Wie entwickelt sich im Laufe der Zeit t ≥ 0 gemäß y(t) = 5 · t^(2/3)? Zu welcher Zeit t hat sich y gegenüber dem Zeitpunkt 0 verdoppelt? Wie lautet der Wert der Summe der ersten 6... Wie entwickelt sich im Laufe der Zeit t ≥ 0 gemäß y(t) = 5 · t^(2/3)? Zu welcher Zeit t hat sich y gegenüber dem Zeitpunkt 0 verdoppelt? Wie lautet der Wert der Summe der ersten 6 natürlichen Zahlen? a^2 + ... + 16? Gegeben ist die Parabel y = x^2 - 5x + 4. Bestimmen Sie die Summe der z-Werte der beiden Nullstellen.
Understand the Problem
Die Frage bezieht sich auf verschiedene Matheaufgaben. Aufgabe 12 fragt nach dem Verhalten einer Funktion im Zeitverlauf, Aufgabe 13 nach der Summe der ersten sechs natürlichen Zahlen, Aufgabe 14 nach den binomischen Formeln und Aufgabe 15 nach der Summe der Nullstellen einer Funktion. Die zentrale Idee ist mathematische Probleme zu lösen.
Answer
Die Verdopplungszeit ist eine Analyse ohne spezifischen Wert für $y$, die Summe der ersten 6 natürlichen Zahlen ist $21$, und die Summe der z-Werte der Nullstellen ist $5$.
Answer for screen readers
Die Verdopplungszeit für $y(t) = 5 \cdot t^{2/3}$ kann in dieser Form analysiert werden. Die Summe der ersten 6 natürlichen Zahlen ist $21$. Die Summe der z-Werte der beiden Nullstellen der Parabel ist $5$.
Steps to Solve
- Untersuchung des Verhaltens der Funktion y(t)
Die Funktion ist gegeben durch $y(t) = 5 \cdot t^{2/3}$. Wir analysieren, wie sich $y$ entwickelt, wenn $t$ von 0 zunimmt.
- Bestimmung der Verdopplungszeit
Um die Zeit $t$ zu finden, zu der sich $y$ gegenüber dem Zeitpunkt 0 verdoppelt, setzen wir $y = 2 \cdot y(0) = 0$, da $y(0) = 0$ nicht verwendbar ist. Wir setzen stattdessen $y(t) = 5 \cdot t^{2/3}$ gleich einem Wert, den wir als den ersten Wert für $y(1)$ annehmen.
- Summe der ersten 6 natürlichen Zahlen
Die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen kann mit der Formel $S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$ berechnet werden. Für $n = 6$ ergibt sich:
$$ S_6 = \frac{6(6 + 1)}{2} = \frac{6 \cdot 7}{2} = 21 $$
- Berechnung der binomischen Formel
Die Formel der binomischen Formeln, die für $(a + b)^2$ steht, lautet:
$$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$
Hier wird die gesuchte Summe $a^2 + b^2 + 16$ ermittelt.
- Bestimmung der Nullstellen der Parabel
Der Ausdruck der Parabel ist $y = x^2 - 5x + 4$. Zur Bestimmung der Nullstellen setzen wir $y = 0$:
$$ x^2 - 5x + 4 = 0 $$
Wir verwenden die Mitternachtsformel $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, wobei $a = 1$, $b = -5$, $c = 4$.
- Berechnung der z-Werte der Nullstellen
Nach der Berechnung der Nullstellen setzen wir die x-Werte in die Funktion ein, um die zugehörigen z-Werte zu erhalten und deren Summe zu ermitteln.
Die Verdopplungszeit für $y(t) = 5 \cdot t^{2/3}$ kann in dieser Form analysiert werden. Die Summe der ersten 6 natürlichen Zahlen ist $21$. Die Summe der z-Werte der beiden Nullstellen der Parabel ist $5$.
More Information
Die Funktion $y(t)$ zeigt ein potenzielles Wachstum über die Zeit. Die Nutzung der Formel zur Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen ist eine nützliche Hilfestellung in der Mathematik. Außerdem ist die Mitternachtsformel eine wichtige Technik zur Lösung quadratischer Gleichungen.
Tips
- Verwechslung der Verdopplung von $y(0) = 0$: Es ist wichtig, einen anderen Wert zu wählen.
- Fehler bei der Anwendung der Mitternachtsformel: Achten Sie darauf, die Variablen richtig in die Formel einzusetzen.
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