Cours Propagation des ondes lectromagntiques (1) PDF

À la demande de nos étudiants de la 2ème année optométrie et de la 3ème année optique instrumentale et photonique, de l’institut d’optique et mécanique de précision de l’université de Sétif 1 Algérie, j'ai l'honneur de présenter ce modeste ouvrage avec un souci de rigueur et de clarté. Ouvrage s’ins...

À la demande de nos étudiants de la 2ème année optométrie et de la 3ème année optique instrumentale et photonique, de l’institut d’optique et mécanique de précision de l’université de Sétif 1 Algérie, j'ai l'honneur de présenter ce modeste ouvrage avec un souci de rigueur et de clarté. Ouvrage s’inspirant de plusieurs références de notoriétés. Ce cours, que j’ai enseignés pendant quatre ans, traitent quelques éléments optiques (Miroir, dioptre et lentille) d’une manière assez pédagogique et très riche en informations, surtout le dernier chapitre, il a été bien étudié sur tous les plans. La présence d’une série d’exercices à la fin de chaque chapitre, dont la difficulté est progressive, aura apporté un plus à ce polycopier permettant ainsi la compréhension de quelques principes difficiles à imaginer. Dans l’ensemble, cet ouvrage fournit aux étudiants des informations élémentaires mais utiles à savoir les éléments de base de l'optique géométrique et leur permettre l’acquisition d’autres savoirs dans le cadre d’études plus approfondies. J’espère que cet ouvrage apportera une aide précieuse non seulement aux étudiants de classes préparatoires ou de l’université mais aussi à nos collègues enseignants. L’ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE Dr. GUESSOUM AMIR  INTRODUCTION INTRODUCTION L'optique est la branche de la physique qui traite les ondes électromagnétiques, soit de point de vue propagation soit de point de vue propriétés. L'optique géométrique représente la première théorie formulée, dans ce domaine de l’optique, comparativement avec l’optique ondulatoire et l'optique quantique. Cette théorie a été introduite par Euclide au IV siècle avant notre ère, elle a progressé d’une manière empirique jusqu’au XVI siècle, correspondant à la date de l’apparition de certaines expériences, les interférences et la diffraction, qui montrent la limite de l'optique géométrique. Au début du XVII siècle l’optique ondulatoire sera mise en évidence, par Christian Huygens puis par Augustin Fresnel, et l'optique quantique n'émergera qu'au cours du XX siècle. L’optique géométrique est une branche de l'optique qui s'appuie notamment sur le modèle du rayon lumineux. Cette approche simple permet en autres des constructions géométriques d’images, d’où son nom. Elle constitue l'outil le plus flexible et le plus efficace pour traiter les systèmes de formation des images telles que : les miroirs, les dioptres et les lentilles. L'optique physique ou optique ondulatoire est la discipline qui étudie la lumière en la considérant comme étant une onde électromagnétique. Cette dernière s'attache plus particulièrement aux différentes paramètres qui la caractérise tels que : la longueur d’onde, la vitesse, le vecteur d’onde et ainsi de suite. A cet effet, notre polycopié est divisé en deux chapitres : 1- Le premier chapitre s'intéresse à proprement parler aux équations différentielles qui caractérisent la propagation des ondes électromagnétiques dans les milieux diélectrique puis dans les milieux absorbants. Ensuite, nous nous intéressons de décrire les différentes paramètres qui caractérisent la propagation des ondes électromagnétiques dans ces milieux  INTRODUCTION tels que : Le champ électrique, la longueur d’onde, l’indice de réfraction et l’indice d’absorption. 2-Les coefficients de Fresnel en amplitude et en intensité font l'objet du deuxième chapitre, qui présente la variation des ces coefficients en fonction de l’angle d’incidence. Ceci est suivi par l’étude de la variation de l’azimute de la lumière réfléchie pour les milieux diélectrique puis dans les milieux absorbants.  CHAPITRE I : Propagation des ondes électromagnétiques dans les milieux diélectriques 1-1) Bref historique : La lumière a été étudiée très tôt dans l’histoire des sciences, tant du point de vue de sa propagation qu’au point de vue de sa nature. Au début, les Pythagoriciens pensaient que l’œil émettait en ligne droite des rayons venus du feu intérieur de chaque individu et permettaient de voir les objets. Ainsi les chats avaient un feu intérieur plus intense que les hommes puisqu’ils pouvaient voir la nuit. Ensuite, Aristote (384- 322 av.J.