Sitúa el punto P en la circunferencia de radio 1 de tal manera que el ángulo trigonométrico sea θ = -30°. Halla el valor de senθ, cosθ y tanθ. Sitúa el punto P en la circunferencia... Sitúa el punto P en la circunferencia de radio 1 de tal manera que el ángulo trigonométrico sea θ = -30°. Halla el valor de senθ, cosθ y tanθ. Sitúa el punto P en la circunferencia de radio 1 de tal manera que el ángulo trigonométrico sea θ = -120°. Halla el valor de senθ, cosθ y tanθ.
Understand the Problem
La pregunta está pidiendo que se sitúe un punto P en la circunferencia de radio 1 para dos ángulos trigonometricos dados (-30° y -120°) y se encuentren los valores de seno, coseno y tangente para cada caso.
Answer
Para $\theta = -30°$: $\sin(-30°) = -\frac{1}{2}$, $\cos(-30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan(-30°) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Para $\theta = -120°$: $\sin(-120°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(-120°) = -\frac{1}{2}$, $\tan(-120°) = \sqrt{3}$.
Answer for screen readers
Para $\theta = -30°$:
- $\sin(-30°) = -\frac{1}{2}$
- $\cos(-30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- $\tan(-30°) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Para $\theta = -120°$:
- $\sin(-120°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
- $\cos(-120°) = -\frac{1}{2}$
- $\tan(-120°) = \sqrt{3}$
Steps to Solve
- Ubicación del punto P para $\theta = -30°$
Dado que el radio es 1, para encontrar el punto P en la circunferencia, utilizamos las coordenadas: [ P(x, y) = \left( \cos(-30°), \sin(-30°) \right) ]
Calculamos $\cos(-30°)$ y $\sin(-30°)$. [ \cos(-30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ \sin(-30°) = -\frac{1}{2} ] Entonces, el punto se ubica en: [ P\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right) ]
- Cálculo de $\sin(-30°)$, $\cos(-30°)$ y $\tan(-30°)$
Usamos las coordenadas para calcular las funciones trigonométricas:
- Para el seno: [ \sin(-30°) = -\frac{1}{2} ]
- Para el coseno: [ \cos(-30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} ]
- Para la tangente: [ \tan(-30°) = \frac{\sin(-30°)}{\cos(-30°)} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} ]
- Ubicación del punto P para $\theta = -120°$
Usamos la misma fórmula de coordenadas: [ P(x, y) = \left( \cos(-120°), \sin(-120°) \right) ]
Calculamos $\cos(-120°)$ y $\sin(-120°)$. [ \cos(-120°) = -\frac{1}{2} ] [ \sin(-120°) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ] Entonces, el punto se ubica en: [ P\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) ]
- Cálculo de $\sin(-120°)$, $\cos(-120°)$ y $\tan(-120°)$
Nuevamente, usamos las coordenadas para calcular las funciones trigonométricas:
- Para el seno: [ \sin(-120°) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ]
- Para el coseno: [ \cos(-120°) = -\frac{1}{2} ]
- Para la tangente: [ \tan(-120°) = \frac{\sin(-120°)}{\cos(-120°)} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = \sqrt{3} ]
Para $\theta = -30°$:
- $\sin(-30°) = -\frac{1}{2}$
- $\cos(-30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- $\tan(-30°) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Para $\theta = -120°$:
- $\sin(-120°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
- $\cos(-120°) = -\frac{1}{2}$
- $\tan(-120°) = \sqrt{3}$
More Information
Los ángulos negativos representan rotaciones en sentido horario desde el eje positivo X en el círculo unitario. Esto ayuda a definir las coordenadas de los puntos sobre la circunferencia, y de ahí se derivan los valores de las funciones trigonométricas.
Tips
- Confundir el signo de las funciones: Recuerda que en el cuadrante donde se encuentran los ángulos, el seno y el coseno pueden ser negativos.
- Uso incorrecto del círculo unitario: Asegúrate de ubicar correctamente el ángulo en el círculo.
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