Mikroökonomie 1 - 6. Offenbarte Präferenzen (PDF)

Mikroökonomie 1 6. Oenbarte Präferenzen Jean-Michel Benkert (Universität Bern) Einleitung - In den letzten Vorlesungen haben wir anhand von Präferenzen und Budgetmenge die Nachfrage bestimmt. - Nun möchten wir den Prozess umdrehen und anhand der beobachteten Nachfrage versuchen etwas üb...

Mikroökonomie 1 6. Oenbarte Präferenzen Jean-Michel Benkert (Universität Bern) Einleitung - In den letzten Vorlesungen haben wir anhand von Präferenzen und Budgetmenge die Nachfrage bestimmt. - Nun möchten wir den Prozess umdrehen und anhand der beobachteten Nachfrage versuchen etwas über die Präferenzen zu lernen. - Damit rücken wir näher an die Realität, da Präferenzen üblicherweise nicht einfach beobachtbar sind. Ein typischer Datensatz besteht aus den Entscheidungen eines Individuums und ggf. weiteren Informationen (Preise, Datum,...). - Eine zentrale Annahme dabei wird sein, dass die Präferenzen über die Zeit konstant bleiben und sich nicht verändern. Kurzfristig mag diese Annahme gerechtfertigt seit, langfristig kaum. - Um die Analyse zu vereinfachen, nehmen wir zudem an, dass die zugrundeliegenden Präferenzen streng konvex sind, da daraus ein eindeutiges Konsumbündel resultiert. 2 / 28 Der Kern der Idee x2 - (x1 , x2 ) ist das von der Konsumentin gewählte Güterbündel. Budgetgerade zu Preisen p - (y1 , y2 ) ist ein beliebiges anderes Güterbündel, (x1,x2) das unter der Budgetgeraden liegt. - Angenommen die Konsumentin ist eine Nutzenmaximiererin, wie wir sie bisher (y1,y2) betrachtet haben. Was können wir über die Präferenz zwischen x und y sagen? x1 Da x gewählt wurde, muss x das beste aller erschwinglichen Bündel sein und insbesondere muss x≻y gelten. 3 / 28 Das Prinzip der offenbarten Präferenz Direkte Offenbarung - Da x gegeben p gekauft wurde, muss p1 x1 + p2 x2 = m gelten, das Bündel liegt auf der Budgetgerade. - Da y erschwinglich war, muss p 1 y1 + p 2 y2 ≤ m gelten. - Zusammen impliziert dies p1 x1 + p2 x2 ≥ p1 y1 + p2 y2. - Wenn diese Ungleichung für zwei unterschiedliche Bündel x ̸= y erfüllt ist, sagen wir, dass x direkt besser als y oenbart ist. - Tatsächlich haben wir gelernt, dass  x über y gewählt wird. Das Prinzip der offenbarten Präferenz Sei x das gegeben der Preise p gewählte Bündel und y ein anderes Bündel mit p1 x1 + p2 x2 ≥ p1 y1 + p2 y2. Falls die Konsumentin eine Nutzenmaximiererin ist, muss x ≻ y gelten. 4 / 28 Das Prinzip der offenbarten Präferenz Indirekte Offenbarung x2 - Nehmen wir nun an, dass y bei Preisen q das gewählte Bündel ist und dass y direkt besser als Budgetgerade zu Preisen p z oenbart ist. (x1,x2) - Zusammengenommen haben wir nun x≻y und y ≻ z. Aus der Transitivität der Präferenzen folgt schliesslich x ≻ z und wir sagen, dass x Budgetgerade zu Preisen q (y1,y2) indirekt besser als z oenbart ist. (z1,z2) x1 Das Prinzip der oenbarten Präferenz mag simpel erscheinen, aber es ist ziemlich mächtig. Aus der Darstellung oben können wir lernen, dass x besser ist, als alle Bündel in der schraerten Zone unter den Budgetgeraden! 