-C.), s’oppose à cette idée, pour la plus simple des raisons : si l’œil émettait la lumière, nous pourrions voir la nuit aussi bien que le jour. Il pense plutôt que la sensation de vision est causée par une propagation de l’objet vers l’œil. Alhazen ou Ibn al-Haytham, (965,1039) est considéré comme le plus grand physicien arabe du moyen-âge et le fondateur de l’optique. Selon lui, la lumière a une existence indépendante de l’objet vu ou de l’œil. Elle est émise par une source lumineuse et propagée suivant une ligne droite. Il évoque même la diffusion de la lumière (un grain de poussière peut devenir source accidentelle de lumière). Il explique aussi, la réflexion et la réfraction de la lumière par le changement de sa vitesse à l'interface de deux milieux différents. Ces lois sont modifiées et complétées en 1621 par le néerlandais Willebrord Snell et retrouvées expérimentalement par le français René Descartes en 1637. Quelques années plus tard et exactement en 1657, Pierre de Fermat retrouve ces lois à partir du son principe selon lequel la lumière met un temps minimal pour aller d’un point à un autre. En 1665 Grimaldi a proposé un autre aspect, qui est l’aspect ondulatoire, pour expliquer certains phénomènes bizarres comme l’interférence et la diffraction. La première théorie de cet aspect a été principalement développée par le Hollandais Christian Huygens dans les années 1670, puis elle l’a été complétée par le français Augustin Fresnel en 1818. En 1880, l’écossais James Clerk Maxwell après avoir construit la théorie électromagnétique, conclue que la lumière est une onde électromagnétique caractérisée par une vibration dont la fréquence 1015 Hz et qui se propage dans le vide à une vitesse C=3*108 m/s. Finalement, en 1905, Einstein fait subir une révolution à l’Optique en réintroduisant l’aspect corpusculaire « le photon » pour expliquer l’effet photo émissif. Quelques années plus tard, Louis De Broglie postule la dualité onde corpuscule et relie les deux aspects ondulatoire et corpusculaire. 1-2) Les équations de Maxwell [1831-1879]: Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, représentent les équations le plus générale de l'électromagnétisme. Elles complètent les différents théorèmes fondamentaux de (Gauss 1777-1855, Ampère 1775 -1836 et Faraday 1791 -1867) qui régissaient l'électromagnétisme avant que Maxwell ne les réunisse sous les formes suivantes : div D   ……...…..………………………...……………………..….…… (1-1) div B  0 ………..………………………………………….…..……….…… (1-2) rot E    B t ……….………………………..…………………………… (1-3) rot H  J   D t ………………………..……..……………..……….…… (1-4) Où : B : Induction magnétique V.s/m 2. H : Champ magnétique A/m.  D : Induction électrique A.s/m 2. E : Champ électrique V/m.  : Densité de charges électriques mobiles C/m 3. J   E : Vecteur de la densité du courant A/m 2.  : Est la conductivité A/ V.m .  La première équation est appelée l’équation de Maxwell-Gauss. Elle relie le flux électrique à travers n'importe quelle surface de Gauss fermée avec la charge électrique contenue dans le volume délimité par cette surface.  La deuxième équation dite l’équation de Maxwell-Thomson énonce que le flux magnétique total à travers n'importe quelle surface fermée est nul, ou que le champ magnétique est un champ solénoïdal.  L'équation de Maxwell-Faraday, notée (1-3), décrit comment la variation d'un champ magnétique peut créer un champ électrique. Ce courant induit est utilisé dans de nombreux générateurs électriques : un aimant en rotation crée un champ magnétique en mouvement qui génère un champ électrique dans un fil conducteur à proximité.  La dernière équation est l’équation de Maxwell-Ampère énonce que les champs magnétiques peuvent être générés de deux manières : par les courants électriques (c'est le théorème d'Ampère) et par la variation d'un champ électrique (c'est l'apport de Maxwell sur cette loi). Ces deux dernières équations expriment les relations entre les variations temporelles et spatiales des champs électriques et magnétiques. 1-3) Propagation de la lumière dans des milieux diélectriques : En 1864, Maxwell écrivit dans son article, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field: « … la lumière est une perturbation électromagnétique se propageant dans l'espace suivant les lois de l'électromagnétisme» et par conséquence la propagation de la lumière, est interprétée par la théorie de Maxwell, qui a établi des relations indépendantes de la nature du milieu de propagation, puis il les a complétées par des relations constitutives ou matérielles qui dépendent de la nature du milieu. D   E ………….