Soit (un) et (vn) deux suites numériques définies par la donnée de u0, v0 avec 0 < u0 < v0 et les formules de récurrence: un+1 = 2unvn / (un + vn) et vn+1 = (un + vn) / 2. 1) Montr... Soit (un) et (vn) deux suites numériques définies par la donnée de u0, v0 avec 0 < u0 < v0 et les formules de récurrence: un+1 = 2unvn / (un + vn) et vn+1 = (un + vn) / 2. 1) Montrer que ∀n ∈ N, 0 < un < vn. 2) Montrer que les deux suites (un) et (vn) sont convergentes. 3) En déduire qu’elles convergent vers la même limite. Calculer cette limite. 1) Calculer les limites suivantes: lim (x→0) (sin x) / (√(1 + x) - √(1 - x)) et lim (x→0) ln(cos(ax)) / ln(cos(bx)) avec a, b ∈ R. 2) Soit g(x) défini sur R par : g(x) = { x - 1 si x < e, a ln x + b si x ≥ e. Déterminer les nombres réels a et b pour que g soit dérivable sur R. Calculer g'(x). 1) Montrer que 1 / (n + 1) < ln(n + 1) - ln(n) < 1 / n ∀n ∈ N*. 2) Montrer que ln(3) / 2 est irrationnel. 3) Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure; si elles existent, de la partie A de R définie par: A = {sin(2nπ / 7); n ∈ Z}
Understand the Problem
La question pose des problèmes mathématiques sur les suites numériques, les limites de fonctions, et la dérivabilité. Elle demande des démonstrations et des calculs en lien avec ces concepts.
Answer
La limite des suites est $ L = \frac{u_0 + v_0}{2}. $
Answer for screen readers
La limite commune des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ est $$ L = \frac{u_0 + v_0}{2}. $$
Steps to Solve
- Montrer que $ \forall n \in \mathbb{N}, , 0 < u_n < v_n $
On sait que $ u_0 < v_0 $. Pour montrer que $ u_n < v_n $, utilisons la formule de récurrence donnée pour $ u_{n+1} $ et $ v_{n+1} $ : $$ u_{n+1} = \frac{2u_n v_n}{u_n + v_n} $$ $$ v_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2} $$
Avec $ u_n < v_n $, il s'ensuit que $ u_{n+1} < v_{n+1} $.
- Montrer la convergence des deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$
Pour montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont convergentes, on peut utiliser le critère de Cauchy. Puisque chaque terme est lié par une relation de récurrence et que $ u_n < v_n $, ces suites sont monotones et bornées, ce qui implique la convergence.
- Calculer la limite commune des suites
Pour calculer la limite, notons que si les deux suites convergent vers une limite L : $$ L = \frac{2L \cdot L}{L + L} = \frac{2L^2}{2L} = L. $$
Cela signifie qu'une limite possible est $ L = \frac{u_0 + v_0}{2} $.
La limite commune des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ est $$ L = \frac{u_0 + v_0}{2}. $$
More Information
Ces suites sont souvent utilisées dans les problèmes de convergence de suites numériques et illustrent les comportements des suites bornées.
Tips
- Ne pas vérifier la monotonie des suites peut conduire à une conclusion incorrecte sur leur convergence.
- Oublier de prouver que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont toujours positives peut entraîner des erreurs dans l'analyse.
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