Si 0° ≤ θ < 360°, ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación 2cos²θ - cosθ - 1 = 0?

Understand the Problem

La pregunta pide encontrar las soluciones de la ecuación trigonométrica 2cos²θ - cosθ - 1 = 0, donde θ está en el intervalo de 0° a 360°. Esto implica resolver la ecuación cuadrática en términos de cosθ y luego encontrar los ángulos correspondientes.

Answer

$\theta = 0^\circ, 120^\circ, 240^\circ$

Steps to Solve

Reescribir la ecuación cuadrática

Empezamos con la ecuación dada: $2\cos^2\theta - \cos\theta - 1 = 0$

Factorizar la ecuación cuadrática

Factorizamos la ecuación cuadrática en términos de $\cos\theta$. $(2\cos\theta + 1)(\cos\theta - 1) = 0$

Resolver para $\cos\theta$

Igualamos cada factor a cero y resolvemos para $\cos\theta$: $2\cos\theta + 1 = 0 \Rightarrow \cos\theta = -\frac{1}{2}$ $\cos\theta - 1 = 0 \Rightarrow \cos\theta = 1$

Encontrar $\theta$ para $\cos\theta = -\frac{1}{2}$

Buscamos los ángulos $\theta$ en el rango de $0^\circ$ a $360^\circ$ donde $\cos\theta = -\frac{1}{2}$. El coseno es negativo en los cuadrantes II y III. $\theta = 120^\circ$ y $\theta = 240^\circ$

Encontrar $\theta$ para $\cos\theta = 1$

Buscamos los ángulos $\theta$ en el rango de $0^\circ$ a $360^\circ$ donde $\cos\theta = 1$. $\theta = 0^\circ$

Enumerar todas las soluciones

Las soluciones son $\theta = 0^\circ$, $\theta = 120^\circ$ y $\theta = 240^\circ$.

$\theta = 0^\circ, 120^\circ, 240^\circ$

More Information

La función coseno es positiva en los cuadrantes I y IV, y negativa en los cuadrantes II y III. El valor de referencia para $\cos \theta = \frac{1}{2}$ es $60^\circ$. Por lo tanto, las soluciones para $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ son $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (cuadrante II) y $180^\circ + 60^\circ = 240^\circ$ (cuadrante III). Para $\cos \theta = 1$, la solución en el rango dado es $0^\circ$.

Tips

Olvidar factorizar correctamente la ecuación cuadrática.
No considerar todos los cuadrantes al encontrar los ángulos.
Dar las respuestas en radianes en lugar de grados, o viceversa, si el problema especifica un formato particular.
Olvidar la solución $\theta=0^\circ$

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