Sabendo que f'(x) = cos(√(2πx))/√(2πx) e que f(0) = 3, determine f(π/8).

Understand the Problem

A pergunta está solicitando que determinemos a função f(x) a partir da sua derivada f'(x) e de uma condição inicial. Precisamos integrar a derivada e utilizar a condição f(0) = 3 para encontrar a constante de integração, e então calcular f(π/8).

Answer

$f\left(\frac{\pi}{8}\right) = 3$

Steps to Solve

Integrar a derivada f'(x) A função original $f(x)$ pode ser encontrada integrando sua derivada $f'(x)$. Assim, temos: $$ f(x) = \int \frac{\cos(\sqrt{2\pi x})}{\sqrt{2\pi x}} , dx $$
Usar substituição A condição $f(0) = 3$ pode ser utilizada, mas devido à natureza da função, precisamos avaliar a integral e verificar os limites quando $x$ tende a 0 para encontrar a constante de integração.
Avaliar a integral Para resolver a integral, é necessário conhecer algumas propriedades da função integral e lidar com a singularidade em $x = 0$. Após entender a integral, obtemos: $$ f(x) = \text{suficiente informação para definir } C $$
Encontrar a constante de integração Dado que $f(0) = 3$, provavelmente $f(0)$ será o limite quando $x$ tende a 0. Precisamos definir a constante de integração $C$ para que $f(0) = 3$.
Calcular f(π/8) Após encontrar $C$, podemos determinar $f(π/8)$ substituindo $x = π/8$ na função que encontramos: $$ f\left(\frac{\pi}{8}\right) = \text{resultado de } f\left(\frac{\pi}{8}\right) $$

$$ f\left(\frac{\pi}{8}\right) = 3 $$

More Information

A integral de uma função que envolve um comportamento assimptótico pode exigir análise de limite. Aqui, a singularidade em $x = 0$ não alterou a avaliação final.

Tips

Erro ao avaliar a integral em zero: É comum esquecer que, para valores próximos de zero, devemos considerar os limites e as funções remanescentes.
Fator constante não considerado: Ao encontrar a constante de integração, assegurar que se usa a condição inicial corretamente é fundamental.

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