Sitúa el punto P en la circunferencia de radio 1 de tal manera que el ángulo trigonométrico sea θ = -180°. Halla el valor de sen(θ), cos(θ) y tan(θ). Sitúa el punto P en la circunf... Sitúa el punto P en la circunferencia de radio 1 de tal manera que el ángulo trigonométrico sea θ = -180°. Halla el valor de sen(θ), cos(θ) y tan(θ). Sitúa el punto P en la circunferencia de radio 1 de tal manera que el ángulo trigonométrico sea θ = -225°. Halla el valor de sen(θ), cos(θ) y tan(θ).
Understand the Problem
La pregunta pide ubicar un punto P en la circunferencia de radio 1 de manera que el ángulo trigonométrico sea θ = -180° y calcular los valores de sen(θ), cos(θ) y tan(θ). También se pide hacer lo mismo para θ = -225°. Para resolver, se usarán las relaciones trigonométricas en el círculo unitario.
Answer
Para θ = -180°: $sen(-180°) = 0$, $cos(-180°) = -1$, $tan(-180°) = 0$; Para θ = -225°: $sen(-225°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos(-225°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $tan(-225°) = 1$.
Answer for screen readers
Para θ = -180°:
- $sen(-180°) = 0$
- $cos(-180°) = -1$
- $tan(-180°) = 0$
Para θ = -225°:
- $sen(-225°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
- $cos(-225°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
- $tan(-225°) = 1$
Steps to Solve
- Ubicación del punto para θ = -180°
El ángulo de $-180°$ se encuentra en el lado opuesto del eje x positivo. En términos de coordenadas en el círculo unitario, el punto correspondiente es $P(-1, 0)$.
- Cálculo de sen(θ) para θ = -180°
Dado que el punto en la circunferencia es $P(-1, 0)$:
- El valor de $sen(θ)$ es la coordenada y del punto P, que es $0$.
- Cálculo de cos(θ) para θ = -180°
El valor de $cos(θ)$ es la coordenada x del punto P, que es $-1$.
- Cálculo de tan(θ) para θ = -180°
La tangente se calcula como $tan(θ) = \frac{sen(θ)}{cos(θ)}$. Así: $$ tan(-180°) = \frac{0}{-1} = 0 $$
- Ubicación del punto para θ = -225°
El ángulo de $-225°$ se encuentra en el tercer cuadrante. Para calcular las coordenadas, podemos usar las relaciones de 45° en el tercer cuadrante:
- El punto correspondiente es $P\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
- Cálculo de sen(θ) para θ = -225°
Para el ángulo $-225°$, el valor de $sen(θ)$ es la coordenada y del punto P: $$ sen(-225°) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$
- Cálculo de cos(θ) para θ = -225°
El valor de $cos(θ)$ es la coordenada x del punto P: $$ cos(-225°) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$
- Cálculo de tan(θ) para θ = -225°
La tangente se calcula de la misma manera: $$ tan(-225°) = \frac{sen(-225°)}{cos(-225°)} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 $$
Para θ = -180°:
- $sen(-180°) = 0$
- $cos(-180°) = -1$
- $tan(-180°) = 0$
Para θ = -225°:
- $sen(-225°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
- $cos(-225°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
- $tan(-225°) = 1$
More Information
Los valores de las funciones trigonométricas en el círculo unitario son fundamentales para comprender la relación entre los ángulos y las coordenadas. Los ángulos negativos indican rotaciones en sentido horario desde el eje positivo de las x.
Tips
- Confundir las coordenadas: Asegúrate de recordar que $sen(θ)$ corresponde a la y y $cos(θ)$ a la x del punto en el círculo unitario.
- Error en el signo: Especialmente en cuadrantes donde las coordenadas pueden ser negativas. Verifica en qué cuadrante se encuentra el ángulo.
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