    Y Y 2 Y BY C Y Y  2 Y BY C 이 식에 Y을 대입하면 C Y 을 대입하면  즉, B 따라서 구하는 나머지는 이다. 생각 실력 키우기 톡!톡! 14 함수 Z L  Y L의 그래프가 실수 17  ,  ,  ,  , L의 값에 관계없이 항상 점 1 B, C 를 지날 때, , U이다. 이 계산 과정에서 이용되는 실수 B, C의 값을 각각 구하시오. 항등식을 찾고, 자신의 방법을 친구들에게 설명 해 보자. 끝의 두 자리의 수가 모두 인데? 어떤 규칙이 있는 것 같아. 15 다항식 1 Y 는 Y로 나누어떨어지고, Y  로 나누었을 때의 나머지는 이다. 이때 다항식 1 Y 를 Y Y로 나누었을 때의 나머지를 , , , , , U는 구하시오. B  B, , , U 라고 할 수 있으니까 ⋯. 32 │Ⅰ. 다항식  문학 속의 수학 창의 융합 생각을 요나스 요나손의 소설 『셈을 할 줄 아는 까막눈이 여자』는 넓히는 가난한 환경에서 태어난 한 여성의 삶을 다룬 이야기이다. 수학 주인공인 놈베코는 가난 때문에 학교를 다니지 못했지만 뛰어난 수 감각과 계산 능력을 가지고 문제를 해결해 나간다. 다음은 이 소설의 일부이다. 실어 나른 어느 날, 그녀의 직속상관은 그 달에 ਘᔰ⟤Ῠ
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을 뻘뻘 흘리고 있었다. 거렸다. @  @  “ 곱하기 는 U.” 그는 혼자서 웅얼 @  @ “가만있자. 계산기가 어디 있더라?” @  “.” 놈베코가 옆에서 알려 주었다.   “꼬마야, 그냥 계산기나 찾아다 줘!”  “이에요!” 놈베코가 되풀이했다. “지금 뭔 말을 하는 거냐?” ᾔ
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