समीकरण को हल करें: y = 2px + y²p³

Steps to Solve

1. $p$ के लिए तय करें

यह सुनिश्चित करने के लिए कि आप अगले चरण को सही ढंग से जानते हैं, $p = \frac{dy}{dx}$ को परिभाषित करें।

2. $x$ के सापेक्ष दी गई समीकरण का अवकलन करें

$$ \frac{dy}{dx} = 2p + 2x\frac{dp}{dx} + 2yp^3\frac{dy}{dx} + 3y^2p^2\frac{dp}{dx} $$

3. $\frac{dy}{dx}$ को $p$ से प्रतिस्थापित करें

$$ p = 2p + 2x\frac{dp}{dx} + 2yp^3p + 3y^2p^2\frac{dp}{dx} $$

4. समीकरण को सरल और पुनर्व्यवस्थित करें

$$ 0 = p + 2x\frac{dp}{dx} + 2yp^4 + 3y^2p^2\frac{dp}{dx} $$

$$ -p - 2yp^4 = (2x + 3y^2p^2)\frac{dp}{dx} $$

$$ -p(1 + 2yp^3) = (2x + 3y^2p^2)\frac{dp}{dx} $$

5. तर्क को दो संभावित मामलों में विभाजित करें

केस 1: $p = 0$ केस 2: $1 + 2yp^3 + (2x + 3y^2p^2)\frac{dp}{dx} = 0$

6. केस 1 को हल करें: $p = 0$

यदि $p = 0$, तो $\frac{dy}{dx} = 0$, इसलिए $y = c$ जहां $c$ एक स्थिरांक है।

मूल समीकरण $y = 2px + y^2p^3$ में स्थानापन्न करने पर हमारे पास है:

$$c = 2x(0) + c^2(0)^3 \implies c = 0$$

इसलिए, एक समाधान $y = 0$ है।

7. केस 2 को हल करें: $1 + 2yp^3 + (2x + 3y^2p^2)\frac{dp}{dx} = 0$

$$ -p(1 + 2yp^3) = (2x + 3y^2p^2)\frac{dp}{dx} $$

$$ \frac{dx}{dp} = \frac{2x + 3y^2p^2}{-p(1 + 2yp^3)} $$

$$ \frac{dx}{dp} + \frac{2x}{p(1 + 2yp^3)} = \frac{-3y^2p^2}{p(1 + 2yp^3)} $$

यह एक रैखिक समीकरण है। हालाँकि, इस प्रकार के समीकरण को हल करना अधिक मुश्किल है।

8. क्लेरावट समीकरण का पता लगाएं

इसके बजाय दिए गए समीकरण को क्लेरावट रूप का बनाने का प्रयास करें। दिए गए समीकरण है:

$$y = 2px + y^2p^3$$ $$y^2p^3 + 2px - y = 0$$

इस समीकरण को हल करने के लिए एक अलग विधि की आवश्यकता है, और इसे सीधे क्लेरावट रूप में नहीं रखा जा सकता है। चूँकि केस 2 को हल करना बहुत जटिल है, इसलिए सिंगुलर सॉल्यूशन एक बेहतर विकल्प है।

9. सिंगुलर सॉल्यूशन के लिए विभेदक ज्ञात करना

दिए गए समीकरण, $y = 2px + y^2p^3$, को $p$ के सापेक्ष आंशिक रूप से विभेदित करें:

$0 = 2x + 3y^2p^2$

$p^2 = -\frac{2x}{3y^2}$

$p = \pm \sqrt{-\frac{2x}{3y^2}}$

10. सिंगुलर सॉल्यूशन ज्ञात करना

$p$ को प्रतिस्थापित करें मूल समीकरण में:

$y = 2(\pm \sqrt{-\frac{2x}{3y^2}})x + y^2(\pm \sqrt{-\frac{2x}{3y^2}})^3$

$y = \pm 2x\sqrt{-\frac{2x}{3y^2}} \pm y^2(-\frac{2x}{3y^2})\sqrt{-\frac{2x}{3y^2}}$

$y = \pm 2x\sqrt{-\frac{2x}{3y^2}} \mp \frac{2x}{3}\sqrt{-\frac{2x}{3y^2}}$

$y = \pm \frac{4x}{3}\sqrt{-\frac{2x}{3y^2}}$

$y^2 = \frac{16x^2}{9}(-\frac{2x}{3y^2})$

$y^2 = -\frac{32x^3}{27y^2}$

$y^4 = -\frac{32x^3}{27}$

$27y^4 + 32x^3 = 0$