Un fil de longueur 10m et diamètre 1.2mm à une résistance de 1.4 ohm. Quelle serait la résistance si le fil avait une longueur de 16m et un diamètre de 0.8mm?

Steps to Solve

1. Rappel de la formule de la résistance

La résistance $R$ d'un fil est donnée par la formule :

$R = \rho \frac{L}{A}$

Où :

• $\rho$ est la résistivité du matériau du fil,
• $L$ est la longueur du fil,
• $A$ est l'aire de la section transversale du fil.

2. Calcul de l'aire de la section transversale

L'aire de la section transversale $A$ d'un fil (supposé circulaire) est donnée par :

$A = \pi r^2 = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Où $d$ est le diamètre du fil.

3. Expression de la résistance en fonction du diamètre

Substituons l'expression de $A$ dans la formule de la résistance :

$R = \rho \frac{L}{\frac{\pi d^2}{4}} = \frac{4 \rho L}{\pi d^2}$

4. Définition des nouvelles dimensions

Soit $L_1$ et $d_1$ la longueur et le diamètre initiaux, et $L_2$ et $d_2$ la longueur et le diamètre après modification. On a:

$L_2 = 2L_1$ et $d_2 = 2d_1$

5. Calcul de la nouvelle résistance $R_2$

La nouvelle résistance $R_2$ est donc :

$R_2 = \frac{4 \rho L_2}{\pi d_2^2} = \frac{4 \rho (2L_1)}{\pi (2d_1)^2} = \frac{8 \rho L_1}{4 \pi d_1^2} = \frac{2 \rho L_1}{\pi d_1^2}$

6. Comparaison avec la résistance initiale

On compare $R_2$ à $R_1$:

$R_1 = \frac{4 \rho L_1}{\pi d_1^2}$ donc $\frac{\rho L_1}{\pi d_1^2} = \frac{R_1}{4}$

Substituons ceci dans l'équation de $R_2$:

$R_2 = 2 \frac{\rho L_1}{\pi d_1^2} = 2 \cdot \frac{R_1}{4} = \frac{R_1}{2}$

7. Calcul de la valeur de la nouvelle résistance

Puisque $R_1 = 8$ ohms, alors :

$R_2 = \frac{8}{2} = 4$ ohms