………..……………………..……….…… (1-5) B   H …..…….………..……………………..……….…… (1-6) Les constantes  et  , appelées respectivement permittivité électrique, et perméabilité magnétique, dépendent du milieu dans lequel on se trouve. Avec :    r  0 et    r  0 Où :  r : Perméabilité relative.  r : Permittivité relative, elle représenté par des valeurs ou des tenseurs (réel ou complexe). 109 A s 109 C 2  0 : Permittivité de vide  . C  A.s, N  kg.m / s 2 36 V m 36 N m2 Vs wb  0 : Perméabilité de vide  4..10 7  4..10 7. Am Am 1-3-1) L’équation d’onde dans les milieux diélectriques : Un milieu est dit diélectrique s'il ne contient pas de charges électriques   0  susceptibles de se déplacer de façon macroscopique. Le milieu ne peut donc pas conduire le courant électrique J  0  , et est par définition un isolant électrique. Quelques exemples de milieux diélectriques : le vide, le verre, le bois sec, de nombreux plastiques,….. Le milieu diélectrique est aussi caractérisé par sa perméabilité  , toujours très voisin de  0. A partir des équations de Maxwell, on peut trouver les équations différentielles pour le champ électrique E et le champ magnétique H :   rot E    B rot E    H 0  t  t    D  E rot H  rot H   0  t  t     rot rot E    H    rot 0  0   t      …………………..………………...…… (1-7)     E 0   rot H    0  t  t  t         H   H  D’après la propriété (3) : rot  rot E    rot rot E  rot   t   0  t         H   H  H   D’après la propriété (5) : rot rot E  rot    rot rot E  grad     rot  t   0  t  t      H   H  H     rot rot E  0    rot   0  rot rot E   rot  t   0 t  t      On remplace cette équation dans le système (1-7), on obtient :     rot rot E  0   rot   H   0   t     2 E   rot rot E    2 ………..…………… (1-8)  t   rot H  2 E  2  0  t t D’autre part, d’après l’équation (1-5) on a : div  D   div   E   0     Et d’après la propriété (4) : div   E   grad  . E   div  E   0. E   div  E   0           div  E   0  grad  div E   0     En utilisant ce dernier résultat, la propriété (12) donne :   rot rot E  grad  div E    2 E    rot rot E   2 E …………………………………………………… (1-9) En combinant les deux équations (1-8 et 1-9) on obtient l’équation d’onde : 2 E  E   2 ………..………………….………………………… (1-10) 2 t La solution de cette équation différentielle est donnée par la formule suivante:   E  E0 exp  j t  K c r  …………………..…………………… (1-11)    Avec: E0 : L’amplitude de l’onde électromagnétique. K c  K r  j K : Vecteur d’onde imaginaire.  Remarque : a) Pour une onde sphérique l’étude est complexe et dans ce cas : K r  0  E  E0 * exp K r r  * exp   j   t  K r      Pour le cas d’une onde plane K r  0 , donc l’équation précédente devient :   E  E0 * exp j    t  K r  …………………..…………………… (1-12)   b) D’après l’équation (I-10), on peut constate que la vitesse de propagation d’une onde électromagnétique est donnée par la formule suivante : 1 v2  …………………………………...……..…………………… (1-13)  Dans le vide  r   r  1 et donc la vitesse de la lumière est donnée par la formule suivante : 1 1 C   3 * 108 m / s ……………………….…… (1-14)  0 0 9 10 4 * 10  7 * 36 c) Il existe de nombreuses méthodes de mesure de la vitesse de lumière. Parmi lesquelles, on cite : la méthode de la roue dentée (due à Fizeau) et celle du miroir tournant (due à Foucault). d) La relation de Maxwell est obtenue en utilisant l’expression de l’indice de réfraction : 1 C  0 0 n    r  r …………………..…………………… (1-15) v 1  0 0  r  r 1-3-2) La deuxième écriture des équations de Maxwell dans les milieux diélectriques : En utilisant l’équation (1-12), on peut récrire l’expression du champ électrique sous la forme suivante : E  E0 * exp j    t  K r    E0 x i  E0 y j  E0 z k  exp j   t  K x x  K y y  K z z           E  E x i  E y j  E z k …..………………………………………… (1-16)  E E   E E   E E   rot E   z  y  i   z  x  j   y  x  k  y z   x z   x y   rot E  j K y E z  K z E y  i  K x E z  K z E x  j  K x E y  K y E x  k      i j k  rot E  j K x Ky K z  j K  E …………………………...………………..……… (1-17) Ex Ey Ez E x E y E z  j K x E x  K y E y  K z E z   j  K. E  ……………….…….....… (1-18)    div E    x y z   De la même manière, on peut démontrer que :   rot H  j  K  H  ……..….….………………………………… (1-19)     div H  j  K. H  ………….……………………………..……… (1-20)   En remplaçant ces équations dans les quatre équations de Maxwell, on obtient : K  E   H …………….………………………..…………… (1-21) K  H   E ……….………………...…………..…………… (1-22)  K. E  0 …………..………………………………………...…… (1-23) K.H  0 ……...…..………………………………..…..……… (1-24) L’équation de dispersion est obtenue lorsqu’on remplace l’équation (1-12) dans l’équation d’onde : 1 2 E 1  E 2 2   2 Ex i   2 E y j   2 Ez k   2  2 E v t 2 v  2  2  2 Et comme  2    x 2 y 2 z 2       1 2   K x2  K y2  K z2 E x i  K x2  K y2  K z2 E y j  K x2  K y2  K z2 E z k    E v2 1 2 2   K E   2  E  K  2 …………….