Usando Sumas de Riemann, evalúe ∫₂³ (3x⁻² - 5x) dx
Understand the Problem
La pregunta está pidiendo evaluar la integral definida de la función (3x^-2 - 5x) desde 2 hasta 3 utilizando Sumas de Riemann. Esto implica encontrar el área bajo la curva de esta función en el intervalo mencionado.
Answer
La integral evaluada es $-\frac{47}{6}$.
Answer for screen readers
El valor de la integral definida es: $$ \int_{2}^{3} (3x^{-2} - 5x) , dx = -\frac{47}{6} $$
Steps to Solve
- Definir el intervalo y el número de subdivisiones
El intervalo es de 2 a 3. Supongamos que vamos a usar $n$ subdivisiones. La longitud de cada subintervalo será: $$ \Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{3 - 2}{n} = \frac{1}{n} $$
- Elegir los puntos de evaluación
Para las Sumas de Riemann, podemos elegir los puntos de la izquierda. Entonces, los puntos de evaluación $x_i$ son: $$ x_i = a + i \Delta x = 2 + i \frac{1}{n} \quad \text{para } i = 0, 1, 2, \ldots, n-1 $$
- Calcular el valor de la función en cada punto
Necesitamos evaluar la función en cada uno de los puntos: $$ f(x) = 3x^{-2} - 5x $$ Entonces, para cada $x_i$: $$ f(x_i) = 3 \left(2 + i \frac{1}{n}\right)^{-2} - 5 \left(2 + i \frac{1}{n}\right) $$
- Formar la suma de Riemann
La suma de Riemann se calcula como: $$ R_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x $$ Sustituyendo $\Delta x$: $$ R_n = \sum_{i=0}^{n-1} \left(3 \left(2 + i \frac{1}{n}\right)^{-2} - 5 \left(2 + i \frac{1}{n}\right)\right) \cdot \frac{1}{n} $$
- Calcular el límite
Finalmente, evaluamos la integral tomando el límite cuando $n \to \infty$: $$ \int_{2}^{3} (3x^{-2} - 5x) , dx = \lim_{n \to \infty} R_n $$
El valor de la integral definida es: $$ \int_{2}^{3} (3x^{-2} - 5x) , dx = -\frac{47}{6} $$
More Information
La integral evaluada representa el área bajo la curva de la función $f(x) = 3x^{-2} - 5x$ en el intervalo de 2 a 3. Este cálculo es útil para comprender cómo las Sumas de Riemann se aproximan al valor real de la integral al aumentar el número de subdivisiones.
Tips
- No considerar los límites: Asegúrate de evaluar la función correctamente en los límites de integración.
- Errores al calcular $f(x_i)$: Asegúrate de que las evaluaciones de la función en los puntos sean correctas, especialmente al manejar potencias y signos.
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