सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अंतर्गत विशालतम शंकु का आयतन गोले के आयतन का 8/27 होता है। सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अंतर्गत विशालतम शंकु का आयतन गोले के आयतन का 8/27 होता है। Read more

Steps to Solve

1. शंकु के आयतन के लिए समीकरण स्थापित करना

मान लीजिए कि गोले की त्रिज्या $R$ है। शंकु की ऊँचाई $h$ और आधार की त्रिज्या $r$ मान लीजिए। शंकु का आयतन $V$ है: $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$ 2. r व h को R के पदो में व्यक्त करना

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

$r^2 = R^2 - (h-R)^2 = 2hR - h^2$

इसे शंकु के आयतन के फ़ॉर्मूले में रखकर:

$V = \frac{1}{3} \pi (2hR - h^2)h = \frac{1}{3} \pi (2h^2R - h^3)$ 3. V को अधिकतम करना

$h$ के सन्दर्भ में $V$ का अवकलन कीजिये और उसे शून्य के बराबर कीजिये: $$\frac{dV}{dh} = \frac{1}{3} \pi (4hR - 3h^2) = 0$$ $$h(4R - 3h) = 0$$

इसलिए, $h = 0$ या $h = \frac{4R}{3}$। $h = 0$ समाधान अर्थहीन है, इसलिए $h = \frac{4R}{3}$।

4. $h = \frac{4R}{3}$ पर $V$ अधिकतम है यह वेरिफाई करना $$\frac{d^2V}{dh^2} = \frac{1}{3} \pi (4R - 6h)$$

$h = \frac{4R}{3}$ पर: $$\frac{d^2V}{dh^2} = \frac{1}{3} \pi (4R - 6 \cdot \frac{4R}{3}) = \frac{1}{3} \pi (4R - 8R) = -\frac{4}{3} \pi R < 0$$

इस से पता चलता है कि $h = \frac{4R}{3}$ पर आयतन अधिकतम है।

5. शंकु का अधिकतम आयतन ज्ञात करना

इस $h$ मान को आयतन के फ़ॉर्मूले में प्रतिस्थापित करने पर:

$r^2 = 2(\frac{4R}{3})R - (\frac{4R}{3})^2= \frac{8R^2}{3} - \frac{16R^2}{9} = \frac{24R^2 - 16R^2}{9} = \frac{8R^2}{9}$

$V = \frac{1}{3} \pi (\frac{8R^2}{9}) (\frac{4R}{3}) = \frac{32\pi R^3}{81}$ 6. सिद्ध करना कि महत्तम शंकु का आयतन गोले के आयतन का $\frac{8}{27}$ है

गोले का आयतन $V_s$ है: $V_s = \frac{4}{3} \pi R^3$

इसलिए,

$\frac{V}{V_s} = \frac{\frac{32\pi R^3}{81}}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{32\pi R^3}{81} \cdot \frac{3}{4\pi R^3} = \frac{32 \cdot 3}{81 \cdot 4} = \frac{8}{27}$

अतः, विशालतम शंकु का आयतन गोले के आयतन का $\frac{8}{27}$ है।