Solve: y dx - x dy + (1+x²) dx + x² sin y dy = 0

Steps to Solve

1. समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें

दिए गए समीकरण को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित करें:

$$ y,dx - x,dy + (1+x^2),dx + x^2 \sin(y),dy = 0 $$

2. $x^2$ से भाग दें

पूरे समीकरण को $x^2$ से भाग दें:

$$ \frac{y,dx - x,dy}{x^2} + \frac{1+x^2}{x^2},dx + \sin(y),dy = 0 $$

3. पदों को सरल करें पदों को इस प्रकार सरल करें: $$ \frac{y,dx - x,dy}{x^2} + \left(\frac{1}{x^2} + 1\right),dx + \sin(y),dy = 0 $$

4. अवकल ज्ञात करें

ध्यान दें कि $\frac{y,dx - x,dy}{x^2} = -d\left(\frac{y}{x}\right)$. समीकरण को इस प्रकार पुन: लिखें:

$$ -d\left(\frac{y}{x}\right) + \left(\frac{1}{x^2} + 1\right),dx + \sin(y),dy = 0 $$

5. समाकलन करें

अब, समीकरण को समाकलित करें:

$$ \int -d\left(\frac{y}{x}\right) + \int \left(\frac{1}{x^2} + 1\right),dx + \int \sin(y),dy = \int 0 $$ $$ -\frac{y}{x} + \int \frac{1}{x^2},dx + \int 1,dx + \int \sin(y),dy = c $$ $$ -\frac{y}{x} - \frac{1}{x} + x - \cos(y) = c $$

6. समाधान का प्रतिनिधित्व करें

अवकल समीकरण का हल है:

$$ x - \frac{y}{x} - \frac{1}{x} - \cos(y) = c $$