Soit la fonction définie sur [0; +∞[ par f(x) = -x + 2 + ln(x) et la fonction définie sur ]-∞; 0] par h(x) = x^2 + 1 - ln(x). 1. Etudier les limites de f en 0 et +∞. 2. Etudier la... Soit la fonction définie sur [0; +∞[ par f(x) = -x + 2 + ln(x) et la fonction définie sur ]-∞; 0] par h(x) = x^2 + 1 - ln(x). 1. Etudier les limites de f en 0 et +∞. 2. Etudier la variation de f et donner son tableau de variation. 3. Représenter C. Dresser le tableau de variation de h. Calculer g'(x) et l'exprimer en fonction de h(x). Déterminer les limites de f en 0 et +∞.
Understand the Problem
La question pose une série de problèmes mathématiques liés à l'étude d'une fonction définie par un intervalle donné, incluant l'étude des limites, des variations et la représentation graphique. Il s'agit d'appliquer des concepts de l'analyse mathématique. Les étapes impliquent l'étude de limites, des variations de la fonction, et la représentation graphique sur un repère orthonormal.
Answer
La fonction \( f(x) \) diverge à \( -\infty \) pour \( x \rightarrow 0^+ \) et va vers \( +\infty \) pour \( x \rightarrow +\infty \), avec un minimum à \( x = 1 \).
Answer for screen readers
La fonction ( f(x) = -x + 2 + \ln(x) ) diverge à ( -\infty ) quand ( x ) approche ( 0^+ ) et tend vers ( +\infty ) quand ( x ) tend vers ( +\infty ).
Un tableau de variations montre que ( f(x) ) a un minimum à ( x = 1 ).
Steps to Solve
- Étudier les limites de ( f ) en ( 0 ) et ( +\infty )
On commence par déterminer les limites aux points critiques de la fonction ( f(x) ).
Pour ( x \rightarrow 0^+ ): [ \lim_{x \to 0^+} f(x) = -0 + 2 + \ln(0^+) \quad \text{(la limite diverge à } -\infty\text{)} ]
Pour ( x \rightarrow +\infty ): [ \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty + 2 + \ln(+\infty) = +\infty ]
- Déterminer les variations de ( f ) et établir le tableau de variation
On doit calculer la dérivée de ( f ) et analyser le signe de ( f'(x) ).
La fonction est définie par ( f(x) = -x + 2 + \ln(x) ).
La dérivée est: [ f'(x) = -1 + \frac{1}{x} ]
On résout ( f'(x) = 0 ): [ -1 + \frac{1}{x} = 0 \implies x = 1 ]
On examine le signe de ( f'(x) ):
- ( f'(x) < 0 ) pour ( 0 < x < 1 )
- ( f'(x) > 0 ) pour ( x > 1 )
- Dresser le tableau de variation de ( f )
On indiquera les limites trouvées et les variations:
- Pour ( x = 0^+ ): ( f \rightarrow -\infty )
- Pour ( x = 1 ): ( f ) atteint un minimum
- Pour ( x \rightarrow +\infty ): ( f \rightarrow +\infty )
L'allure du tableau est résumée ci-dessous :
| ( x ) | 0 | 1 | +\infty |
|---|---|---|---|
| ( f ) | -∞ | minimum | +∞ |
| ( f' ) | <0 | 0 | >0 |
- Tracer la courbe ( C ) dans un repère orthonormal
Sur le repère orthonormal, tracer les points critiques et utiliser les variations.
- Point minimum à ( (1, f(1)) )
- La courbe ( C ) commence à ( -\infty ) et tend vers ( +\infty ) en passant par ( x = 1 ).
- Établir les asymptotes et autre éléments importants
Enfin, nous pouvons vérifier (et tracer) l'asymptote:
- La droite ( y = x - 1 ) peut être vérifiée par ( \ln x = x - 2 ) pour des valeurs de ( x ) loin de 1.
La fonction ( f(x) = -x + 2 + \ln(x) ) diverge à ( -\infty ) quand ( x ) approche ( 0^+ ) et tend vers ( +\infty ) quand ( x ) tend vers ( +\infty ).
Un tableau de variations montre que ( f(x) ) a un minimum à ( x = 1 ).
More Information
Cette étude est typique dans les cours de calcul et analyse. La présence de logarithmes et de polynômes associés dans une fonction peut refléter des comportements intéressants comme l'asymptote, et montrer des variations significatives pour ( x ) proches de ( 0 ).
Tips
- Oublier les limites aux extrêmes : Vérifiez toujours les limites en ( 0 ) et ( +\infty ).
- Erreur dans le signe de la dérivée : Souvent, des erreurs se produisent dans l'analyse du signe de la dérivée. Assurez-vous de les vérifier correctement.
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