设随机变量X与Y相互独立，且X~N(1,4²)，Y~N(1,1²)；求：Z=X-3Y+2的概率密度函数。
Understand the Problem
这个问题要求我们求解一个由随机变量X和Y构成的函数Z = X - 3Y + 2的概念性密度函数，给定X和Y的分布特性。
Answer
$$ f_Z(z) = \frac{1}{5\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{50}} $$
Answer for screen readers
$Z \sim N(0, 25)$ 的概率密度函数为：
$$ f_Z(z) = \frac{1}{5\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{50}} $$
Steps to Solve
- 确定随机变量的性质
已知随机变量 $X$ 和 $Y$ 分别服从正态分布：
- $X \sim N(1, 4^2)$，其中均值 $\mu_X = 1$，方差 $\sigma_X^2 = 4^2 = 16$
- $Y \sim N(1, 1^2)$，其中均值 $\mu_Y = 1$，方差 $\sigma_Y^2 = 1^2 = 1$
- 计算函数 $Z = X - 3Y + 2$ 的均值和方差
由于 $X$ 和 $Y$ 独立，可以求得$Z$的均值和方差：
均值：
$$ \mu_Z = \mu_X - 3\mu_Y + 2 = 1 - 3(1) + 2 = 0 $$
方差：
$$ \sigma_Z^2 = \sigma_X^2 + (-3)^2\sigma_Y^2 = 16 + 9 = 25 $$
- 确定 $Z$ 的分布
由于 $Z$ 是由两个独立的正态分布随机变量组合而成，$Z$ 也服从正态分布。
因此：
$$ Z \sim N(\mu_Z, \sigma_Z^2) = N(0, 25) $$
- 写出概率密度函数
正态分布的概率密度函数形式为：
$$ f_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma_Z^2}} e^{-\frac{(z - \mu_Z)^2}{2\sigma_Z^2}} $$
代入已知的均值和方差，我们得到：
$$ f_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot 25}} e^{-\frac{(z - 0)^2}{2 \cdot 25}} = \frac{1}{5\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{50}} $$
$Z \sim N(0, 25)$ 的概率密度函数为：
$$ f_Z(z) = \frac{1}{5\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{50}} $$
More Information
这个结果表明，随机变量 $Z$ 服从均值为 0，方差为 25 的正态分布。正态分布在许多领域中都有应用，尤其是在统计学和自然科学中。
Tips
- 忽视变量独立性：在求和或线性组合时，必须确保理解随机变量的独立性。
- 错误计算均值或方差：方差计算需要特别注意符号和平方。