5 / 28 Die Präferenz lernen Je besser wir die Präferenzen kennen, desto besser können wir die Wirkung konsum- politischer Entscheidungen abschätzen. Je reichhaltiger der Datensatz mit Entscheidungen ist, desto mehr können wir über die Präferenz lernen. x2 - Nehmen wir an, wir lernen, dass Y und Z besser als X sind. Aus der Konvexität der Präferenz folgt, dass Mischungen aus Y Y Bessere Bündel und Z ebenfalls besser sind als X. - Nehmen wir zudem an, dass die Präferenzen monoton sind, dann sind alle X Z Bündel, die mehr von beiden Gütern als Y, Mögliche Indifferenzkurve Z und X und deren Mischungen besser als X. Schlechtere Bündel Budgetgeraden - Schliesslich können wir abschätzen, dass die Indierenzkurve von X zwischen den x1 beiden schraerten Flächen liegen muss. 6 / 28 Und wenn nicht maximiert wird? - In all unseren Überlegungen war bisher die zugrundeliegende Nutzenmaximierung zentral. Ohne diese Annahme, ist die obige Schätzung der Indierenzkurve wert- und gehaltlos. - Können wir testen, ob Entscheidungen eine Nutzenmaximierung zugrunde liegt? x2 - Nehmen wir an, wir hätten einen Datensatz wie links Budgetgerade zu Preisen p dargestellt. - Ist dieses Verhalten konsistent mit Nutzenmaximierung? (y1,y2) - Nein. In beiden Situationen waren beide Bündel erschwinglich, aber es wurde nicht in beiden Budgetgerade zu Preisen q Situationen das gleiche Bündel gewählt. (x1,x2) x1 7 / 28 Das schwache Axiom der offenbarten Präferenz Weak Axiom of Revealed Preference (WARP) Falls x direkt besser als y oenbart ist und x ̸= y, dann kann y nicht auch direkt besser als x oenbart sein. - Anders gesagt: Falls x bei Preisen p und y bei Preisen q gekauft werden sowie p1 x1 + p2 x2 ≥ p1 y1 + p2 y2 dann darf nicht ebenfalls q1 y1 + q2 y2 ≥ q1 x1 + q2 x2 gelten. - Nochmals anders gesagt: Falls y erschwinglich ist, wenn x gewählt wird, dann darf x nicht erschwinglich sein, wenn y gewählt wird. 8 / 28 WARP testen - WARP ist eine testbare Implikation unseres Modells der Nutzenmaximierung. Wir können anhand dessen überprüfen, ob ein Datensatz konsistent mit dem Modell ist. - Angenommen wir haben drei Datenpunkte zu den Preisen (pt1 , pt2 ) mit gewählten t t Bündel (x1 , x2 ) wie in der Tabelle unten links dargestellt. Wir können dann die Kosten der drei gewählten Bündel in allen drei beobachteten Preissituationen bestimmen, siehe Tabelle unten rechts. Beobachtung p1 p2 x1 x2 (x11 , x12 ) (x21 , x22 ) (x31 , x32 ) 1 1 2 1 2 (p11 , p12 ) 5 4 6 2 2 1 2 1 (p21 , p22 ) 4 5 6 3 1 1 2 2 (p31 , p32 ) 3 3 4 - In der Diagonalen der Tabelle rechts sehen wir die tatsächlichen Ausgaben. In den anderen Zellen pro Zeile sehen wir die Kosten, der nicht gewählten Bündel. 9 / 28 WARP testen - Wir markieren mit einem Stern die Bündel, die günstiger als das gewählte Bündel sind. Beobachtung p1 p2 x1 x2 (x11 , x12 ) (x21 , x22 ) (x31 , x32 ) 1 1 2 1 2 (p11 , p12 ) 5 4∗ 6 2 2 1 2 1 (p21 , p22 ) 4∗ 5 6 3 1 1 2 2 (p31 , p32 ) 3∗ 3∗ 4 - WARP ist nicht erfüllt, wenn es zwei Beobachtungen t und s gibt, sodass wir in Zeile t, Spalte s sowie in Zeile s und Spalte t einen Stern haben. Dann haben wir nämlich zwei Bündel, die in zwei Situationen erschwinglich waren, aber nicht die gleiche Entscheidung in beiden Situationen. - In der Tat ist der Datensatz nicht konsistent mit WARP, da Bündel 1 und 2 in Situationen 1 und 2 erschwinglich waren, aber einmal Bündel 1 und einmal Bündel 2 gewählt wurde. 