Soit ABCD un parallélogramme. 1) Construire E l'image de A par la translation qui transforme B en D. 2) Construire F l'image de B par la translation qui transforme A en C. 3) Montr... Soit ABCD un parallélogramme. 1) Construire E l'image de A par la translation qui transforme B en D. 2) Construire F l'image de B par la translation qui transforme A en C. 3) Montrer que E est l'image de D par la translation qui transforme C en D. 4) Montrer que F est l'image de C par la translation qui transforme D en C. 5) En déduire que : $\vec{ED} = \vec{DC} = \vec{CF}$ et $\vec{EF} = 3\vec{AB}$ Exercice 10: BCD un parallélogramme de centre O. 1) Construire les points M et R tels que : $\vec{CM} = \vec{OB}$ et $\vec{OP} = \vec{BC}$. 2) On considère la translation t qui transforme O en C. Déterminer l'image de B par la translation t. Montrer que l'image de D par la translation t est P. 4) Montrer que les points P, C et M sont alignés. Read more

Steps to Solve

Exercice 9

1. Construire le point E

Puisque E est l'image de A par la translation qui transforme B en D, cela signifie que $\vec{BE} = \vec{BD}$. Comme ABCD est un parallélogramme, on a $\vec{BD} = \vec{AC}$. Par conséquent, $\vec{AE} = \vec{BD}$. E est tel que ADEC est un parallélogramme. Puisque $ABCD$ est un parallélogramme, $\vec{BA} = \vec{CD}$ et $\vec{BC} = \vec{AD}$.

2. Construire le point F

Puisque F est l'image de B par la translation qui transforme A en C, cela signifie que $\vec{BF} = \vec{AC}$. Donc $ABCF$ est un parallélogramme. En d'autres termes, ACDF est un parallélogramme.

3. Montrer que E est l'image de D par la translation qui transforme C en D

Nous devons montrer que $\vec{DE} = \vec{CD}$. Puisque E est l'image de A par la translation qui transforme B en D, on a $\vec{AE} = \vec{BD}$. Et puisque ABCD est un parallélogramme, $\vec{BD} = \vec{AC}$. Ainsi, $\vec{AE} = \vec{AC}$. Alors, $\vec{AE} = \vec{AC}$, donc $\vec{AC} = \vec{DE}$, mais $\vec{CD} = \vec{BA}$. On sait que $\vec{AE} = \vec{BD} = \vec{AC}$, donc $ADCE$ est un parallélogramme. Cette dernière égalité implique $\vec{DE} = \vec{CA} = - \vec{AC}$, donc $\vec{DE} = \vec{AC} = - \vec{CA}$. Puisque $\vec{ED} = \vec{DC}$, E est l'image de A par la translation transformant C en D.

$\vec{ED} = \vec{DC}$

4. Montrer que F est l'image de C par la translation qui transforme D en C

Nous devons montrer que $\vec{CF} = \vec{DC}$. Puisque F est l'image de B par la translation qui transforme A en C, on a $\vec{BF} = \vec{AC}$. De plus, ABCD est un parallélogramme, donc $\vec{AC} = \vec{BD}$. Ainsi, $\vec{BF} = \vec{BD}$, ce qui signifie que F est l'image de C par la translation qui transforme D en C. Donc $\vec{CF} = \vec{DC}$.

5. En déduire que $\vec{ED} = \vec{DC} = \vec{CF}$ et $\vec{EF} = 3\vec{AB}$

Nous avons déjà démontré que $\vec{ED} = \vec{DC}$ et $\vec{CF} = \vec{DC}$. Donc, $\vec{ED} = \vec{DC} = \vec{CF}$.

De plus, $\vec{EF} = \vec{ED} + \vec{DC} + \vec{CF} = \vec{DC} + \vec{DC} + \vec{CF} = 3\vec{DC} = 3(-\vec{CD})$

Puisque ABCD est un parallélogramme, $\vec{CD} = \vec{BA} = -\vec{AB}$.

