Sean P, Q, R proposiciones. Demostrar que: (P es equivalente a R y R es equivalente a Q) es equivalente a (P es equivalente a Q)

Steps to Solve

1. Definir la equivalencia lógica

Dos proposiciones $P$ y $R$ son lógicamente equivalentes si y sólo si su bicondicional $P \leftrightarrow R$ es una tautología. Esto significa que $P \leftrightarrow R$ es verdadero para todas las posibles combinaciones de valores de verdad de $P$ y $R$.

2. Establecer las premisas

Tenemos dos premisas:

• $P \equiv R$, lo que significa que $P \leftrightarrow R$ es una tautología.
• $R \equiv Q$, lo que significa que $R \leftrightarrow Q$ es una tautología.

3. Objetivo

Debemos demostrar que $P \equiv Q$, es decir, que $P \leftrightarrow Q$ es una tautología.

4. Construir la tabla de verdad

Construimos una tabla de verdad para $P$, $Q$, $R$, $P \leftrightarrow R$, $R \leftrightarrow Q$ y $P \leftrightarrow Q$:

5. Análisis de la tabla de verdad

Según las premisas, $P \leftrightarrow R$ y $R \leftrightarrow Q$ son tautologías. Esto significa que solo nos interesan las filas donde ambas columnas ($P \leftrightarrow R$ y $R \leftrightarrow Q$) son verdaderas. Es decir, las filas 1 y 8. Observamos que en estas filas $P \leftrightarrow Q$ también es verdadero.

Sin embargo, una demostración más rigurosa requiere considerar todas las posibles combinaciones de valores de verdad de P, Q y R y usar las propiedades de la bicondicional.

6. Demostración usando equivalencias lógicas

Queremos demostrar que $P \leftrightarrow Q$ es una tautología, dado que $P \leftrightarrow R$ y $R \leftrightarrow Q$ son tautologías. Recordemos que $A \leftrightarrow B \equiv (A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A)$. Entonces, $P \leftrightarrow R \equiv (P \rightarrow R) \land (R \rightarrow P)$ y $R \leftrightarrow Q \equiv (R \rightarrow Q) \land (Q \rightarrow R)$.

Si $P \leftrightarrow R$ y $R \leftrightarrow Q$ son verdaderas, entonces $P \rightarrow R$, $R \rightarrow P$, $R \rightarrow Q$ y $Q \rightarrow R$ son verdaderas.

Ahora, consideremos $P \rightarrow Q$. Podemos demostrar que esto es verdadero usando la regla de inferencia del silogismo hipotético: si $P \rightarrow R$ y $R \rightarrow Q$, entonces $P \rightarrow Q$.

De manera similar, consideramos $Q \rightarrow P$. Si $Q \rightarrow R$ y $R \rightarrow P$, entonces $Q \rightarrow P$ también es verdadero.

Por lo tanto, si $P \rightarrow Q$ y $Q \rightarrow P$ son verdaderas, entonces $(P \rightarrow Q) \land (Q \rightarrow P)$ es verdadera, lo que significa que $P \leftrightarrow Q$ es verdadera.

7. Conclusión

Dado que hemos demostrado que $P \leftrightarrow Q$ es una tautología si $P \leftrightarrow R$ y $R \leftrightarrow Q$ son tautologías, podemos concluir que si $P \equiv R$ y $R \equiv Q$, entonces $P \equiv Q$.