10 / 28 Das starke Axiom der offenbarten Präferenz WARP ist eine Aussage bezüglich direkt besser Oenbarungen. Wir haben weiter oben jedoch gesehen, dass wir auch indirekte Oenbarungen haben können. Analog zu WARP, können wir auch für diesen Fall ein Axiom formulieren. Strong Axiom of Revealed Preference (SARP) Falls x direkt oder indirekt besser als y oenbart ist und x ̸= y, dann kann y nicht auch direkt oder indirekt besser als x oenbart sein. - Grob gesagt, sagt SARP folgendes: Da die zugrunde liegende Präferenz transitiv ist, muss auch die oenbarte Präferenz transitiv sein. - Es ist klar, dass Nutzenmaximierung impliziert, dass SARP erfüllt sein muss. SARP ist also eine notwendige Bedingung für die Nutzenmaximierung. - Bemerkenswerterweise ist SARP auch eine hinreichende Bedingung für die Nutzenmaximierung: Ein Datensatz ist konsistent mit Nutzenmaximierung wenn und nur wenn SARP erfüllt ist. 11 / 28 SARP testen Hier ist eine Tabelle analog zu der Tabelle auf Folie 9. (x11 , x12 ) (x21 , x22 ) (x31 , x32 ) (p11 , p12 ) 20 10∗ 22(∗) (p21 , p22 ) 21 20 15∗ (p31 , p32 ) 12 15 10 - Wir müssen nun überprüfen, ob es Ketten von Beobachtungen gibt, welche ein Bündel als (in)direkt besser oenbaren. - x1 ist direkt besser als x2 und x2 ist direkt besser als x3. Also ist x1 indirekt besser als x3 , weshalb wir in Zeile 1, Spalte 3 einen Stern in Klammern eintragen. - Es gibt sehr viele mögliche Ketten zu überprüfen, sodass man schnell einen Computer braucht, um das zu machen. - Sobald alle Sterne und Sterne in Klammern gesetzt sind, ist die Logik wie vorhin. Wenn wir an der Diagonalen gespiegelt in zwei gegenüberliegenden Zellen Sterne (in Klammern) haben, ist SARP nicht erfüllt. In diesem Beispiel, ist SARP also erfüllt. 12 / 28 Anwendungen - Die Methode der oenbarten Präferenzen ist ein mächtiges Instrument, da es uns erlaubt mit relativ schwachen Annahmen, potentiell starke Aussagen über die Präferenzen von Agenten zu machen - Wir werden nun zwei Anwendungen betrachten, in denen die Methode zum Einsatz kommt ◦ Intertemporale Entscheidungen - Eine Konsumentin konsumiert über die Zeit Güterbündel und muss ihren Konsum mit einem Einkommensstrom nanzieren ◦ Positionsauktionen - Werbetreibende bieten in einer Auktion, um ihre Werbung möglichst prominent platzieren zu können 13 / 28 Intertemporale Entscheidungen Ein einfaches zweiperioden Modell - Nachdem wir das Konsumentenproblem auch Situationen mit Unsicherheit erweitert haben, möchten wir nun die intertemporale Komponente explizit modellieren. - Im einfachsten Fall betrachten wir dafür eine Konsumentin, die den Konsum eines Gutes bzw. eines Güterbündels über zwei Perioden t = 1, 2 hinweg einteilen muss. - Sei ct die in Periode t konsumierte Menge, sodass (c1 , c2 ) den Konsum über beide Perioden hinweg beschreibt. Analog ist das Einkommen in Periode t gegeben durch mt. Der Einfachheit halber seien die Preise gegeben durch p1 = p2 = 1. - Wir nehmen an, dass die Konsumentin bei einem Zinssatz von i Geld sparen und leihen kann. 14 / 28 Intertemporale Entscheidungen Die intertemporale Budgetgerade - Analytisch - Nehmen wir an die Konsumentin spart in der ersten Periode, indem nur c1 < m1 konsumiert wird. Der maximale Konsum in der zweiten Periode ist dann c2 = m2 + (m1 − c1 ) + i(m1 − c1 ) = m2 + (1 + i)(m1 − c1 ). - Angenommen die Konsumentin leiht in der ersten Periode Geld aus, damit sie einen Konsum c1 > m1 nanzieren kann. Der maximale Konsum in der zweiten Periode ist dann c2 = m2 − (c1 − m1 ) − i(c1 − m1 ) = m2 + (1 + i)(m1 − c1 ). - Es kann nützlich sein, die Budgetgerade in Barwerten (auch: Gegenwartswert) auszudrücken: c2 m2 c1 + = m1 +. 