Uma corda homogênea de massa M e comprimento L está na vertical, sua extremidade inferior está presa a um bloco de massa m e sua extremidade superior está sendo puxada para cima so... Uma corda homogênea de massa M e comprimento L está na vertical, sua extremidade inferior está presa a um bloco de massa m e sua extremidade superior está sendo puxada para cima sob a ação de uma força desconhecida. (a) Faça os diagramas de corpo livre para a corda e para o bloco. (b) Calcule essa força sabendo que a aceleração do sistema está apontada para cima e tem magnitude a. (c) Calcule a tração na corda no seu ponto médio e na sua extremidade inferior. As quantidades conhecidas são M, m, L e a (além de g, obviamente).
Understand the Problem
A questão descreve uma situação física envolvendo uma corda e um bloco. A tarefa é realizar o diagrama de corpo livre, calcular forças envolvidas e a tensão na corda. Vamos resolver utilizando as leis da física, incluindo a segunda lei de Newton para forças em equilíbrio e movimentos.
Answer
A tensão na corda é $T = mg + ma$, com $T_1 = mg + ma + \frac{Mg}{2}$ e $T_2 = mg + ma - \frac{Mg}{2}$.
Answer for screen readers
A tensão na corda nas extremidades é dada por:
$$ T = mg + ma $$
Para o ponto médio e na extremidade inferior, a tensão varia conforme: $$ T_1 = mg + ma + \frac{Mg}{2} $$
e
$$ T_2 = mg + ma - \frac{Mg}{2} $$
Steps to Solve
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Desenho dos diagramas de corpo livre Desenhe os diagramas de corpo livre para a corda e para o bloco. Para o bloco de massa $m$, a força atuante será a tensão $T$ na corda para cima e o peso $mg$ para baixo. Para a corda de massa $M$, as tensões em suas extremidades também devem ser desenhadas. O diagrama da corda mostrará a tensão $T_1$ em sua extremidade superior e $T_2$ em sua extremidade inferior.
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Aplicando a segunda lei de Newton ao bloco Utilizando a segunda lei de Newton para o bloco, temos que: $$ \Sigma F = ma $$ onde $\Sigma F = T - mg$, logo: $$ T - mg = ma $$ Assim, podemos expressar a tensão como: $$ T = mg + ma $$
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Aplicando a segunda lei de Newton à corda Para a corda, consideramos a parte inferior, onde a força resultante também é a diferença entre as tensões: $$ T_1 - T_2 = Ma_{corda} $$ Observando que a aceleração $a_{corda}$ é a mesma do bloco, podemos estabelecer que, $$ Ma = T_1 - T_2 $$
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Cálculo da tensão na corda Agora precisamos expressar $T_2$. A tensão na corda é constante. Para a extremidade inferior da corda (ponto médio), a tensão será: $$ T_2 = T - \frac{Mg}{2} $$ Já na extremidade superior (caso utilizemos a força total): $$ T_1 = T + \frac{Mg}{2} $$
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Substituição dos valores e resolução Substituímos os valores nas equações acima para calcular as tensões $T_1$ e $T_2$.
A tensão na corda nas extremidades é dada por:
$$ T = mg + ma $$
Para o ponto médio e na extremidade inferior, a tensão varia conforme: $$ T_1 = mg + ma + \frac{Mg}{2} $$
e
$$ T_2 = mg + ma - \frac{Mg}{2} $$
More Information
As tensões dependem da massa do bloco $m$, da massa da corda $M$ e da aceleração $a$. A aceleração $\displaystyle a$ irá afetar diretamente as forças atuantes, demonstrando a relação entre as forças e as massas no sistema.
Tips
- Confundir as direções das forças: Verifique sempre se as direções da tensão e da gravidade estão corretas.
- Misturar as massas: As massas do bloco ($m$) e da corda ($M$) devem ser tratadas separadamente em cada equação.
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