∫(x-5)√x²+x dx का मान ज्ञात कीजिए

Steps to Solve

1. प्रश्न को दो समाकलों में विभक्त करें हम समाकल को दो भागों में विभक्त करते हैं: $$ \int (x-5) \sqrt{x^2+x} dx = \int x\sqrt{x^2+x} dx - 5\int \sqrt{x^2+x} dx $$

2. पहला इंटीग्रल हल करें: $\int x\sqrt{x^2+x} dx$ $u = x^2 + x $ प्रतिस्थापित करें , तो $du = (2x+1)dx$. हम $x dx$ के लिए हल करने के लिए इस परिणाम का उपयोग कर सकते हैं। ध्यान दें कि $xdx = \frac{1}{2}(du - dx)$. इसलिए, समाकल बन जाता है: $$ \int x\sqrt{x^2+x} dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} (du - dx) = \frac{1}{2} \int \sqrt{u} du - \frac{1}{2} \int \sqrt{x^2+x} dx $$ और $$ \frac{1}{2}\int \sqrt{u} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} = \frac{1}{3}(x^2+x)^{3/2} + C_1 $$

3. दूसरा इंटीग्रल हल करें: $\int \sqrt{x^2+x} dx$ वर्गों को पूर्ण करें:

$$ \int \sqrt{x^2+x} dx = \int \sqrt{(x+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}} dx $$

त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन $x+\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\sec(\theta)$ का उपयोग करते हैं , $dx = \frac{1}{2}\sec(\theta)\tan(\theta) d\theta$. इसलिए समाकल बन जाता है: $$ \int \sqrt{\frac{1}{4}\sec^2(\theta) - \frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{2}\sec(\theta)\tan(\theta) d\theta = \frac{1}{4} \int \tan^2(\theta) \sec(\theta) d\theta $$

हम $\tan^2(\theta) = \sec^2(\theta) - 1$ को जानते हैं, इसलिए हमारे पास है: $$ \frac{1}{4} \int (\sec^3(\theta) - \sec(\theta)) d\theta $$

$\int \sec^3(\theta) d\theta = \frac{1}{2} [\sec(\theta)\tan(\theta) + \ln|\sec(\theta) + \tan(\theta)|]$. भी $\int \sec(\theta) d\theta = \ln|\sec(\theta) + \tan(\theta)|$. इसलिए,

$ \frac{1}{4} \int (\sec^3(\theta) - \sec(\theta)) d\theta = \frac{1}{8} [\sec(\theta)\tan(\theta) + \ln|\sec(\theta) + \tan(\theta)|] - \frac{1}{4}\ln|\sec(\theta) + \tan(\theta)| + C_2 $ $= \frac{1}{8} \sec(\theta)\tan(\theta) - \frac{1}{8} \ln|\sec(\theta) + \tan(\theta)| + C_2 $

हम त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन को वापस प्रतिस्थापित करते हैं, जिसके लिए हमें मान मिलने के लिए एक संदर्भ त्रिभुज की आवश्यकता होती है: $\sec(\theta) = 2x+1$. परिणामस्वरूप, $\tan(\theta) = \sqrt{4x^2 + 4x}$. इस प्रकार,

$ \int \sqrt{x^2+x} dx = \frac{1}{8} (2x+1)\sqrt{4x^2 + 4x} - \frac{1}{8} \ln|2x+1 + \sqrt{4x^2 + 4x}| + C_2 $ $ = \frac{1}{4} (2x+1)\sqrt{x^2 + x} - \frac{1}{8} \ln|2x+1 + 2\sqrt{x^2 + x}| + C_2 $

4. परिणामों को प्रतिस्थापित करें अब, मूल समीकरण में परिणामों को वापस प्लग करें: $$ \int (x-5) \sqrt{x^2+x} dx = \frac{1}{3}(x^2+x)^{3/2} - 5[\frac{1}{4} (2x+1)\sqrt{x^2 + x} - \frac{1}{8} \ln|2x+1 + 2\sqrt{x^2 + x}|] + C $$ सरलीकृत करें: $ \frac{1}{3}(x^2+x)^{3/2} - \frac{5}{4} (2x+1)\sqrt{x^2+x} + \frac{5}{8} \ln|2x+1+2\sqrt{x^2+x}| + C $

5. अंतिम चरण $ \sqrt{x^2+x}$ को फैक्टरिंग करें: $\sqrt{x^2+x} [\frac{1}{3}(x^2+x) - \frac{5}{4}(2x+1)] + \frac{5}{8} \ln|2x+1+2\sqrt{x^2+x}| + C $

$\sqrt{x^2+x} [\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3}x -\frac{5}{2}x - \frac{5}{4}] + \frac{5}{8} \ln|2x+1+2\sqrt{x^2+x}| + C $

$\sqrt{x^2+x} [\frac{1}{3}x^2 - \frac{13}{6}x - \frac{5}{4}] + \frac{5}{8} \ln|2x+1+2\sqrt{x^2+x}| + C $