1+i 1+i 15 / 28 Intertemporale Entscheidungen Die intertemporale Budgetgerade - Graphisch c2 m1(1+i)+ m2 (Zukunftswert) Ausstattung m2 Budgetgerade mit Steigung -(1+i) m1 m1 + m2/(1+i) c1 (Barwert) 16 / 28 Intertemporale Entscheidungen Intertemporale Präferenzen - Wie zuvor können wir Präferenzen über Güterbündel (c1 , c2 ) formulieren und diese durch Nutzenfunktionen repräsentieren. - Im Fall von perfekten Substituten ist es der Konsumentin egal, in welcher Periode sie konsumiert, solange die Menge insgesamt die gleiche ist. - Im Fall von perfekten Komplementen möchte die Konsumentin in beiden Perioden jeweils die genau gleiche Menge konsumieren. - Im Fall von Cobb-Douglas Präferenzen ist eine Mischung von Konsum zwischen den beiden Perioden optimal. - Die Annahme von konvexen Präferenzen scheint in intertemporalen Konsumproblemen besonders naheliegend, da sie eine Glättung des Konsums über die Zeit impliziert. 17 / 28 Intertemporale Entscheidungen Komparative Statik anhand von WARP c2 c2 Ausstattung m2 c2 Wahl c2 Wahl m2 Indifferenzkurve Ausstattung Indifferenzkurve m1 c1 c1 c1 m1 c1 A Kreditnehmerin B Kreditgeberin - Falls die Konsumentin c1 > m1 wählt, bezeichnen wir sie als Kreditnehmerin, falls sie c1 < m1 wählt als Kreditgeberin. - Wie reagiert die Konsumetin auf Veränderungen des Zinssatzes i? 18 / 28 Intertemporale Entscheidungen Komparative Statik anhand von WARP - Wir können die Budgetgerade als Funktion c2 (c1 ) = (1 + i)(m1 − c1 ) + m2 ausdrücken. - Wenn wir nun nach dem Parameter i ableiten erhalten wir ∂c2 = m1 − c1. ∂i - Der Konsum einer Kreditgeberin in der zweiten Periode steigt, wenn der Zinssatz steigt, jener einer Kreditnehmerin sinkt. Da die Ausstattung, also (c1 , c2 ) = (m1 , m2 ) immer erschwinglich ist, rotiert die Budgetgerade bei eine Zinsveränderung um die Ausstattung. 19 / 28 Intertemporale Entscheidungen Komparative Statik anhand von WARP c2 Neue Wahl Neue Zinsgerade - Betrachten wir das Konsumverhalten einer Kreditgeberin. Was können wir Alte Wahl über ihr Verhalten nach einer Zinserhöhung sagen? Indifferenzkurve - WARP sagt uns, dass die Konsumentin m2 weiterhin eine Kreditgeberin sein muss. - Können wir auch etwas über den Fall einer Zinssenkung sagen? Alte Zinsgerade m1 c1 20 / 28 Intertemporale Entscheidungen Komparative Statik anhand von WARP c2 Neue Zinsgerade - Betrachten wir das Konsumverhalten einer Kreditnehmerin. Was können wir Ausstattung nach einer Zinserhöhung über ihre m2 Neue Wahl Wohlfahrt sagen? Alte Wahl - Wenn sie auch nach der Zinserhöhung Indifferenzkurve eine Kreditnehmerinbleibt, muss ihre Wohlfahrt gesunken sein, da das neu konsumierte Bündel zuvor schon erschwinglich war. Alte Zinsgerade m1 c1 21 / 28 Intertemporale Entscheidungen Intertemoprale Slutsky Gleichung - Da eine Zinsänderung einer intertemporalen Preisänderung gleich kommt, können wir anhand der Slutsky Gleichung die Konsumveränderung in Einkommens- und Preiseekt unterteilen. - Wenn die Zinsen steigen (als der Konsum in Period 1 teurer wird), sagt der Substitutionseekt voraus, dass der Konsum in Periode 2 steigen wird. - Was sagt der Einkommenseekt voraus? Dies hängt davon ab, ob die Konsumentin ursprünglich Kreditnehmerin oder -geberin war. Für einen Kreditgeberin, wirkt eine Zinserhöhung wie eine Einkommenserhöhung, für