Résoudre : √(5x - 5) ≥ 2x - 7x + √5
Understand the Problem
La question demande de résoudre une inéquation impliquant une racine carrée. Il faut isoler la racine, élever au carré (en vérifiant les conditions), et résoudre l'inéquation résultante. Il est important de vérifier que les solutions obtenues satisfont l'inéquation initiale en raison des manipulations effectuées.
Answer
$ 2 \leq x \leq 5 $
Answer for screen readers
$ 2 \leq x \leq 5 $
Steps to Solve
- Isoler la racine carrée
Nous devons d'abord isoler le terme de la racine carrée d'un côté de l'inéquation. $$ \sqrt{3x-6} + 4 \leq 7 $$ Soustraire 4 des deux côtés : $$ \sqrt{3x-6} \leq 3 $$
- Élever au carré les deux côtés
Élever au carré les deux côtés de l'inéquation pour éliminer la racine carrée. Puisque les deux côtés sont non négatifs, l'inégalité est préservée : $$ (\sqrt{3x-6})^2 \leq 3^2 $$ $$ 3x - 6 \leq 9 $$
- Résoudre l'inéquation linéaire
Ajouter 6 aux deux côtés : $$ 3x \leq 15 $$ Diviser par 3 : $$ x \leq 5 $$
- Déterminer le domaine de la racine carrée
La racine carrée est définie seulement si $3x - 6 \geq 0$. Donc, $$ 3x \geq 6 $$ $$ x \geq 2 $$
- Combiner les conditions et écrire la solution
Nous devons considérer à la fois $x \leq 5$ et $x \geq 2$. Par conséquent, la solution est l'intervalle où ces deux conditions sont satisfaites.
$$ 2 \leq x \leq 5 $$
$ 2 \leq x \leq 5 $
More Information
La solution représente tous les nombres réels $x$ qui sont supérieurs ou égaux à 2 et inférieurs ou égaux à 5. Vérifions les bornes: Pour $x=2$, $\sqrt{3(2)-6} + 4 = \sqrt{0} + 4 = 4 \leq 7$. Pour $x=5$, $\sqrt{3(5)-6} + 4 = \sqrt{9} + 4 = 3 + 4 = 7 \leq 7$.
Tips
Une erreur commune est d'oublier de considérer le domaine de la racine carrée, ce qui pourrait mener à inclure des valeurs de $x$ pour lesquelles la racine carrée n'est pas définie. Une autre erreur est d'oublier de vérifier la solution finale dans l'inéquation d'origine, surtout après avoir élevé au carré, car cela peut introduire des solutions non valides.
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