Donc $\vec{EF} = 3\vec{CD} = - 3\vec{DC} = 3\vec{AB}$

Exercice 10

1. Construction des points M et P

M est tel que $\vec{CM} = \vec{OB}$ et P est tel que $\vec{OP} = \vec{BC}$

2. Déterminer l'image de B par la translation t et montrer que l'image de D par la translation t est P.

La translation t transforme O en C, donc $\vec{OC}$ est le vecteur de la translation. L'image de B par t est le point, appelons le B', tel que $\vec{OB'} = \vec{OC}$. Or, $\vec{OB'} = \vec{OC}$, alors B' est confondu avec F. Il doit y avoir une erreur dans l'énoncé. On nous dit que $\vec{OP} = \vec{BC}$

Puis, l'image de B est P' tel que $\vec{BP'} = \vec{OC}$.

Puisque O est le centre du parallélogramme, $\vec{OC} = - \vec{CO}$

Déterminons l'image de D par t. Appelons le D'. $\vec{OD'} = \vec{OC}$. Or comme O est le centre du parallélogramme, $\vec{OC} = \vec{DO}$, donc D' est O. Là encore, il doit y avoir une erreur dans l'énoncé. On nous dit de montrer que l'image de D par la translation t est P. Si l'image de D est P, alors $\vec{DP} = \vec{OC}$. On sait que $\vec{OP} = \vec{BC}$ Puisque $BCDO$ est un parallélogramme, $\vec{BC} = \vec{DO}$. Donc $\vec{OP} = \vec{DO}$ On veut montrer que $\vec{DP} = \vec{OC}$

3. Montrer que les points P, C et M sont alignés.

Pour montrer que P, C et M sont alignés, il faut montrer que $\vec{PC}$ et $\vec{PM}$ sont colinéaires. $\vec{PC} = \vec{OC} - \vec{OP}$ $\vec{OP} = \vec{BC}$ Donc $\vec{PC} = \vec{OC} - \vec{BC}$ Or $\vec{BC} = \vec{DO} = - \vec{OD}$ $\vec{PC} = \vec{OC} - \vec{DO}$ $\vec{CM} = \vec{OB}$ $\vec{PM} = \vec{CM} - \vec{CP} = \vec{OB} - \vec{CP}$ $\vec{CP} = - \vec{PC}$ $\vec{PM} = \vec{OB} - (\vec{OC} - \vec{OD}) = \vec{OB} - \vec{OC} + \vec{OD}$ Comme O est le centre du parallélogramme $BCDO$, alors $\vec{OB} = - \vec{DO}$ $\vec{OD} = - \vec{BO}$ et $\vec{OC} = - \vec{CO}$ On cherche à montrer que $\vec{PC}$ et $\vec{PM}$ sont colinéaires $\vec{PC} = \vec{OC} - \vec{BC} = \vec{OC} - \vec{DO}$ $\vec{PM} = \vec{OB} - \vec{OC} + \vec{OD}$ or $\vec{OB} = \vec{CD}$ et $\vec{OD} = \vec{CB}$ $\vec{PC} = \vec{OC} + \vec{OC}$ $\vec{PM} = \vec{CD} - \vec{OC} + \vec{CB}$

$\vec{PC} = \vec{OC} - \vec{DO}$ $\vec{CM} = \vec{OB}$ $\vec{PM} = \vec{CM} - \vec{CP} = \vec{CM} + \vec{PC} = \vec{OB} + \vec{OC} - \vec{DO}$

Puisque O est le milieu de BD, $\vec{OB} + \vec{OD} = \vec{0}$, donc $\vec{OB} = - \vec{OD}$ $\vec{OB} = \vec{DO}$ Donc $\vec{PM} = \vec{DO} + \vec{OC} - \vec{DO} = \vec{OC}$ $\vec{PC} = \vec{OC} - \vec{DO}$ $\vec{PC} = \vec{OC} - \vec{OP}$ $\vec{PM} = \vec{OB} + \vec{PC}$ $\vec{CM} = \vec{OB}$

$\vec{PM} = \vec{OC}$ $\vec{DP} = \vec{OC}$ $\vec{PM} = \vec{DP}$

Donc $\vec{PM} = \vec{OC}$ et on cherche à savoir si $\vec{CP}$ et $\vec{PM}$ sont alignés $\vec{CP} = - \vec{PC} = - \vec{OC} + \vec{DO}$ $\vec{PM} = \vec{OC}$ donc on cherche, existe-t-il un k tel que: $\vec{CP} = k(\vec{PM})$ $- \vec{OC} + \vec{DO} = k \vec{OC}$ $\vec{DO} = (k+1) \vec{OC}$ Donc $P$, $C$ et $M$ ne sont pas alignés