Résoudre p(x)=x+2≤0; 2x^2-7x+3
Understand the Problem
La question demande de résoudre une inéquation qui combine deux expressions : p(x)=x+2 et 2x^2-7x+3. Cela implique de déterminer les valeurs de x qui satisfont l'inéquation x + 2 ≤ 0 et les conditions associées à la deuxième expression quadratique.
Answer
$x \in (-\infty, -2] \cup [3, +\infty)$
Answer for screen readers
Les valeurs de $x$ qui satisfont à l'inéquation $x + 2 \leq 0$ ainsi que $2x^2 - 7x + 3 \geq 0$ sont $x \in (-\infty, -2] \cup [3, +\infty)$.
Steps to Solve
- Analyser la première inéquation
La première inéquation à résoudre est $x + 2 \leq 0$.
Pour isoler $x$, soustrayez 2 des deux côtés : $$ x \leq -2 $$
Cette inéquation nous donne une première valeur limite pour $x$.
- Analyser la deuxième expression quadratique
La deuxième expression à prendre en compte est $2x^2 - 7x + 3$. Pour déterminer les points critiques, nous allons résoudre l'équation $2x^2 - 7x + 3 = 0$ en utilisant la formule quadratique : $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ où $a = 2$, $b = -7$, et $c = 3$.
- Calculer le discriminant
Calculons le discriminant : $$ D = (-7)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 49 - 24 = 25 $$
Puisque le discriminant est positif, il y a deux solutions réelles.
- Calculer les racines
Maintenant, nous pouvons trouver les racines : $$ x_1 = \frac{7 + \sqrt{25}}{4} = \frac{7 + 5}{4} = 3 $$ $$ x_2 = \frac{7 - \sqrt{25}}{4} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$
- Tester les intervalles
Nous devons vérifier les intervalles déterminés par les racines $x_1 = 3$ et $x_2 = \frac{1}{2}$, ainsi que la valeur limite trouvée pour la première inéquation, $x \leq -2$.
Les intervalles à tester sont :
- $(-\infty, -2]$
- $[-2, \frac{1}{2}]$
- $[\frac{1}{2}, 3]$
- $[3, +\infty)$
- Interpréter les résultats
En testant ces intervalles dans l'inéquation $2x^2 - 7x + 3 \geq 0$, nous découvrirons pour quels intervalles l'inéquation est satisfaite et si ces intervalles se superposent avec $x \leq -2$.
Les valeurs de $x$ qui satisfont à l'inéquation $x + 2 \leq 0$ ainsi que $2x^2 - 7x + 3 \geq 0$ sont $x \in (-\infty, -2] \cup [3, +\infty)$.
More Information
Cette solution démontre comment interagir simultanément avec une inéquation linéaire et une inéquation quadratique. La compréhension des valeurs critiques et des solutions dans chaque intervalle est essentielle pour résoudre de telles inéquations.
Tips
- Oublier de vérifier tous les intervalles créés par les racines.
- Ignorer le signe des intervalles lors de l'évaluation de l'inéquation quadratique.
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