Si 0° ≤ θ < 360°, ¿cuáles son las soluciones de la ecuación 2cos²θ - cosθ - 1 = 0?
Understand the Problem
La pregunta pide encontrar las soluciones de la ecuación trigonométrica (2\cos^2(\theta) - \cos(\theta) - 1 = 0) dentro del rango de 0° a 360°. Se trata de resolver una ecuación cuadrática en términos de (\cos(\theta)) y luego encontrar los ángulos correspondientes.
Answer
d) $\theta = 0^\circ, 120^\circ, 240^\circ$
Answer for screen readers
d) $\theta = 0^\circ, 120^\circ, 240^\circ$
Steps to Solve
- Sustitución para simplificar la ecuación
Sustituimos $\cos(\theta)$ por $x$ para simplificar la ecuación cuadrática.
$2x^2 - x - 1 = 0$
- Factorización de la ecuación cuadrática
Factorizamos la ecuación cuadrática para encontrar los valores de $x$.
$2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1) = 0$
- Resolución para $x$
Resolvemos para $x$:
$2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$ $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
- Sustitución inversa para encontrar $\theta$
Sustituimos $x$ de nuevo por $\cos(\theta)$ y resolvemos para $\theta$.
$\cos(\theta) = -\frac{1}{2}$ $\cos(\theta) = 1$
- Encontrar ángulos para $\cos(\theta) = 1$
Para $\cos(\theta) = 1$, los ángulos en el rango de $0^\circ$ a $360^\circ$ son:
$\theta = 0^\circ$
- Encontrar ángulos para $\cos(\theta) = -\frac{1}{2}$
Para $\cos(\theta) = -\frac{1}{2}$, los ángulos en el rango de $0^\circ$ a $360^\circ$ son:
$\theta = 120^\circ$ y $\theta = 240^\circ$
- Soluciones finales
Las soluciones para $\theta$ son $0^\circ$, $120^\circ$ y $240^\circ$.
d) $\theta = 0^\circ, 120^\circ, 240^\circ$
More Information
La función coseno es positiva en los cuadrantes I y IV, y negativa en los cuadrantes II y III. Por lo tanto, cuando $\cos(\theta) = -\frac{1}{2}$, buscamos ángulos en los cuadrantes II y III.
Tips
- Olvidar factorizar correctamente la ecuación cuadrática, lo que lleva a valores incorrectos para $\cos(\theta)$.
- No encontrar todos los ángulos posibles en el rango de $0^\circ$ a $360^\circ$ para cada valor de $\cos(\theta)$.
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