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# Algèbre linéaire ## 1. Matrices ### 1.1 Définitions * **Définition:** Une matrice $A$ de taille $m \times n$ est un tableau de nombres avec $m$ lignes et $n$ colonnes. $$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots &...

# Algèbre linéaire ## 1. Matrices ### 1.1 Définitions * **Définition:** Une matrice $A$ de taille $m \times n$ est un tableau de nombres avec $m$ lignes et $n$ colonnes. $$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} $$ * $a_{ij}$ représente l'élément à la $i$-ème ligne et $j$-ème colonne. * **Exemples:** * Matrice carrée: $m = n$ * Matrice ligne: $m = 1$ * Matrice colonne: $n = 1$ * Matrice nulle: tous les éléments sont nuls. * Matrice identité $I_n$: matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs. ### 1.2 Opérations sur les matrices * **Addition:** Si $A$ et $B$ sont de même taille $m \times n$, alors $C = A + B$ est définie par $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$. * **Multiplication par un scalaire:** Si $A$ est une matrice et $c$ est un scalaire, alors $B = cA$ est définie par $b_{ij} = ca_{ij}$. * **Multiplication matricielle:** Si $A$ est $m \times n$ et $B$ est $n \times p$, alors $C = AB$ est $m \times p$ avec $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$. * **Exemple:** $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix} $$ ### 1.3 Transposition * **Définition:** La transposée de $A$, notée $A^T$, est obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de $A$. Si $A$ est $m \times n$, alors $A^T$ est $n \times m$ et $(A^T)_{ij} = a_{ji}$. * **Propriétés:** * $(A + B)^T = A^T + B^T$ * $(cA)^T = cA^T$ * $(AB)^T = B^T A^T$ * $(A^T)^T = A$ ### 1.4 Inverse d'une matrice * **Définition:** Une matrice carrée $A$ est inversible s'il existe une matrice $B$ telle que $AB = BA = I_n$. Dans ce cas, $B$ est l'inverse de $A$, notée $A^{-1}$. * **Propriétés:** * Si $A$ est inversible, alors $A^{-1}$ est unique. * $(A^{-1})^{-1} = A$ * $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ * $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ ## 2. Déterminants ### 2.1 Définition * Le déterminant d'une matrice carrée $A$, noté det$(A)$ ou $|A|$, est un scalaire qui peut être calculé de différentes manières. * **Pour une matrice $2 \times 2$**: $$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, \quad \text{det}(A) = ad - bc $$ ### 2.2 Propriétés * $\text{det}(A^T) = \text{det}(A)$ * $\text{det}(AB) = \text{det}(A) \text{det}(B)$ * Si $A$ a une ligne ou une colonne de zéros, alors $\text{det}(A) = 0$. * Si $A$ a deux lignes ou colonnes identiques, alors $\text{det}(A) = 0$. * Si $A$ est inversible, alors $\text{det}(A^{-1}) = \frac{1}{\text{det}(A)}$. ## 3. Systèmes d'équations linéaires ### 3.1 Représentation matricielle * Un système d'équations linéaires peut être écrit sous la forme $Ax = b$, où $A$ est la matrice des coefficients, $x$ est le vecteur des inconnues, et $b$ est le vecteur des constantes. * **Exemple:** $$ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 1 \end{bmatrix} $$ ### 3.2 Méthodes de résolution * **Élimination de Gauss:** Transformer le système en une forme échelonnée réduite pour trouver les solutions. * **Règle de Cramer:** Si $A$ est inversible, alors la solution est donnée par $x_i = \frac{\text{det}(A_i)}{\text{det}(A)}$, où $A_i$ est la matrice obtenue en remplaçant la $i$-ème colonne de $A$ par $b$. ### 3.3 Solutions * Un système peut avoir une solution unique, aucune solution, ou une infinité de solutions. ## 4. Espaces vectoriels ### 4.1 Définitions * Un espace vectoriel $V$ est un ensemble muni de deux opérations: l'addition et la multiplication par un scalaire, qui satisfont certaines propriétés (axiomes). * **Exemples:** * $\mathbb{R}^n$: ensemble des vecteurs à $n$ composantes réelles. * $\mathbb{C}^n$: ensemble des vecteurs à $n$ composantes complexes. * Ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$. * Ensemble des fonctions continues sur un intervalle $[a, b]$. ### 4.2 Sous-espaces vectoriels * Un sous-ensemble $W$ d'un espace vectoriel $V$ est un sous-espace vectoriel si $W$ est lui-même un espace vectoriel avec les mêmes opérations que $V$. * **Condition:** $W$ doit être non vide, stable par addition et stable par multiplication par un scalaire. ### 4.3 Base et dimension * Une base d'un espace vectoriel $V$ est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants qui engendrent $V$. * La dimension de $V$ est le nombre de vecteurs dans une base de $V$. ## 5. Applications linéaires ### 5.1 Définitions * Une application linéaire $f: V \to W$ est une fonction entre deux espaces vectoriels qui préserve les opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. * **Propriétés:** * $f(u + v) = f(u) + f(v)$ * $f(cu) = cf(u)$ ### 5.2 Noyau et image * Le noyau de $f$, noté $\text{ker}(f)$, est l'ensemble des vecteurs $v \in V$ tels que $f(v) = 0$. * L'image de $f$, notée $\text{Im}(f)$, est l'ensemble des vecteurs $w \in W$ tels qu'il existe $v \in V$ avec $f(v) = w$. ### 5.3 Représentation matricielle * Une application linéaire peut être représentée par une matrice. * Si $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, alors il existe une matrice $A$ de taille $m \times n$ telle que $f(x) = Ax$ pour tout $x \in \mathbb{R}^n$.