………………..……… (1-25) 2 2 v v Conclusion : a) D’après les équations (1-21) et (1-22), on constate que les champs E et H et le vecteur d’onde K , forment un trièdre électromagnétique appelé TEM (onde transverse électromagnétique) (voir TD). H k j E i K D’après les équations (1-21) et (1-22), on peut aussi trouver la relation de dispersion : K 2   2  b) D’après l’équation (1-21), on déduit :  E K *E  H   v *  …………….………………..……… (1-26) H Cette quantité est appelée l’impédance du milieu. L’impédance de vide est égale: E 0 r   r  1    120 *  ………………………..……… (1-27) H 0 c) D’après l’équation (1-25), on peut déduire à nouveau l’expression de l’indice de réfraction :    K  v C K 0  n   ……………………………………..……… (1-28) K   v K0   0 C 1-4) Le spectre électromagnétique : Les ondes électromagnétiques sont composées de trois vecteurs ; vecteur du champ électrique, vecteur du champ magnétique et le vecteur d’onde. Dans les milieux diélectriques, les trois vecteurs sont perpendiculaires entre eux et forment un trièdre électromagnétique appelé TEM (onde transverse électromagnétique) comme indique la figure ci-dessous. Les ondes électromagnétiques, dans ces milieux, sont animées de vibrations complexes dont le caractère dominant est d’être sinusoïdales. La distance parcourue par une onde durant une période représente la longueur d’onde . x E k z H  y Figure (1.1) : Onde électromagnétique. D’après la formule (1-12), le champ électrique d’une onde plane propage dans un milieu diélectrique dans la direction z est donné par la formule suivante : E  E0 exp j  t  K  z  ………………..……..…………………… (1-29) Avec : E 0 : Amplitude initiale du champ électrique.   2 f : Pulsation du champ électrique. f : Fréquence du champ électrique. K  2 /  : Module de vecteur d’onde du champ électrique.  : Longueur d’onde du champ électrique dans le milieu de propagation. La relation entre la longueur d’onde  et la fréquence f de l’onde électromagnétique est donnée par l’équation de dispersion (1-25). Il convient de noter que : - Dans le même milieu, plus la fréquence de la vibration est grande plus la longueur d’onde est petite. - Réellement, la grandeur physique qui caractérise une couleur est la fréquence f puisqu’elle est constant quelque soit le milieu de propagation, par contre la vitesse de propagation v et la longueur d’onde  varient en fonction de ce milieu. Cette variation est liée à un paramètre optique constant qui est souvent appelé l’indice de réfraction. Dans le vide, Le spectre électromagnétique s’étend des ondes radio gigantesques, de longueurs d’ondes 0 de plusieurs millions de kilomètres, aux ondes gamma  de longueurs d’ondes de millions de fois plus petites qu’un noyau. Le spectre est généralement divisé en classes qui se recouvrent et portent des noms familiers tels que ; microondes, ultraviolet, infrarouge…etc. comme il est indiqué dans la figure ci-dessous : 0 Figure (1.2) : Le spectre électromagnétique. La longueur d’onde dans le vide  0 de différentes couleurs qui composent le domaine visible (la lumière blanche) varie de 380 nm (violet) à 780 nm (rouge). Donc, le spectre de la lumière blanche ne représente qu’une toute petite gamme de spectre électromagnétique. 1-5) Le spectre lumineux : La lumière blanche est composée d’un mélange de toutes les lumières colorées qui existent. Ces dernières couleurs peuvent être obtenues en utilisant un prisme (Fig. I.3) ou un réseau qui représente une surface strié de fines fentes parallèles espacés de manière régulière (Fig. I.4).  Figure (1.3) : Décomposition de la Figure 1.4 : Décomposition de la lumière blanche par un prisme. lumière blanche par un réseau. - Si une source de lumière blanche est placée devant un prisme ou un réseau, on peut observer sur un écran une série de lumières colorées du violet au rouge en passant par toutes les nuances de ; bleu, vert, jaune et orange. Ces couleurs sont initialement présentes dans la lumière blanche et le prisme ou le réseau ne font que séparer ces lumières colorées. - De nombreuses sources de lumière comme le soleil ou la lampe à filament de tungstène émettent de la lumière blanche qui couvre tout le spectre visible. Les corps qui reçoivent cette lumière : soit la réfléchissent sans filtrage et paraissent blancs, soit absorbent plus ou moins certaines longueurs et sont vus avec la couleur des longueurs d’onde réfléchies, soit absorbent tout le spectre et apparaissent noirs.