Test the series whose nth term is ∑ x^n/n!

Understand the Problem

यह प्रश्न एक अनुक्रम की प्रवृत्ति का परीक्षण करने के लिए कहा गया है, जिसमें nth पद ∑ x^n/n! के रूप में दिया गया है। यह गणितीय अनुक्रम का परीक्षण करने की प्रक्रिया को समझने के लिए है।

Answer

$sin^2 x \sin 2x$ का nवां अवकलन गुणांक $f^{(n)}(0)$ पर निर्भर करता है और सीरीज $\sum \frac{x^n}{n!}$ अत्यल्पता को मानती है।

Steps to Solve

Differentiate the Function हमें $f(x) = \sin^2 x \sin 2x$ का nवां अवकलन ज्ञात करना है। पहले, इसे $f(x)$ के लिए लिखते हैं: $$ f(x) = \sin^2 x \cdot \sin 2x $$
Apply Product Rule for Differentiation क्योंकि $f(x)$ एक गुणनफल है, हम गुणनफल नियम का उपयोग करेंगे। यदि $u = \sin^2 x$ और $v = \sin 2x$ हैं, तो $f'(x) = u'v + uv'$।
- पहले, $u' = 2\sin x \cos x = \sin 2x$।
- दूसरे, $v' = 2\cos 2x$।
Combine and Differentiate Further अब हम $f'(x)$ को लिखते हैं: $$ f'(x) = \sin 2x \cdot \sin 2x + \sin^2 x \cdot 2\cos 2x $$ इसे और सरल बनाने की आवश्यकता हो सकती है, लेकिन हमें nवां अवकलन निकालने के लिए आगे बढ़ना होगा।
Evaluate nth Derivative nth अवकलन निकालने के लिए, हमें इस प्रक्रिया को n बार दोहराना होगा। यह लगातार लागू होगा। अगर n बहुत बड़ा है, तो $n$-वां अवकलन फॉर्मूला बन जाएगा।
Test the Series सीरीज़ $\sum \frac{x^n}{n!}$ का परीक्षण करने के लिए, हम चेक करेंगे कि क्या यह अत्यल्पता के गुणांक मानते हैं। यह श्रृंखला वास्तविक संख्याओं के लिए एक पूरे कार्यात्मक श्रृंखला की तरह कार्य करती है।

$sin^2 x \sin 2x$ का nवां अवकलन गुणांक $n$ के लिए $f^{(n)}(0)$ पर निर्भर करेगा। सीरीज का परीक्षण करते समय, यह गणितीय सर्वसमावेशकता दर्शाता है की यह लगातार चलती रहेगी।

More Information

यह प्रश्न nवां अवकलन निकालने और गणितीय अनुक्रम का मूल्यांकन करने का अभ्यास करने का एक हिस्सा है। यह बीजगणित और अवकलन के सिद्धांतों को जोड़ता है।

Tips

अवकलन में गलती करना: नए estudiantes अक्सर अवकलन नियम का सही से अनुप्रयोग नहीं करते हैं।
सीरीज के परीक्षण में: कुछ लोग श्रृंखला के फलन और इसके गुणांक को भ्रमित कर देते हैं।

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