Si L = 94, ¿cuál es el valor del coeficiente de la serie de Fourier $a_0$?
Understand the Problem
La pregunta nos pide encontrar el coeficiente $a_0$ de la serie de Fourier para la función periódica $f(t)$ mostrada en la imagen, dado que $L = 94$. El coeficiente $a_0$ representa el valor promedio de la función sobre un período completo. Observando la gráfica, se puede determinar cómo calcular este valor promedio.
Answer
$a_0 = 47$
Answer for screen readers
$a_0 = 47$
Steps to Solve
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Calcular el área bajo la función en un período
La función dada es periódica con período $2L$. En cada período, la función forma un triángulo con base $2L$ y altura $L$. El área de un triángulo es $\frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altura}$. Por lo tanto, el área bajo la función en un período es: $$ \text{Área} = \frac{1}{2} \cdot (2L) \cdot L = L^2 $$
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Calcular el valor promedio de la función
El coeficiente $a_0$ es el valor promedio de la función sobre un período, que se calcula como el área bajo la función en un período dividida por la longitud del período. Entonces, $$ a_0 = \frac{\text{Área}}{2L} = \frac{L^2}{2L} = \frac{L}{2} $$
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Sustituir el valor de L
Dado que $L = 94$, sustituimos este valor en la expresión para $a_0$: $$ a_0 = \frac{94}{2} = 47 $$
$a_0 = 47$
More Information
El coeficiente $a_0$ de la serie de Fourier representa el valor promedio de la función periódica sobre un período. En este caso, la función es una serie de triángulos, y el valor promedio corresponde a la mitad de la altura de los triángulos.
Tips
- Olvidar dividir el área bajo la curva por la longitud del período para obtener el valor promedio.
- Calcular incorrectamente el área del triángulo.
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