Sabendo que f'(x) = xe^{2x} e f(0) = -1/4, calcule f(1).

Steps to Solve

1. Integrar a derivada Precisamos integrar a função derivada $f'(x) = xe^{2x}$ para encontrar a função original $f(x)$.

Para isso, utilizamos o método de integração por partes. Definimos:

• $u = x$ → $du = dx$
• $dv = e^{2x}dx$ → $v = \frac{1}{2}e^{2x}$

Usando a fórmula de integração por partes, que é $\int u , dv = uv - \int v , du$, obtemos:

$$ \int xe^{2x} , dx = \frac{x}{2} e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} , dx $$

Agora, integramos $\int e^{2x} , dx$:

$$ \int e^{2x} , dx = \frac{1}{2} e^{2x} $$

Portanto, substituindo, temos:

$$ \int xe^{2x} , dx = \frac{x}{2} e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C $$

Assim, $f(x) = \frac{x}{2} e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C$.

2. Simplificar a expressão de f(x) Podemos reescrever $f(x)$ como:

$$ f(x) = \left(\frac{x}{2} - \frac{1}{4}\right)e^{2x} + C $$

3. Determinar a constante C Usamos a condição inicial $f(0) = -\frac{1}{4}$. Substituímos $x = 0$ na expressão de $f(x)$:

$$ f(0) = \left(\frac{0}{2} - \frac{1}{4}\right)e^{0} + C = -\frac{1}{4} $$

Isso simplifica para:

$$ -\frac{1}{4} + C = -\frac{1}{4} $$

Portanto, temos que:

$$ C = 0 $$

Assim, $f(x) = \left(\frac{x}{2} - \frac{1}{4}\right)e^{2x}$.

4. Calcular f(1) Agora, calculamos $f(1)$:

$$ f(1) = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right)e^{2} = \left(\frac{2}{4} - \frac{1}{4}\right)e^{2} = \frac{1}{4} e^{2} $$