设 $X_1, X_2, \, \ldots, X_{20}$ 是总体 $X$ 的样本，且 $X \sim N(0, \sigma^2)$，则 $\frac{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_{20}^2}{\sigma^2} \sim \cdots$。 设一批产品含有缺陷，现从中随... 设 $X_1, X_2, \, \ldots, X_{20}$ 是总体 $X$ 的样本，且 $X \sim N(0, \sigma^2)$，则 $\frac{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_{20}^2}{\sigma^2} \sim \cdots$。 设一批产品含有缺陷，现从中随机抽出 100 件，发现其中有 8 件缺陷，试求该次抽样的最大似然估计值。 设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自正态总体 $X \sim N(\mu_1, \sigma^2)$ 的样本，其中 $\sigma$ 未知，检验总体均值是否或。 一个零件的标准长度为 5cm，要检验某天生产的零件是否符合标准要求，建立原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$，其中备择假设是。
Understand the Problem
问题在于对给定的统计过程进行分析和解答。需要应用统计理论来推导结果，特别是涉及正态分布和假设检验的方法。
Answer
问题7: $$ \frac{X_1^2 + X_2^2 + \ldots + X_{20}^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(20) $$ 问题8的最大似然估计 $\hat{p} = 0.08$。 假设检验: $H_0$: 产品符合标准长度 $H_1$: 产品不符合标准长度
Answer for screen readers
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问题7的答案:
$$ \frac{X_1^2 + X_2^2 + \ldots + X_{20}^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(20) $$ -
问题8的最大似然估计：
识别次品率 $\hat{p} = \frac{8}{100} = 0.08$。 -
问题10的假设：
零假设 $H_0$: 产品符合标准长度
备择假设 $H_1$: 产品不符合标准长度
Steps to Solve
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了解正态分布的性质
当 $X \sim N(0, \sigma^2)$，意味着 $X$ 是均值为 $0$，方差为 $\sigma^2$ 的正态随机变量。 -
使用平方和分布的性质
对于 $X_1^2 + X_2^2 + \ldots + X_n^2$，当 $X_i \sim N(0, \sigma^2)$ 时，$ \frac{X_1^2 + X_2^2 + \ldots + X_n^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$。
这里，$n = 20$ 因此有： $$ \frac{X_1^2 + X_2^2 + \ldots + X_{20}^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(20) $$ -
统计检验设定
在这个问题中，我们的目标是根据给定的样本 $X_1, X_2, \ldots, X_{20}$ 来进行假设检验和统计分析。 -
确定最大似然估计（MLE）
针对问题8，抽样100件中有8件次品，要求最大似然估计。这里可以使用贝努利分布的MLE进行求解。 -
构建假设检验
在问题10中，对标称长度进行的假设检验，我们首先设定零假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$，然后选择合适的检验方法。
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问题7的答案:
$$ \frac{X_1^2 + X_2^2 + \ldots + X_{20}^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(20) $$ -
问题8的最大似然估计：
识别次品率 $\hat{p} = \frac{8}{100} = 0.08$。 -
问题10的假设：
零假设 $H_0$: 产品符合标准长度
备择假设 $H_1$: 产品不符合标准长度
More Information
对于第三步建立的假设检验，零假设通常假定产品符合标准，而备择假设则表明存在差异。此外，最大似然估计提供了一种通过样本数据来估计参数的方法。
Tips
- 混淆正态分布和卡方分布：正态分布在平方和时产生卡方分布，容易被混淆。
- 不正确设定假设检验：确认假设的逻辑一致性是非常重要的，以避免制定错误的假设。
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