طول عمر لامپ‌های تلویزیون‌های ساخت کارخانه‌ای دارای توزیع نرمال با میانگین ۲۰۰۰ ساعت و انحراف معیار ۶۰ ساعت است. اگر ۱۰ لامپ تلویزیون ساخت این کارخانه به طور تصادفی انتخاب شود، احت... طول عمر لامپ‌های تلویزیون‌های ساخت کارخانه‌ای دارای توزیع نرمال با میانگین ۲۰۰۰ ساعت و انحراف معیار ۶۰ ساعت است. اگر ۱۰ لامپ تلویزیون ساخت این کارخانه به طور تصادفی انتخاب شود، احتمال اینکه انحراف استاندارد این ۱۰ لامپ بین ۴۰ و ۸۲ ساعت باشد، تقریباً برابر با کدام گزینه است؟ Read more

Steps to Solve

1. تعریف متغیرها و توزیع نرمال توزیع طول عمر لامپ‌ها به صورت نرمال با میانگین $\mu = 2000$ ساعت و انحراف معیار $\sigma = 60$ ساعت توصیف شده است.

2. محاسبه انحراف معیار نمونه برای 10 لامپ تلویزیون، انحراف معیار نمونه (standard error) را محاسبه می‌کنیم:

$$ \sigma_{\text{sample}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{60}{\sqrt{10}} \approx 18.97 $$

3. محاسبه z-scores برای محاسبه احتمال، باید z-score ها را برای انحراف معیارهای 40 و 82 ساعت محاسبه کنیم:

• برای $40$ ساعت:

$$ z_1 = \frac{40 - \sigma_{\text{sample}}}{\sigma_{\text{sample}}} = \frac{40 - 18.97}{18.97} \approx 1.11 $$

• برای $82$ ساعت:

$$ z_2 = \frac{82 - \sigma_{\text{sample}}}{\sigma_{\text{sample}}} = \frac{82 - 18.97}{18.97} \approx 3.34 $$

4. استفاده از جدول توزیع نرمال حالا با استفاده از جدول توزیع نرمال، احتمال z-scores محاسبه‌شده را پیدا می‌کنیم.

• احتمال $z_1$:

از جدول توزیع نرمال می‌بینیم که برای $z_1 \approx 1.11$، احتمال $\approx 0.8665$ است.

• احتمال $z_2$:

برای $z_2 \approx 3.34$، احتمال $\approx 0.9996$ است.

5. محاسبه احتمال نهایی حالا احتمال اینکه انحراف معیار بین 40 و 82 ساعت باشد را با کسر کردن این دو احتمال به دست می‌آوریم:

$$ P(40 < \sigma < 82) = P(z_2) - P(z_1) = 0.9996 - 0.8665 \approx 0.1331 $$