eine Kreditnehmerin wie eine Einkommenssenkung. - Der totale Eekt hängt wie üblich von der Interaktion der beiden Eekte ab. 22 / 28 Positionsauktionen - Hal Varian ist seit 2002 Chefökonom bei Google, wo ihm der damalige CEO Eric Schmidt sagte: Why don't you take look at this ad auction, I think it might make us a little money. - Es handelte sich um die Google AdWords Anzeigenauktion, die von Google im Jahr 2002 eingeführt wurde und zuletzt über $200 Milliarden Umsatz generiert hat. - In diesen Auktionen bieten Werbetreibende für Positionen auf einer Seite mit Suchresultaten und bezahlen den minimalen Preis, der nötig ist, um ihre bevorzugte Position zu behalten. 23 / 28 Positionsauktionen Ein simples, spieltheoretisches Modell - Nehmen wir an es gäbe S Positionen auf einer Suchseite und eine Position s wird im Durchschnitt xs Klicks pro Tag generieren. Wir nehmen an, dass x1 > x2 >... > xS. Die Position 1, ganz oben auf der Seite, generiert also am meisten Klicks. - Jede Position s hat einen Klickpreis ps , der aus den Geboten in der Auktion resultiert. Es gilt ps−1 = bs , wobei bs das Gebot des Spielers (Werbetreibender) in Position s ist. Der Spieler mit dem höchsten Gebot landet also auf Position 1 und bezahlt das Gebot des Spielers auf Position 2 und so weiter. Daraus folgt p1 ≥ p2... ≥ pS. - Für den Spieler in Position s resultiert ein (unbeobachtbarer) Klickwert vs. 24 / 28 Positionsauktionen Ein simples, spieltheoretisches Modell - In einem symmetrischen Nashgleichgewicht (SNG), muss jeder Spieler seine Position besser nden als alle anderen Positionen, d.h., für alle s und t muss gelten vs xs − p s xs ≥ vs xt − p t xt. - Dies ist im wesentlichen eine Bedingungen an die oenbarte Präferenz und wir können sie umschreiben zu vs (xs − xt ) ≥ ps xs − pt xt. - Nehmen wir an s > t. Dann sagt die Bedingung, dass der Wert der zusätzlichen Klicks in Position s grösser ist, als die Merhkosten um in Position s anstelle von Position t zu sein. 25 / 28 Positionsauktionen Ein simples, spieltheoretisches Modell Man kann zeigen, dass in diesem SNG, die Gleichgewichtsbedingungen nur für benachbarte Positionen überprüft werden müssen. Betrachten wir also vs (xs − xs+1 ) ≥ ps xs − ps+1 xs+1 und vs (xs − xs−1 ) ≥ ps xs − ps−1 xs−1 und teilen die erste Ungleichung durch xs − xs+1 und die zweite durch xs − xs−1. Wir erhalten dann ps xs − ps+1 xs+1 ps xs − ps−1 xs−1 ≥ vs ≥. xs − xs+1 xs − xs−1 und können so durch die beobachtbaren Klickzahlen und Preise die Wertschätzungen (also die Präferenzen) der Spieler schätzen. 26 / 28 Zusammenfassung - Wenn ein Bündel gewählt wird, obwohl ein anderes hätte gewählt werden können, sagt man dass das erste Bündel oenkundig dem zweiten vorgezogen wird bzw. dass es als direkt besser oenbart ist. - Die Beobachtung der Entscheidungen der Konsumenten können uns erlauben, die Präferenzen, die diesen Entscheidungen zugrunde liegen zu lernen. Je mehr Beobachtungen wir haben, desto genauer können wir die zugrundeliegenden Präferenzen abschätzen. - Das schwache Axiom der oenbarten Präferenz (WARP) ist eine notwendige Bedingung für zugrunde liegende Nutzenmaximierung. Das starke Axiom (SARP) ist eine notwendige und hinreichende Bedingung. 27 / 28 Literatur - Varian Kapitel 7 und 10 - Varian, 2007, Position auctions, International Journal of Industrial Organization 28 / 28