Soit x un réel appartenant à l'intervalle [π/2; π[ tel que tan x = -3/4. a) Démontrer que 1 + tan²x = 1/cos²x. b) Déterminer les valeurs de cos x et sin x. 2. Déterminer les valeur... Soit x un réel appartenant à l'intervalle [π/2; π[ tel que tan x = -3/4. a) Démontrer que 1 + tan²x = 1/cos²x. b) Déterminer les valeurs de cos x et sin x. 2. Déterminer les valeurs exactes de cos(59π/3) et sin(-59π/4). 3. Sachant que π/12 = π/3 - π/4, calculer les valeurs exactes de cos(π/12) et sin(π/12). 4. Démontrer que tan²x - sin²x = tan x . sin²x. Read more

Steps to Solve

1. Démontrer l'identité donnée Pour prouver que (1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}), utilise l'identité de Pythagore :
   $$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $$
   Donc,
   $$ \tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} $$
   Ajoute 1 aux deux côtés :
   $$ 1 + \tan^2 x = 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} $$

2. Déterminer les valeurs de ( \cos x ) et ( \sin x ) Utiliser la relation ( \tan^2 x = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} ) et résouds pour ( \cos x ) et ( \sin x ).

3. Calculer les valeurs exactes de ( \cos\left(\frac{59\pi}{3}\right) ) et ( \sin\left(\frac{-59\pi}{4}\right) ) Remarquer que : $$ \frac{59\pi}{3} = 19\pi + \frac{2\pi}{3} \Rightarrow \cos\left(\frac{59\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} $$
   Pour ( \sin\left(\frac{-59\pi}{4}\right) ), vérifier d'abord l'angle équivalent dans le cercle trigonométrique :
   $$ \frac{-59\pi}{4} + 15\pi = \frac{3\pi}{4} \Rightarrow \sin\left(\frac{-59\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

4. Calculer les valeurs de ( \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) ) et ( \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) ) Utiliser les identités trigonométriques pour des angles spéciaux : $$ \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(15^\circ\right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$
   $$ \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(15^\circ\right) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $$

5. Utiliser les identités trigonométriques pour démontrer l'égalité de ( \tan^2 x = \tan x \cdot \sin^2 x ) En prenant en compte les identités, montrer que cela est vrai par substitution.