सिद्ध करें कि tan A / (1 - cot A) + cot A / (1 - tan A) = 1 + tan A + cot A
Understand the Problem
यह प्रश्न त्रिकोणमितीय सर्वसमिका को सिद्ध करने के लिए कह रहा है। हमें सिद्ध करना है कि tan A / (1 - cot A) + cot A / (1 - tan A) = 1 + tan A + cot A। इसे हल करने के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों और सर्वसमिकाओं का उपयोग करके बाएँ हाथ के पक्ष को दाएँ हाथ के पक्ष के बराबर दिखाना होगा।
Answer
$1 + \tan A + \cot A$
Answer for screen readers
$\frac{\tan A}{1 - \cot A} + \frac{\cot A}{1 - \tan A} = 1 + \tan A + \cot A$
Steps to Solve
- एलएचएस लिखें
प्रश्न के बाएँ हाथ के पक्ष (एलएचएस) से शुरुआत करें:
$$ \frac{\tan A}{1 - \cot A} + \frac{\cot A}{1 - \tan A} $$
- tan A और cot A को sin A और cos A के रूप में व्यक्त करें
त्रिकोणमितीय अनुपात $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ और $\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$ का उपयोग करें:
$$ \frac{\frac{\sin A}{\cos A}}{1 - \frac{\cos A}{\sin A}} + \frac{\frac{\cos A}{\sin A}}{1 - \frac{\sin A}{\cos A}} $$
- सरलीकरण करें
भिन्नों को सरल करें:
$$ \frac{\frac{\sin A}{\cos A}}{\frac{\sin A - \cos A}{\sin A}} + \frac{\frac{\cos A}{\sin A}}{\frac{\cos A - \sin A}{\cos A}} $$
- पुनर्व्यवस्थित करें
अंशों को उलटें और गुणा करें:
$$ \frac{\sin A}{\cos A} \cdot \frac{\sin A}{\sin A - \cos A} + \frac{\cos A}{\sin A} \cdot \frac{\cos A}{\cos A - \sin A} $$
- सरलीकरण करें
गुणा करें: $$ \frac{\sin^2 A}{\cos A (\sin A - \cos A)} + \frac{\cos^2 A}{\sin A (\cos A - \sin A)} $$
- सामान्य हर खोजें
सामान्य हर $\sin A \cos A (\sin A - \cos A)$ खोजें:
$$ \frac{\sin^3 A - \cos^3 A}{\sin A \cos A (\sin A - \cos A)} $$
- अंश को गुणनखंडित करें
अंश $\sin^3 A - \cos^3 A$ को गुणनखंडित करें:
$$ \frac{(\sin A - \cos A)(\sin^2 A + \sin A \cos A + \cos^2 A)}{\sin A \cos A (\sin A - \cos A)} $$
- सरलीकरण करें
$(\sin A - \cos A)$ को रद्द करें:
$$ \frac{\sin^2 A + \sin A \cos A + \cos^2 A}{\sin A \cos A} $$
- त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करें
$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ का प्रयोग करें:
$$ \frac{1 + \sin A \cos A}{\sin A \cos A} $$
- अलग करें
दो भागों में अलग करें:
$$ \frac{1}{\sin A \cos A} + \frac{\sin A \cos A}{\sin A \cos A} $$
- सरलीकरण करें
सरलीकरण करें:
$$ \frac{1}{\sin A \cos A} + 1 $$
- sin A और cos A के रूप में व्यक्त करें
$\tan A$ और $\cot A$ के रूप में व्यक्त करें:
$$ 1 + \frac{1}{\sin A \cos A} $$
- पुनर्व्यवस्थित करें
$$ 1 + \frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{\sin A \cos A} $$
- अलग करें
$$ 1 + \frac{\sin^2 A}{\sin A \cos A} + \frac{\cos^2 A}{\sin A \cos A} $$
- सरलीकरण करें
सरलीकरण करें:
$$ 1 + \frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\cos A}{\sin A} $$
- अंतिम परिणाम
$1 + \tan A + \cot A$ प्राप्त करें, जो आरएचएस है:
$$ 1 + \tan A + \cot A $$
$\frac{\tan A}{1 - \cot A} + \frac{\cot A}{1 - \tan A} = 1 + \tan A + \cot A$
More Information
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ गणित में शक्तिशाली उपकरण हैं, जिनका उपयोग विभिन्न trigonometric अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और हल करने के लिए किया जाता है। इन सर्वसमिकाओं में महारत हासिल करने से त्रिकोणमितीय समस्याओं का समाधान सरल हो जाता है।
Tips
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को सिद्ध करते समय की जाने वाली कुछ सामान्य गलतियाँ हैं:
- त्रिकोणमितीय अनुपातों को सही ढंग से व्यक्त नहीं करना।
- भिन्नों को सरलीकरण करते समय गलतियाँ करना।
- त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को सही ढंग से लागू नहीं करना।
इन गलतियों से बचने के लिए, त्रिकोणमितीय अनुपातों और सर्वसमिकाओं का सावधानीपूर्वक अध्ययन करें, और भिन्नों को सरलीकरण करते समय ध्यान दें।
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