设二维随机变量(X, Y)的概率密度为f(x, y)={e^{-y},0<x<y,0,其他}。求E(X), E(Y), E(Xe^{-Y})。
Understand the Problem
问题要求我们计算给定的二维随机变量的期望值，具体为E(X), E(Y)以及E(Xe^{-Y})，这涉及到概率密度函数的使用和期望值的计算。
Answer
$E(X) = 1, \quad E(Y) = 2, \quad E(Xe^{-Y}) = \frac{1}{e^2}$
Answer for screen readers
计算得出： $$ E(X) = 1, \quad E(Y) = 2, \quad E(Xe^{-Y}) = \frac{1}{e^2} $$
Steps to Solve
- 计算边际密度函数 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$
根据给定的联合概率密度函数 $f_{(X,Y)}(x,y) = e^{-y}$，我们可以通过对 $y$ 的积分来计算边际密度函数： $$ f_X(x) = \int_{x}^{\infty} f_{(X,Y)}(x,y) , dy $$
- 计算 $E(X)$
期望值通过边际密度函数得到，利用公式： $$ E(X) = \int_{0}^{\infty} x f_X(x) , dx $$
- 计算边际密度函数 $f_Y(y)$
对 $x$ 积分得到： $$ f_Y(y) = \int_{0}^{y} f_{(X,Y)}(x,y) , dx $$
- 计算 $E(Y)$
同样地，计算 $E(Y)$： $$ E(Y) = \int_{0}^{\infty} y f_Y(y) , dy $$
- 计算 $E(Xe^{-Y})$
使用联合密度函数直接计算： $$ E(Xe^{-Y}) = \int_0^{\infty} \int_x^{\infty} x e^{-y} f_{(X,Y)}(x,y) , dy , dx $$
计算得出： $$ E(X) = 1, \quad E(Y) = 2, \quad E(Xe^{-Y}) = \frac{1}{e^2} $$
More Information
在这个问题中，我们运用了二维概率密度函数的性质来分别计算边际密度和期望值，确保了解每一步的积分过程是关键。通过分步计算，我们能够得到需要的结果。
Tips
- 忽略边际密度函数的计算。
- 在计算期望时，设置积分范围不当。
- 按照顺序进行积分，确保遵循相应的变量界限。
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